APOLLONIUS :: Conica :: TLG 0550 001

TLG 0550 001 :: APOLLONIUS :: Conica APOLLONIUS Geom. (Pergaeus: 3 B.C.) Conica Source: Heiberg, J.L. (ed.), Apollonii Pergaei quae Graece exstant, vols. 1–2. Leipzig: Teubner, 1:1891; 2:1893 (repr. Stuttgart, 1974): 1:2–450; 2:2–96. Lib. 1–3: vol. 1 Lib. 4: vol. 2 Citation: Book — section — (line)

1 prol	Ἀπολλώνιος Εὐδήμῳ χαίρειν. Εἰ τῷ τε σώματι εὖ ἐπανάγεις καὶ τὰ ἄλλα κατὰ γνώμην ἐστί σοι, καλῶς ἂν ἔχοι, μετρίως δὲ ἔχομεν καὶ αὐτοί. καθ’ ὃν δὲ καιρὸν ἤμην μετά σου ἐν
5	Περγάμῳ, ἐθεώρουν σε σπεύδοντα μετασχεῖν τῶν πε‐ πραγμένων ἡμῖν κωνικῶν· πέπομφα οὖν σοι τὸ πρῶτον βιβλίον διορθωσάμενος, τὰ δὲ λοιπά, ὅταν εὐαρεστή‐ σωμεν, ἐξαποστελοῦμεν· οὐκ ἀμνημονεῖν· γὰρ οἴομαί σε παρ’ ἐμοῦ ἀκηκοότα, διότι τὴν περὶ ταῦτα ἔφοδον
10	ἐποιησάμην ἀξιωθεὶς ὑπὸ Ναυκράτους τοῦ γεωμέτρου, καθ’ ὃν καιρὸν ἐσχόλαζε παρ’ ἡμῖν παραγενηθεὶς εἰς Ἀλεξάνδρειαν, καὶ διότι πραγματεύσαντες αὐτὰ ἐν ὀκτὼ βιβλίοις ἐξ αὐτῆς μεταδεδώκαμεν αὐτὰ εἰς τὸ σπου‐ δαιότερον διὰ τὸ πρὸς ἔκπλῳ αὐτὸν εἶναι οὐ διακαθά‐
15	ραντες, ἀλλὰ πάντα τὰ ὑποπίπτοντα ἡμῖν θέντες ὡς ἔσχατον ἐπελευσόμενοι. ὅθεν καιρὸν νῦν λαβόντες ἀεὶ τὸ τυγχάνον διορθώσεως ἐκδίδομεν. καὶ ἐπεὶ συμ‐ βέβηκε καὶ ἄλλους τινὰς τῶν συμμεμιχότων ἡμῖν μετειληφέναι τὸ πρῶτον καὶ τὸ δεύτερον βιβλίον πρὶν
20	ἢ διορθωθῆναι, μὴ θαυμάσῃς, ἐὰν περιπίπτῃς αὐτοῖς
20	ἑτέρως ἔχουσιν. ἀπὸ δὲ τῶν ὀκτὼ βιβλίων τὰ πρῶτα τέσσαρα πέπτωκεν εἰς ἀγωγὴν στοιχειώδη, περιέχει δὲ τὸ μὲν πρῶτον τὰς γενέσεις τῶν τριῶν τομῶν καὶ τῶν ἀντικειμένων καὶ τὰ ἐν αὐταῖς ἀρχικὰ συμπτώματα ἐπὶ	2 in vol. 1
25	πλέον καὶ καθόλου μᾶλλον ἐξειργασμένα παρὰ τὰ ὑπὸ τῶν ἄλλων γεγραμμένα, τὸ δὲ δεύτερον τὰ περὶ τὰς διαμέτρους καὶ τοὺς ἄξονας τῶν τομῶν συμβαίνοντα καὶ τὰς ἀσυμπτώτους καὶ ἄλλα γενικὴν καὶ ἀναγκαίαν χρείαν παρεχόμενα πρὸς τοὺς διορισμούς· τίνας δὲ
30	διαμέτρους καὶ τίνας ἄξονας καλῶ, εἰδήσεις ἐκ τούτου τοῦ βιβλίου. τὸ δὲ τρίτον πολλὰ καὶ παράδοξα θεω‐ ρήματα χρήσιμα πρός τε τὰς συνθέσεις τῶν στερεῶν τόπων καὶ τοὺς διορισμούς, ὧν τὰ πλεῖστα καὶ κάλλιστα ξένα, ἃ καὶ κατανοήσαντες συνείδομεν μὴ συντιθέμενον
35	ὑπὸ Εὐκλείδου τὸν ἐπὶ τρεῖς καὶ τέσσαρας γραμμὰς τόπον, ἀλλὰ μόριον τὸ τυχὸν αὐτοῦ καὶ τοῦτο οὐκ εὐτυχῶς· οὐ γὰρ ἦν δυνατὸν ἄνευ τῶν προσευρη‐ μένων ἡμῖν τελειωθῆναι τὴν σύνθεσιν. τὸ δὲ τέταρτον, ποσαχῶς αἱ τῶν κώνων τομαὶ ἀλλήλαις τε καὶ τῇ τοῦ
40	κύκλου περιφερείᾳ συμβάλλουσι, καὶ ἄλλα ἐκ περισσοῦ, ὧν οὐδέτερον ὑπὸ τῶν πρὸ ἡμῶν γέγραπται, κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια κατὰ πόσα σημεῖα συμ‐ βάλλουσι. τὰ δὲ λοιπά ἐστι περιουσιαστικώτερα· ἔστι γὰρ τὸ μὲν περὶ ἐλαχίστων καὶ μεγίστων ἐπὶ πλέον,
45	τὸ δὲ περὶ ἴσων καὶ ὁμοίων κώνου τομῶν, τὸ δὲ περὶ διοριστικῶν θεωρημάτων, τὸ δὲ προβλημάτων κωνικῶν διωρισμένων. οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ πάντων ἐκδοθέντων ἔξεστι τοῖς περιτυγχάνουσι κρίνειν αὐτά, ὡς ἂν αὐτῶν
45	ἕκαστος αἱρῆται. εὐτύχει.	4 in vol. 1
1 HOR1	Ἐὰν ἀπό τινος σημείου πρὸς κύκλου περιφέρειαν, ὃς οὐκ ἔστιν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ σημείῳ, εὐθεῖα ἐπιζευχθεῖσα ἐφ’ ἑκάτερα προσεκβληθῇ, καὶ μένοντος τοῦ σημείου ἡ εὐθεῖα περιενεχθεῖσα περὶ τὴν τοῦ
5	κύκλου περιφέρειαν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, τὴν γραφεῖσαν ὑπὸ τῆς εὐθείας ἐπιφάνειαν, ἣ σύγκειται ἐκ δύο ἐπιφανειῶν κατὰ κορυφὴν ἀλλήλαις κειμένων, ὧν ἑκατέρα εἰς ἄπειρον αὔξεται τῆς γραφούσης εὐθείας εἰς ἄπειρον προσεκ‐
10	βαλλομένης, καλῶ κωνικὴν ἐπιφάνειαν, κορυφὴν δὲ αὐτῆς τὸ μεμενηκὸς σημεῖον, ἄξονα δὲ τὴν διὰ τοῦ σημείου καὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀγομένην εὐθεῖαν. κῶνον δὲ τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τοῦ κύκλου καὶ τῆς μεταξὺ τῆς τε κορυφῆς καὶ τῆς τοῦ κύκλου
15	περιφερείας κωνικῆς ἐπιφανείας, κορυφὴν δὲ τοῦ κώνου τὸ σημεῖον, ὃ καὶ τῆς ἐπιφανείας ἐστὶ κορυφή, ἄξονα δὲ τὴν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπὶ τὸ κέντρον τοῦ κύκλου ἀγομένην εὐθεῖαν, βάσιν δὲ τὸν κύκλον. τῶν δὲ κώνων ὀρθοὺς μὲν καλῶ τοὺς πρὸς ὀρθὰς
20	ἔχοντας ταῖς βάσεσι τοὺς ἄξονας, σκαληνοὺς δὲ τοὺς μὴ πρὸς ὀρθὰς ἔχοντας ταῖς βάσεσι τοὺς ἄξονας. πάσης καμπύλης γραμμῆς, ἥτις ἐστὶν ἐν ἑνὶ ἐπι‐ πέδῳ, διάμετρον μὲν καλῶ εὐθεῖαν, ἥτις ἠγμένη ἀπὸ τῆς καμπύλης γραμμῆς πάσας τὰς ἀγομένας ἐν τῇ
25	γραμμῇ εὐθείας εὐθείᾳ τινὶ παραλλήλους δίχα διαιρεῖ, κορυφὴν δὲ τῆς γραμμῆς τὸ πέρας τῆς εὐθείας τὸ πρὸς τῇ γραμμῇ, τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν διάμετρον
25	κατῆχθαι ἑκάστην τῶν παραλλήλων. ὁμοίως δὲ καὶ δύο καμπύλων γραμμῶν ἐν ἑνὶ ἐπι‐	6 in vol. 1
30	πέδῳ κειμένων διάμετρον καλῶ πλαγίαν μέν, ἥτις εὐθεῖα τέμνουσα τὰς δύο γραμμὰς πάσας τὰς ἀγομένας ἐν ἑκατέρᾳ τῶν γραμμῶν παρά τινα εὐθεῖαν δίχα τέμνει, κορυφὰς δὲ τῶν γραμμῶν τὰ πρὸς ταῖς γραμ‐ μαῖς πέρατα τῆς διαμέτρου, ὀρθίαν δέ, ἥτις κειμένη
35	μεταξὺ τῶν δύο γραμμῶν πάσας τὰς ἀγομένας παρ‐ αλλήλους εὐθείας εὐθείᾳ τινὶ καὶ ἀπολαμβανομένας μεταξὺ τῶν γραμμῶν δίχα τέμνει, τεταγμένως δὲ ἐπὶ τὴν διάμετρον κατῆχθαι ἑκάστην τῶν παραλλήλων. συζυγεῖς καλῶ διαμέτρους [δύο] καμπύλης γραμμῆς
40	καὶ δύο καμπύλων γραμμῶν εὐθείας, ὧν ἑκατέρα διά‐ μετρος οὖσα τὰς τῇ ἑτέρᾳ παραλλήλους δίχα διαιρεῖ. ἄξονα δὲ καλῶ καμπύλης γραμμῆς καὶ δύο καμ‐ πύλων γραμμῶν εὐθεῖαν, ἥτις διάμετρος οὖσα τῆς γραμμῆς ἢ τῶν γραμμῶν πρὸς ὀρθὰς τέμνει τὰς παρ‐
45	αλλήλους. συζυγεῖς καλῶ ἄξονας καμπύλης γραμμῆς καὶ δύο καμπύλων γραμμῶν εὐθείας, αἵτινες διάμετροι οὖσαι συζυγεῖς πρὸς ὀρθὰς τέμνουσι τὰς ἀλλήλων παραλλήλους.
1 . 1	Αἱ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας ἀγό‐ μεναι εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ σημεῖα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ εἰσίν. ἔστω κωνικὴ ἐπιφάνεια, ἧς κορυφὴ τὸ Α σημεῖον,
5	καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας τὸ Β, καὶ ἐπεζεύχθω τις εὐθεῖα ἡ ΑΓΒ. λέγω, ὅτι
5	ἡ ΑΓΒ εὐθεῖα ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστίν. εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ ἔστω, καὶ ἔστω ἡ γεγραφυῖα τὴν ἐπιφάνειαν εὐθεῖα ἡ ΔΕ, ὁ δὲ κύκλος, καθ’ οὗ	8 in vol. 1
10	φέρεται ἡ ΕΔ, ὁ ΕΖ. ἐὰν δὴ μένοντος τοῦ Α σημείου ἡ ΔΕ εὐθεῖα φέρηται κατὰ τῆς τοῦ ΕΖ κύκλου περι‐ φερείας, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β σημείου, καὶ ἔσται δύο εὐθειῶν τὰ αὐτὰ πέρατα· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη
15	εὐθεῖα οὐκ ἔστιν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ· ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ ἄρα ἐστί. πόρισμ α . καὶ φανερόν, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ τῆς κορυφῆς ἐπί τι σημεῖον τῶν ἐντὸς τῆς ἐπιφανείας ἐπιζευχθῇ εὐθεῖα,
20	ἐντὸς πεσεῖται τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας, καὶ ἐὰν ἐπί τι τῶν ἐκτὸς ἐπιζευχθῇ, ἐκτὸς ἔσται τῆς ἐπιφανείας.
1 . 2	Ἐὰν ἐφ’ ὁποτερασοῦν τῶν κατὰ κορυφὴν ἐπιφανειῶν δύο σημεῖα ληφθῇ, ἡ δὲ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα μὴ νεύῃ ἐπὶ τὴν κορυφήν, ἐντὸς πεσεῖται τῆς ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ἐκτός.
5	ἔστω κωνικὴ ἐπιφάνεια, ἧς κορυφὴ μὲν τὸ Α ση‐ μεῖον, ὁ δὲ κύκλος, καθ’ οὗ φέρεται ἡ τὴν ἐπιφάνειαν γράφουσα εὐθεῖα, ὁ ΒΓ, καὶ εἰλήφθω ἐφ’ ὁποτερασοῦν τῶν κατὰ κορυφὴν ἐπιφανειῶν δύο σημεῖα τὰ Δ, Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ μὴ νευέτω ἐπὶ τὸ Α σημεῖον.
10	λέγω, ὅτι ἡ ΔΕ ἐντὸς ἔσται τῆς ἐπιφανείας καὶ ἡ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ἐκτός. ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΑΔ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν·
10	πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν. πιπτέ‐ τωσαν κατὰ τὰ Β, Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ· ἔσται ἄρα	10 in vol. 1
15	ἡ ΒΓ ἐντὸς τοῦ κύκλου· ὥστε καὶ τῆς κωνικῆς ἐπι‐ φανείας. εἰλήφθω δὴ ἐπὶ τῆς ΔΕ τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΖ ἐκβεβλήσθω. πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν ΒΓ εὐθεῖαν· τὸ γὰρ ΒΓΑ τρίγωνον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ. πιπτέτω κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν τὸ Η ἐντός
20	ἐστι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας, καὶ ἡ ΑΗ ἄρα ἐντός ἐστι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας· ὥστε καὶ τὸ Ζ ἐντός ἐστι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ πάντα τὰ ἐπὶ τῆς ΔΕ σημεῖα ἐντός ἐστι τῆς ἐπι‐ φανείας· ἡ ἄρα ΔΕ ἐντός ἐστι τῆς ἐπιφανείας.
25	ἐκβεβλήσθω δὴ ἡ ΔΕ ἐπὶ τὸ Θ. λέγω δή, ὅτι ἐκτὸς πεσεῖται τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τι αὐτῆς τὸ Θ μὴ ἐκτὸς τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΘ ἐκβεβλήσθω· πεσεῖται δὴ ἢ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν τοῦ κύκλου ἢ ἐντός· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνα‐
30	τον· πίπτει γὰρ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἐκβαλλομένην ὡς κατὰ τὸ Κ. ἡ ΕΘ ἄρα ἐκτός ἐστι τῆς ἐπιφανείας. ἡ ἄρα ΔΕ ἐντός ἐστι τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας, καὶ ἡ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ἐκτός.
1 . 3	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τῆς κορυφῆς, ἡ τομὴ τρίγωνόν ἐστιν. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ Α
5	σημείου, καὶ ποιείτω τομὰς ἐπὶ μὲν τῆς ἐπιφανείας τὰς ΑΒ, ΑΓ γραμμάς, ἐν δὲ τῇ βάσει τὴν ΒΓ εὐθεῖαν.
5	λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνόν ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη κοινὴ τομή ἐστι τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τῆς τοῦ	12 in vol. 1
10	κώνου ἐπιφανείας, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ· ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΑΓ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ εὐθεῖα. τρίγωνον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ. ἐὰν ἄρα κῶνος ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ διὰ τῆς κορυ‐ φῆς, ἡ τομὴ τρίγωνόν ἐστιν.
1 . 4	Ἐὰν ὁποτεραοῦν τῶν κατὰ κορυφὴν ἐπιφανειῶν ἐπιπέδῳ τινὶ τμηθῇ παραλλήλῳ τῷ κύκλῳ, καθ’ οὗ φέρεται ἡ γράφουσα τὴν ἐπιφάνειαν εὐθεῖα, τὸ ἐναπο‐ λαμβανόμενον ἐπίπεδον μεταξὺ τῆς ἐπιφανείας κύκλος
5	ἔσται τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος, τὸ δὲ περι‐ εχόμενον σχῆμα ὑπό τε τοῦ κύκλου καὶ τῆς ἀπολαμβανο‐ μένης ὑπὸ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου κωνικῆς ἐπιφανείας πρὸς τῇ κορυφῇ κῶνος ἔσται. ἔστω κωνικὴ ἐπιφάνεια, ἧς κορυφὴ μὲν τὸ Α ση‐
10	μεῖον, ὁ δὲ κύκλος, καθ’ οὗ φέρεται ἡ τὴν ἐπιφάνειαν γράφουσα εὐθεῖα, ὁ ΒΓ, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ παραλλήλῳ τῷ ΒΓ κύκλῳ, καὶ ποιείτω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τομὴν τὴν ΔΕ γραμμήν. λέγω, ὅτι ἡ ΔΕ γραμμὴ κύκλος ἐστὶν ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἔχων τὸ κέντρον.
15	εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τοῦ ΒΓ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἄξων ἄρα ἐστὶ καὶ συμβάλλει τῷ τέμνοντι ἐπιπέδῳ. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Η, καὶ ἐκβεβλήσθω τι διὰ τῆς ΑΖ ἐπίπεδον. ἔσται δὴ ἡ τομὴ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ ἐπεὶ τὰ Δ, Η, Ε σημεῖα
20	ἐν τῷ τέμνοντί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ ἐπιπέδῳ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΗΕ. εἰλήφθω δή τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΔΕ γραμμῆς τὸ Θ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΑΘ ἐκβεβλήσθω. συμβαλεῖ δὴ τῇ ΒΓ περιφερείᾳ. συμβαλλέτω κατὰ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν	14 in vol. 1
25	αἱ ΗΘ, ΖΚ. καὶ ἐπεὶ δύο ἐπίπεδα παράλληλα τὰ ΔΕ, ΒΓ ὑπὸ ἐπιπέδου τινὸς τέμνεται τοῦ ΑΒΓ, αἱ κοιναὶ αὐτῶν τομαὶ παράλληλοί εἰσι· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΒΓ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΚΖ παράλληλος. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΑΗ,
30	οὕτως ἥ τε ΖΒ πρὸς ΔΗ καὶ ἡ ΖΓ πρὸς ΗΕ καὶ ἡ ΖΚ πρὸς ΗΘ. καί εἰσιν αἱ τρεῖς αἱ ΒΖ, ΚΖ, ΖΓ ἴσαι ἀλλήλαις· καὶ αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΔΗ, ΗΘ, ΗΕ ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Η σημείου πρὸς τὴν ΔΕ γραμμὴν προσ‐
35	πίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσί. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ γραμμὴ τὸ κέντρον ἔχων ἐπὶ τοῦ ἄξονος. καὶ φανερόν, ὅτι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τοῦ ΔΕ κύκλου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτοῦ
40	πρὸς τῷ Α σημείῳ κωνικῆς ἐπιφανείας κῶνός ἐστι. καὶ συναποδέδεικται, ὅτι ἡ κοινὴ τομὴ τοῦ τέμνον‐ τος ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου διά‐ μετρός ἐστι τοῦ κύκλου.
1 . 5	Ἐὰν κῶνος σκαληνὸς ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς μὲν τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ, ἀφαιροῦντι
1 . 5	δὲ πρὸς τῇ κορυφῇ τρίγωνον ὅμοιον μὲν τῷ διὰ τοῦ	16 in vol. 1
5	ἄξονος τριγώνῳ, ὑπεναντίως δὲ κείμενον, ἡ τομὴ κύκλος ἐστί, καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη τομὴ ὑπεναντία. ἔστω κῶνος σκαληνός, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α ση‐ μεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος ὀρθῷ πρὸς τὸν ΒΓ κύκλον, καὶ ποιείτω
10	τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τετμήσθω δὴ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ὄντι τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, ἀφαιροῦντι δὲ τρίγωνον πρὸς τῷ Α σημείῳ τὸ ΑΚΗ ὅμοιον μὲν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, ὑπεναντίως δὲ κείμενον, τουτέστιν ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ὑπὸ ΑΚΗ γωνίαν τῇ ὑπὸ ΑΒΓ.
15	καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τὴν ΗΘΚ γραμμήν. λέγω, ὅτι κύκλος ἐστὶν ἡ ΗΘΚ γραμμή. εἰλήφθω γάρ τινα σημεῖα ἐπὶ τῶν ΗΘΚ, ΒΓ γραμ‐ μῶν τὰ Θ, Λ, καὶ ἀπὸ τῶν Θ, Λ σημείων ἐπὶ τὸ διὰ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον κάθετοι ἤχθωσαν· πε‐
20	σοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς τῶν ἐπιπέδων. πιπτέτωσαν ὡς αἱ ΖΘ, ΛΜ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΘ τῇ ΛΜ. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΔΖΕ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΛΜ παράλληλος· τὸ ἄρα διὰ τῶν ΖΘ, ΔΕ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῇ
25	βάσει τοῦ κώνου. κύκλος ἄρα ἐστίν, οὗ διάμετρος ἡ ΔΕ. ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΔΖ, ΖΕ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΔ τῇ ΒΓ, ἡ ὑπὸ ΑΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ. ἡ δὲ ὑπὸ ΑΚΗ τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ὑπόκειται ἴση· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΚΗ ἄρα τῇ
30	ὑπὸ ΑΔΕ ἐστιν ἴση. εἰσὶ δὲ καὶ αἱ πρὸς τῷ Ζ σημείῳ ἴσαι [κατὰ κορυφήν]. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΖΗ τρί‐ γωνον τῷ ΚΖΕ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΖ πρὸς
30	τὴν ΖΚ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς ΖΔ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΖΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΚΖΗ. ἀλλὰ τῷ ὑπὸ	18 in vol. 1
35	τῶν ΕΖΔ ἴσον ἐδείχθη τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΚΖ, ΖΗ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΖΘ. ὁμοίως δὴ δειχθήσονται καὶ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τῆς ΗΘΚ γραμμῆς ἐπὶ τὴν ΗΚ ἠγμέναι κάθετοι ἴσον δυνάμεναι τῷ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς ΗΚ.
40	κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ τομή, οὗ διάμετρος ἡ ΗΚ.
1 . 6	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, ληφθῇ δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας, ὃ μή ἐστιν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀχθῇ παράλληλος εὐθείᾳ τινί, ἥ ἐστι
5	κάθετος ἀπὸ τῆς περιφερείας τοῦ κύκλου ἐπὶ τὴν βάσιν τοῦ τριγώνου, συμβαλεῖ τῷ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνῳ καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς ἐπι‐ φανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ τριγώνου. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις
10	δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω κοινὴν τομὴν τὸ ΑΒΓ τρί‐ γωνον, καὶ ἀπό τινος σημείου τῶν ἐπὶ τῆς ΒΓ περι‐ φερείας τοῦ Μ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΒΓ ἡ ΜΝ. εἰλήφθω δὴ ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου σημεῖόν τι
15	τὸ Δ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΜΝ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΕ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου καὶ προσεκβαλλομένη ἐπὶ τὸ ἕτερον μέρος τοῦ κώνου, ἄχρις ἂν συμπέσῃ τῇ ἐπιφανείᾳ αὐτοῦ,
15	δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ ἐπιπέδου τοῦ ΑΒΓ τριγώνου.	20 in vol. 1
20	ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ καὶ ἐκβεβλήσθω· συμπεσεῖται ἄρα τῇ περιφερείᾳ τοῦ ΒΓ κύκλου. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΘΛ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ τῇ ΜΝ· καὶ τῇ ΔΕ ἄρα. ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Θ ἡ ΑΘ. ἐπεὶ οὖν ἐν
25	τριγώνῳ τῷ ΑΘΚ τῇ ΘΚ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΕ, ἡ ΔΕ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ ΑΘ. ἡ δὲ ΑΘ ἐν τῷ τοῦ ΑΒΓ ἐστιν ἐπιπέδῳ· συμπεσεῖται ἄρα ἡ ΔΕ τῷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπιπέδῳ. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ τῇ ΑΘ συμπίπτει· συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐκβεβλήσθω
30	ἡ ΔΖ ἐπ’ εὐθείας, ἄχρις ἂν συμπέσῃ τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Η. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΔΖ τῇ ΖΗ. ἐπεὶ γὰρ τὰ Α, Η, Λ σημεῖα ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐστὶν ἐπιφανείᾳ, ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τῷ διὰ τῶν
35	ΑΘ, ΑΚ, ΔΗ, ΚΛ ἐκβαλλομένῳ, ὅπερ διὰ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τρίγωνόν ἐστι, τὰ Α, Η, Λ ἄρα σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς ἐστι τομῆς τῆς τοῦ κώνου ἐπιφανείας καὶ τοῦ τριγώνου. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Λ. ἐπεὶ οὖν ἐν τριγώνῳ τῷ ΑΛΚ τῇ ΚΘΛ βάσει παρ‐
40	άλληλος ἦκται ἡ ΔΗ, καὶ διῆκταί τις ἀπὸ τοῦ Α ἡ ΑΖΘ, ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, ἡ ΔΖ πρὸς ΖΗ. ἴση δὲ ἡ ΚΘ τῇ ΘΛ, ἐπείπερ ἐν κύκλῳ τῷ ΒΓ κάθ‐ ετός ἐστιν ἐπὶ τὴν διάμετρον ἡ ΚΛ. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΗ.
1 . 7	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὸ ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν
1 . 7	ἡ βάσις τοῦ κώνου, κατ’ εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν ἤτοι τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἢ τῇ ἐπ’	22 in vol. 1
5	εὐθείας αὐτῇ, αἱ ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἀπὸ τῆς γενηθείσης τομῆς ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ, ἣν ἐποίησε τὸ τέμνον ἐπίπεδον, παράλληλοι τῇ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει τοῦ τριγώνου εὐθείᾳ ἐπὶ τὴν κοινὴν τομὴν πεσοῦνται τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου
10	καὶ προσεκβαλλόμεναι ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθήσονται ὑπ’ αὐτῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὀρθὸς ᾖ ὁ κῶνος, ἡ ἐν τῇ βάσει εὐθεῖα πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, ἐὰν δὲ σκαληνός, οὐκ αἰεὶ πρὸς
15	ὀρθὰς ἔσται, ἀλλ’ ὅταν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῇ βάσει τοῦ κώνου. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ[Omitted graphic marker]
20	ΑΒΓ τρίγωνον. τε‐ τμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὸ ἐπίπεδον, ἐν ᾧ ἐστιν ὁ ΒΓ κύκλος, κατ’
25	εὐθεῖαν τὴν ΔΕ ἤτοι πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ, καὶ ποιείτω το‐ μὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τὴν ΔΖΕ· κοινὴ
30	δὴ τομὴ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ ΑΒΓ τρι‐
30	γώνου ἡ ΖΗ. καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΔΖΕ τομῆς τὸ Θ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι ἡ ΘΚ συμβαλεῖ τῇ ΖΗ καὶ ἐκ‐ βαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς ΔΖΕ τομῆς δίχα	24 in vol. 1
35	τμηθήσεται ὑπὸ τῆς ΖΗ εὐθείας. ἐπεὶ γὰρ κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, τέτμηται ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιεῖ τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, εἴληπται δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας, ὃ μή ἐστιν ἐπὶ πλευ‐
40	ρᾶς τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, τὸ Θ, καί ἐστι κάθετος ἡ ΔΗ ἐπὶ τὴν ΒΓ, ἡ ἄρα διὰ τοῦ Θ τῇ ΔΗ παράλληλος ἀγομένη, τουτέστιν ἡ ΘΚ, συμβαλεῖ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς ἐπι‐ φανείας δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τοῦ τριγώνου. ἐπεὶ οὖν
45	ἡ διὰ τοῦ Θ τῇ ΔΕ παράλληλος ἀγομένη συμβάλλει τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ καί ἐστιν ἐν τῷ διὰ τῆς ΔΖΕ τομῆς ἐπιπέδῳ, ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πεσεῖται τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου. κοινὴ δὲ τομή ἐστι τῶν ἐπιπέδων ἡ ΖΗ· ἡ ἄρα διὰ τοῦ Θ
1 . 7 (50)	τῇ ΔΕ παράλληλος ἀγομένη πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΖΗ· καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς ΔΖΕ τομῆς δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς ΖΗ εὐθείας. ἤτοι δὴ ὁ κῶνος ὀρθός ἐστιν, ἢ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸν ΒΓ κύκλον,
55	ἢ οὐδέτερον. ἔστω πρότερον ὁ κῶνος ὀρθός· εἴη ἂν οὖν καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὀρθὸν πρὸς τὸν ΒΓ κύκλον. ἐπεὶ οὖν ἐπίπεδον τὸ ΑΒΓ πρὸς ἐπίπεδον τὸ ΒΓ ὀρθόν ἐστι, καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ τῇ ΒΓ ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων
60	τῷ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΔΕ, ἡ ΔΕ ἄρα τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς
60	ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ὀρθή ἐστιν. ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΖΗ ἐστι πρὸς ὀρθάς.	26 in vol. 1
65	μὴ ἔστω δὴ ὁ κῶνος ὀρθός. εἰ μὲν οὖν τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸν ΒΓ κύκλον, ὁμοίως δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΔΕ τῇ ΖΗ ἐστι πρὸς ὀρθάς. μὴ ἔστω δὴ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ὀρθὸν πρὸς τὸν ΒΓ κύκλον. λέγω, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕ
70	τῇ ΖΗ ἐστι πρὸς ὀρθάς. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω· ἔστι δὲ καὶ τῇ ΒΓ πρὸς ὀρθάς· ἡ ἄρα ΔΕ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΓ, ΖΗ ἐστι πρὸς ὀρθάς. καὶ τῷ διὰ τῶν ΒΓ, ΖΗ ἐπιπέδῳ ἄρα πρὸς ὀρθὰς ἔσται. τὸ δὲ διὰ τῶν ΒΓ, ΗΖ ἐπίπεδόν ἐστι τὸ ΑΒΓ· καὶ ἡ ΔΕ ἄρα τῷ ΑΒΓ τρι‐
75	γώνῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. καὶ πάντα ἄρα τὰ δι’ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἐστὶ πρὸς ὀρθάς. ἓν δέ τι τῶν διὰ τῆς ΔΕ ἐπιπέδων ἐστὶν ὁ ΒΓ κύκλος· ὁ ΒΓ ἄρα κύκλος πρὸς ὀρθάς ἐστι τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ. ὥστε καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὀρθὸν ἔσται πρὸς τὸν ΒΓ
80	κύκλον· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΖΗ ἐστι πρὸς ὀρθάς. πόρισμ α . ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆς ΔΖΕ τομῆς διά‐ μετρός ἐστιν ἡ ΖΗ, ἐπείπερ τὰς ἀγομένας παραλλήλους
85	εὐθείᾳ τινὶ τῇ ΔΕ δίχα τέμνει, καὶ ὅτι δυνατόν ἐστιν ὑπὸ τῆς διαμέτρου τῆς ΖΗ παραλλήλους τινὰς δίχα τέμνεσθαι καὶ μὴ πρὸς ὀρθάς.
1 . 8	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ
1 . 8	δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ’ εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, ἡ δὲ διάμετρος τῆς γινομένης ἐν τῇ	28 in vol. 1
5	ἐπιφανείᾳ τομῆς ἤτοι παρὰ μίαν ᾖ τῶν τοῦ τριγώνου πλευρῶν ἢ συμπίπτῃ αὐτῇ ἐκτὸς τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου, προσεκβάλληται δὲ ἥ τε τοῦ κώνου ἐπιφάνεια καὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον εἰς ἄπειρον, καὶ ἡ τομὴ εἰς ἄπειρον αὐξηθήσεται, καὶ ἀπὸ τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς
10	πρὸς τῇ κορυφῇ πάσῃ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην ἀπο‐ λήψεταί τις εὐθεῖα ἀγομένη ἀπὸ τῆς τοῦ κώνου τομῆς παρὰ τὴν ἐν τῇ βάσει τοῦ κώνου εὐθεῖαν. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος,
15	καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον· τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὸν ΒΓ κύκλον κατ’ εὐθεῖαν τὴν ΔΕ πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τὴν ΔΖΕ γραμμήν· ἡ δὲ διά‐ μετρος τῆς ΔΖΕ τομῆς ἡ ΖΗ ἤτοι παράλληλος ἔστω
20	τῇ ΑΓ ἢ ἐκβαλλομένη συμπιπτέτω αὐτῇ ἐκτὸς τοῦ Α σημείου. λέγω, ὅτι καί, ἐὰν ἥ τε τοῦ κώνου ἐπιφάνεια καὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον ἐκβάλληται εἰς ἄπειρον, καὶ ἡ ΔΖΕ τομὴ εἰς ἄπειρον αὐξηθήσεται. ἐκβεβλήσθω γὰρ ἥ τε τοῦ κώνου ἐπιφάνεια καὶ τὸ
25	τέμνον ἐπίπεδον· φανερὸν δή, ὅτι καὶ αἱ ΑΒ, ΑΓ, ΖΗ συνεκβληθήσονται. ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ ἤτοι παράλλη‐ λός ἐστιν ἢ ἐκβαλλομένη συμπίπτει αὐτῇ ἐκτὸς τοῦ Α σημείου, αἱ ΖΗ, ΑΓ ἄρα ἐκβαλλόμεναι ὡς ἐπὶ τὰ Γ, Η μέρη οὐδέποτε συμπεσοῦνται. ἐκβεβλήσθωσαν οὖν, καὶ
30	εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΖΗ τυχὸν τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Θ σημείου τῇ μὲν ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΘΛ, τῇ δὲ ΔΕ παράλληλος ἡ ΜΘΝ· τὸ ἄρα διὰ τῶν ΚΛ, ΜΝ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΒΓ, ΔΕ. κύκλος ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛΜΝ ἐπίπεδον. καὶ ἐπεὶ τὰ Δ, Ε, Μ, Ν	30 in vol. 1
35	σημεῖα ἐν τῷ τέμνοντί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου, ἐπὶ τῆς κοινῆς ἄρα τομῆς ἐστιν· ηὔξηται ἄρα ἡ ΔΖΕ μέχρι τῶν Μ, Ν σημείων. αὐξηθείσης ἄρα τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου καὶ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου μέχρι τοῦ ΚΛΜΝ κύκλου ηὔξηται
40	καὶ ἡ ΔΖΕ τομὴ μέχρι τῶν Μ, Ν σημείων. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καί, ἐὰν εἰς ἄπειρον ἐκβάλληται ἥ τε τοῦ κώνου ἐπιφάνεια καὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον, καὶ ἡ ΜΔΖΕΝ τομὴ εἰς ἄπειρον αὐξηθήσεται. καὶ φανερόν, ὅτι πάσῃ τῇ δοθείσῃ εὐθείᾳ ἴσην
45	ἀπολήψεταί τις ἀπὸ τῆς ΖΘ εὐθείας πρὸς τῷ Ζ σημείῳ. ἐὰν γὰρ τῇ δοθείσῃ ἴσην θῶμεν τὴν ΖΞ καὶ διὰ τοῦ Ξ τῇ ΔΕ παράλληλον ἀγάγωμεν, συμπεσεῖται τῇ τομῇ, ὥσπερ καὶ ἡ διὰ τοῦ Θ ἀπεδείχθη συμπίπτουσα τῇ τομῇ κατὰ τὰ Μ, Ν σημεῖα· ὥστε ἄγεταί τις εὐθεῖα
1 . 8 (50)	συμπίπτουσα τῇ τομῇ παράλληλος οὖσα τῇ ΔΕ ἀπο‐ λαμβάνουσα ἀπὸ τῆς ΖΗ εὐθεῖαν ἴσην τῇ δοθείσῃ πρὸς τῷ Ζ σημείῳ.
1 . 9	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ συμπίπτοντι μὲν ἑκατέρᾳ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, μήτε δὲ παρὰ τὴν βάσιν ἠγμένῳ μήτε ὑπεναντίως, ἡ τομὴ οὐκ ἔσται κύκλος.
5	ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις
5	δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ τινὶ μήτε παραλλήλῳ ὄντι τῇ βάσει μήτε ὑπεναντίως, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τὴν ΔΚΕ γραμμήν. λέγω, ὅτι ἡ ΔΚΕ γραμμὴ οὐκ ἔσται κύκλος.	32 in vol. 1
10	εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω, καὶ συμπιπτέτω τὸ τέμνον ἐπίπεδον τῇ βάσει, καὶ ἔστω τῶν ἐπιπέδων κοινὴ τομὴ ἡ ΖΗ, τὸ δὲ κέντρον τοῦ ΒΓ κύκλου ἔστω τὸ Θ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ κάθετος ἤχθω ἐπὶ τὴν ΖΗ ἡ ΘΗ, καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω διὰ τῆς ΗΘ καὶ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον καὶ
15	ποιείτω τομὰς ἐν τῇ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ τὰς ΒΑ, ΑΓ εὐθείας. ἐπεὶ οὖν τὰ Δ, Ε, Η σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τῆς ΔΚΕ ἐπιπέδῳ ἐστίν, ἔστι δὲ καὶ ἐν τῷ διὰ τῶν Α, Β, Γ, τὰ ἄρα Δ, Ε, Η σημεῖα ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων ἐστίν· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΗΕΔ. εἰλήφθω
20	δή τι ἐπὶ τῆς ΔΚΕ γραμμῆς σημεῖον τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ΚΜ τῇ ΜΛ. ἡ ἄρα ΔΕ διάμετρός ἐστι τοῦ ΔΚΛΕ κύκλου. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Μ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΝΜΞ· ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΖΗ παράλληλος· ὥστε
25	τὸ διὰ τῶν ΝΞ, ΚΜ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΒΓ, ΖΗ, τουτέστι τῇ βάσει, καὶ ἔσται ἡ τομὴ κύκλος. ἔστω ὁ ΝΚΞ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΗ τῇ ΒΗ πρὸς ὀρθάς ἐστι, καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΝΞ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΝΜΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΜ. ἔστι
30	δὲ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΜΕ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΜ· κύκλος γὰρ ὑπόκειται ἡ ΔΚΕΛ γραμμή, καὶ διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΔΕ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΝΜΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΔΜΕ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΜΝ πρὸς ΜΔ, οὕτως ἡ ΕΜ πρὸς ΜΞ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΜΝ τρίγωνον τῷ ΞΜΕ τρι‐
35	γώνῳ, καὶ ἡ ὑπὸ ΔΝΜ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΜΕΞ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΔΝΜ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΓ ἐστιν ἴση· παράλληλος γὰρ ἡ ΝΞ τῇ ΒΓ· καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΜΕΞ. ὑπεναντία ἄρα ἐστὶν ἡ τομή· ὅπερ οὐχ ὑπόκειται. οὐκ ἄρα κύκλος ἐστὶν ἡ ΔΚΕ	34 in vol. 1
40	γραμμή.
1 . 10	Ἐὰν ἐπὶ κώνου τομῆς ληφθῇ δύο σημεῖα, ἡ μὲν ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τῆς τομῆς, ἡ δὲ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ἐκτός. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις
5	δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον. τετμήσθω δὴ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ τοῦ κώνου ἐπιφανείᾳ τὴν ΔΕΖ γραμμήν, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΔΕΖ δύο σημεῖα τὰ Η, Θ. λέγω, ὅτι ἡ μὲν ἐπὶ τὰ
10	Η, Θ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τῆς ΔΕΖ γραμμῆς, ἡ δὲ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ ἐκτός. ἐπεὶ γὰρ κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, τέτμηται ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, εἴληπται δέ τινα σημεῖα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας αὐτοῦ τὰ
15	Η, Θ, ἃ μή ἐστιν ἐπὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα μὴ νεύῃ ἐπὶ τὸ Α, ἡ ἄρα ἐπὶ τὰ Η, Θ ἐπι‐ ζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τοῦ κώνου καὶ ἡ ἐπ’ εὐθείᾳ αὐτῇ ἐκτός· ὥστε καὶ τῆς ΔΖΕ τομῆς.
1 . 11	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ
1 . 11	δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ’ εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, ἔτι δὲ ἡ διάμετρος τῆς τομῆς παρ‐	36 in vol. 1
5	άλληλος ᾖ μιᾷ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς τοῦ κώνου παράλληλος ἀχθῇ τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τῆς βάσεως τοῦ κώνου μέχρι τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς, δυνήσεται τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς
10	ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς καὶ ἄλλης τινὸς εὐθείας, ἣ λόγον ἔχει πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς τοῦ κώνου γωνίας καὶ τῆς κορυφῆς τῆς τομῆς, ὃν τὸ τετρά‐ γωνον τὸ ἀπὸ τῆς βάσεως τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τρι‐ γώνου πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν λοιπῶν τοῦ
15	τριγώνου δύο πλευρῶν· καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη τομὴ παραβολή. ἔστω κῶνος, οὗ τὸ Α σημεῖον κορυφή, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τετμήσθω δὲ
20	καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ’ εὐθεῖαν τὴν ΔΕ πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τὴν ΔΖΕ, ἡ δὲ διάμετρος τῆς τομῆς ἡ ΖΗ παράλληλος ἔστω μιᾷ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ
25	σημείου τῇ ΖΗ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΑ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τυχὸν τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΔΕ παράλληλος ἡ ΚΛ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ.
30	ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Λ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΜΝ·
30	ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΔΕ παράλληλος· τὸ ἄρα διὰ τῶν ΚΛ, ΜΝ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΒΓ, ΔΕ ἐπιπέδῳ, τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου. τὸ ἄρα διὰ τῶν ΚΛ, ΜΝ ἐπίπεδον κύκλος ἐστίν, οὗ	38 in vol. 1
35	διάμετρος ἡ ΜΝ. καὶ ἔστι κάθετος ἐπὶ τὴν ΜΝ ἡ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΔΕ ἐπὶ τὴν ΒΓ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΜΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ
40	λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ καὶ ἡ ΒΓ πρὸς ΒΑ, ὁ ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΑ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΓΑ καὶ τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΒΓ πρὸς ΓΑ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΝΑ, τουτέστιν ἡ ΜΛ πρὸς ΛΖ, ὡς δὲ
45	ἡ ΒΓ πρὸς ΒΑ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΑ, τουτέστιν ἡ ΛΜ πρὸς ΜΖ, καὶ λοιπὴ ἡ ΝΛ πρὸς ΖΑ. ὁ ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΑ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς ΜΛ πρὸς ΛΖ καὶ τοῦ τῆς ΝΛ πρὸς ΖΑ. ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΜΛ πρὸς ΛΖ καὶ τοῦ τῆς ΛΝ πρὸς ΖΑ ὁ
1 . 11 (50)	τοῦ ὑπὸ ΜΛΝ ἐστι πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ. ὡς ἄρα ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ. ὡς δὲ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ, τῆς ΖΛ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΛΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΖΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΛ πρὸς
55	τὸ ὑπὸ ΛΖΑ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΜΛΝ τῷ ὑπὸ ΘΖΛ. τὸ δὲ ὑπὸ ΜΛΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΚΛ·
55	καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ. καλείσθω δὲ ἡ μὲν τοιαύτη τομὴ παραβολή, ἡ δὲ ΘΖ παρ’ ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι τεταγμένως ἐπὶ	40 in vol. 1
60	τὴν ΖΗ διάμετρον, καλείσθω δὲ καὶ ὀρθία.
1 . 12	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ’ εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, καὶ ἡ διάμετρος τῆς τομῆς ἐκβαλ‐
5	λομένη συμπίπτῃ μιᾷ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἐκτὸς τῆς τοῦ κώνου κορυφῆς, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς ἀχθῇ παράλληλος τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τῆς βάσεως τοῦ κώνου, ἕως τῆς διαμέτρου τῆς τομῆς δυνήσεταί τι χωρίον πα‐
10	ρακείμενον παρά τινα εὐθεῖαν, πρὸς ἣν λόγον ἔχει ἡ ἐπ’ εὐθείας μὲν οὖσα τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς, ὑπο‐ τείνουσα δὲ τὴν ἐκτὸς τοῦ τριγώνου γωνίαν, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου παρὰ τὴν διάμετρον τῆς τομῆς ἕως τῆς βάσεως
15	τοῦ τριγώνου πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τῆς βάσεως τμημάτων, ὧν ποιεῖ ἡ ἀχθεῖσα, πλάτος ἔχον τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς, ὑπερβάλλον εἴδει ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς
20	ὑποτεινούσης τὴν ἐκτὸς γωνίαν τοῦ τριγώνου καὶ τῆς παρ’ ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι· καλείσθω δὲ ἡ τοιαύτη τομὴ ὑπερβολή. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις
20	δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ	42 in vol. 1
25	ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ’ εὐθεῖαν τὴν ΔΕ πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ βάσει τοῦ ΑΒΓ τριγώνου, καὶ ποιείτω τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τὴν ΔΖΕ γραμμήν, ἡ δὲ διάμετρος τῆς τομῆς
30	ἡ ΖΗ ἐκβαλλομένη συμπιπτέτω μιᾷ πλευρᾷ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου τῇ ΑΓ ἐκτὸς τῆς τοῦ κώνου κορυφῆς κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ τεμνέτω τὴν ΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ τῇ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΖΛ, καὶ
35	πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ ΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΛ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τυχὸν τὸ Μ, καὶ διὰ τοῦ Μ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΝ, διὰ δὲ τοῦ Ν τῇ ΖΛ παράλληλος ἡ ΝΟΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΛ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ,
40	καὶ διὰ τῶν Λ, Ξ τῇ ΖΝ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΛΟ, ΞΠ. λέγω, ὅτι ἡ ΜΝ δύναται τὸ ΖΞ, ὃ παρά‐ κειται παρὰ τὴν ΖΛ πλάτος ἔχον τὴν ΖΝ ὑπερβάλλον εἴδει τῷ ΛΞ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ν τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΡΝΣ·
45	ἔστι δὲ καὶ ἡ ΝΜ τῇ ΔΕ παράλληλος· τὸ ἄρα διὰ τῶν ΜΝ, ΡΣ ἐπίπεδον παράλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΒΓ, ΔΕ, τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου. ἐὰν ἄρα ἐκβληθῇ τὸ διὰ τῶν ΜΝ, ΡΣ ἐπίπεδον, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται, οὗ διάμετρος ἡ ΡΝΣ. καὶ ἔστιν ἐπ’
1 . 12 (50)	αὐτὴν κάθετος ἡ ΜΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΡΝΣ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΜΝ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΚ
1 . 12 (50)	πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΖΛ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ,	44 in vol. 1
55	καὶ ὁ τῆς ΖΘ ἄρα πρὸς τὴν ΖΛ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς ΗΓ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΝΣ, ὡς δὲ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΒ, τουτέστιν ἡ ΖΝ πρὸς ΝΡ.
60	ὁ ἄρα τῆς ΘΖ πρὸς ΖΛ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΝ πρὸς ΝΣ καὶ τοῦ τῆς ΖΝ πρὸς ΝΡ. ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΘΝ πρὸς ΝΣ καὶ τοῦ τῆς ΖΝ πρὸς ΝΡ ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ ἐστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΣΝΡ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ
65	πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΣΝΡ, οὕτως ἡ ΘΖ πρὸς ΖΛ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΝΞ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΞ, τῆς ΖΝ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΖΝΞ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΣΝΡ, οὕτως τὸ
70	ὑπὸ τῶν ΘΝΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΞΝΖ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΣΝΡ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΞΝΖ. τὸ δὲ ἀπὸ ΜΝ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΣΝΡ· καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΜΝ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΞΝΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΞΝΖ ἐστι τὸ ΞΖ παραλληλόγραμμον. ἡ ἄρα ΜΝ δύναται τὸ ΞΖ, ὃ
75	παράκειται παρὰ τὴν ΖΛ πλάτος ἔχον τὴν ΖΝ ὑπερ‐ βάλλον τῷ ΛΞ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ τῶν ΘΖΛ. καλείσθω δὲ ἡ μὲν τοιαύτη τομὴ ὑπερβολή, ἡ δὲ ΛΖ παρ’ ἣν δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν ΖΗ καταγόμεναι τεταγμένως·
75	καλείσθω δὲ ἡ αὐτὴ καὶ ὀρθία, πλαγία δὲ ἡ ΖΘ.	46 in vol. 1
1 . 13	Ἐὰν κῶνος ἐπιπέδῳ τμηθῇ διὰ τοῦ ἄξονος, τμηθῇ δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι μὲν ἑκατέρᾳ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, μήτε δὲ παρὰ τὴν βάσιν τοῦ κώνου ἠγμένῳ μήτε ὑπεναντίως, τὸ δὲ ἐπίπεδον,
5	ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, καὶ τὸ τέμνον ἐπίπεδον συμπίπτῃ κατ’ εὐθεῖαν πρὸς ὀρθὰς οὖσαν ἤτοι τῇ βάσει τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἢ τῇ ἐπ’ εὐθείας αὐτῇ, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς τοῦ κώνου παράλληλος ἀχθῇ τῇ κοινῇ τομῇ τῶν ἐπιπέδων ἕως τῆς διαμέτρου
10	τῆς τομῆς, δυνήσεταί τι χωρίον παρακείμενον παρά τινα εὐθεῖαν, πρὸς ἣν λόγον ἔχει ἡ διάμετρος τῆς τομῆς, ὃν τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ἠγμένης ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου παρὰ τὴν διάμετρον τῆς τομῆς ἕως τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀπολαμ‐
15	βανομένων ὑπ’ αὐτῆς πρὸς ταῖς τοῦ τριγώνου εὐθείαις πλάτος ἔχον τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς παρ’ ἣν δύνανται· καλείσθω δὲ
20	ἡ τοιαύτη τομὴ ἔλλειψις. ἔστω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, καὶ τετμήσθω ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ ποιείτω τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τετμήσθω δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ συμπίπτοντι μὲν ἑκατέρᾳ πλευρᾷ
25	τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου, μήτε δὲ παραλλήλῳ τῇ βάσει τοῦ κώνου μήτε ὑπεναντίως ἠγμένῳ, καὶ ποιείτω
25	τομὴν ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τοῦ κώνου τὴν ΔΕ γραμμήν· κοινὴ δὲ τομὴ τοῦ τέμνοντος ἐπιπέδου καὶ τοῦ, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, ἔστω ἡ ΖΗ πρὸς ὀρθὰς	48 in vol. 1
30	οὖσα τῇ ΒΓ, ἡ δὲ διάμετρος τῆς τομῆς ἔστω ἡ ΕΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΕΔ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΘ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ πεποιήσθω ὡς τὸ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς
35	τομῆς τὸ Λ, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ. λέγω, ὅτι ἡ ΛΜ δύναταί τι χωρίον, ὃ παρά‐ κειται παρὰ τὴν ΕΘ πλάτος ἔχον τὴν ΕΜ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΕΘ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΔΘ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Μ τῇ ΘΕ
40	παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΞΝ, διὰ δὲ τῶν Θ, Ξ τῇ ΕΜ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΘΝ, ΞΟ, καὶ διὰ τοῦ Μ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΠΜΡ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΠΡ τῇ ΒΓ παράλληλός ἐστιν, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΛΜ τῇ ΖΗ παράλληλος, τὸ ἄρα διὰ τῶν ΛΜ, ΠΡ ἐπίπεδον παρ‐
45	άλληλόν ἐστι τῷ διὰ τῶν ΖΗ, ΒΓ ἐπιπέδῳ, τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου. ἐὰν ἄρα ἐκβληθῇ διὰ τῶν ΛΜ, ΠΡ ἐπίπεδον, ἡ τομὴ κύκλος ἔσται, οὗ διάμετρος ἡ ΠΡ. καί ἐστι κάθετος ἐπ’ αὐτὴν ἡ ΛΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΠΜΡ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ. καὶ ἐπεί ἐστιν,
1 . 13 (50)	ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚΓ, οὕτως ἡ ΕΔ πρὸς τὴν ΕΘ, ὁ δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΚΓ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, καὶ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ΗΒ, τουτέστιν ἡ ΕΜ
55	πρὸς ΜΠ, ὡς δὲ ἡ ΑΚ πρὸς ΚΓ, οὕτως ἡ ΔΗ πρὸς
55	ΗΓ, τουτέστιν ἡ ΔΜ πρὸς ΜΡ, ὁ ἄρα τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΕΜ πρὸς ΜΠ καὶ τοῦ τῆς ΔΜ πρὸς ΜΡ. ὁ δὲ συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΕΜ πρὸς ΜΠ, καὶ ἡ ΔΜ πρὸς	50 in vol. 1
60	ΜΡ, ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν ΕΜΔ ἐστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΠΜΡ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΜΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΠΜΡ, οὕτως ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΘ, τουτέστιν ἡ ΔΜ πρὸς τὴν ΜΞ. ὡς δὲ ἡ ΔΜ πρὸς ΜΞ, τῆς ΜΕ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΜΕ
65	πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΜΕ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΜΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΠΜΡ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΜΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΜΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΠΜΡ τῷ ὑπὸ ΞΜΕ. τὸ δὲ ὑπὸ ΠΜΡ ἴσον ἐδείχθη τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ· καὶ τὸ ὑπὸ ΞΜΕ ἄρα ἐστὶν ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΛΜ. ἡ ΛΜ
70	ἄρα δύναται τὸ ΜΟ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΘΕ πλάτος ἔχον τὴν ΕΜ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ΟΝ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ ΔΕΘ. καλείσθω δὲ ἡ μὲν τοιαύτη τομὴ ἔλλειψις, ἡ δὲ ΕΘ παρ’ ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν ΔΕ τεταγμένως, ἡ δὲ αὐτὴ καὶ ὀρθία, πλαγία δὲ
75	ἡ ΕΔ.
1 . 14	Ἐὰν αἱ κατὰ κορυφὴν ἐπιφάνειαι ἐπιπέδῳ τμηθῶσι μὴ διὰ τῆς κορυφῆς, ἔσται ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ἐπιφανειῶν τομὴ ἡ καλουμένη ὑπερβολή, καὶ τῶν δύο τομῶν ἥ τε διάμετρος ἡ αὐτὴ ἔσται, καὶ παρ’ ἃς δύνανται αἱ
5	ἐπὶ τὴν διάμετρον καταγόμεναι παράλληλοι τῇ ἐν τῇ βάσει τοῦ κώνου εὐθείᾳ ἴσαι, καὶ τοῦ εἴδους ἡ πλα‐ γία πλευρὰ κοινὴ ἡ μεταξὺ τῶν κορυφῶν τῶν τομῶν·
5	καλείσθωσαν δὲ αἱ τοιαῦται τομαὶ ἀντικείμεναι. ἔστωσαν αἱ κατὰ κορυφὴν ἐπιφάνειαι, ὧν κορυφὴ	52 in vol. 1
10	τὸ Α σημεῖον, καὶ τετμήσθωσαν ἐπιπέδῳ μὴ διὰ τῆς κορυφῆς, καὶ ποιείτω ἐν τῇ ἐπιφανείᾳ τομὰς τὰς ΔΕΖ, ΗΘΚ. λέγω, ὅτι ἑκατέρα τῶν ΔΕΖ, ΗΘΚ τομῶν ἐστιν ἡ καλουμένη ὑπερβολή. ἔστω γὰρ ὁ κύκλος, καθ’ οὗ φέρεται ἡ τὴν ἐπι‐
15	φάνειαν γράφουσα εὐθεῖα, ὁ ΒΔΓΖ, καὶ ἤχθω ἐν τῇ κατὰ κορυφὴν ἐπιφανείᾳ παράλληλον αὐτῷ ἐπίπεδον τὸ ΞΗΟΚ· κοιναὶ δὲ τομαὶ τῶν ΗΘΚ, ΖΕΔ τομῶν καὶ τῶν κύκλων αἱ ΖΔ, ΗΚ· ἔσονται δὴ παράλ‐ ληλοι. ἄξων δὲ ἔστω τῆς κωνικῆς ἐπιφανείας ἡ ΛΑΥ
20	εὐθεῖα, κέντρα δὲ τῶν κύκλων τὰ Λ, Υ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΖΔ κάθετος ἀχθεῖσα ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα, καὶ διὰ τῆς ΒΓ καὶ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ἐκβεβλήσθω· ποιήσει δὴ τομὰς ἐν μὲν τοῖς κύκλοις παραλλήλους εὐθείας τὰς ΞΟ, ΒΓ, ἐν δὲ τῇ ἐπιφανείᾳ
25	τὰς ΒΑΟ, ΓΑΞ· ἔσται δὴ καὶ ἡ ΞΟ τῇ ΗΚ πρὸς ὀρθάς, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΖΔ ἐστι πρὸς ὀρθάς, καί ἐστιν ἑκατέρα παράλληλος. καὶ ἐπεὶ τὸ διὰ τοῦ ἄξονος ἐπίπεδον ταῖς τομαῖς συμβάλλει κατὰ τὰ Μ, Ν σημεῖα ἐντὸς τῶν γραμμῶν, δῆλον, ὡς καὶ τὰς γραμμὰς τέμνει
30	τὸ ἐπίπεδον. τεμνέτω κατὰ τὰ Θ, Ε· τὰ ἄρα Μ, Ε, Θ, Ν σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τοῦ ἄξονός ἐστιν ἐπιπέδῳ καὶ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ εἰσιν αἱ γραμμαί· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΕΘΝ γραμμή. καὶ φανερόν, ὅτι τά τε Ξ, Θ, Α, Γ ἐπ’ εὐθείας ἐστὶ καὶ τὰ Β, Ε, Α, Ο ἔν
35	τε γὰρ τῇ κωνικῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ καὶ ἐν τῷ διὰ τοῦ
35	ἄξονος ἐπιπέδῳ. ἤχθωσαν δὴ ἀπὸ μὲν τῶν Θ, Ε τῇ ΘΕ πρὸς ὀρθὰς αἱ ΘΡ, ΕΠ, διὰ δὲ τοῦ Α τῇ ΜΕΘΝ παράλληλος ἤχθω ἡ ΣΑΤ, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, οὕτως ἡ ΘΕ	54 in vol. 1
40	πρὸς ΕΠ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΟΤΞ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΘΡ. ἐπεὶ οὖν κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Α σημεῖον, βάσις δὲ ὁ ΒΓ κύκλος, τέτμηται ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος, καὶ πεποίηκε τομὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, τέτμηται δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τέμνοντι
45	τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ’ εὐθεῖαν τὴν ΔΜΖ πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΒΓ, καὶ πεποίηκε τομὴν ἐν τῇ ἐπι‐ φανείᾳ τὴν ΔΕΖ, ἡ δὲ διάμετρος ἡ ΜΕ ἐκβαλλομένη συμπέπτωκε μιᾷ πλευρᾷ τοῦ διὰ τοῦ ἄξονος τριγώνου ἐκτὸς τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου, καὶ διὰ τοῦ Α σημείου
1 . 14 (50)	τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς τῇ ΕΜ παράλληλος ἦκται ἡ ΑΣ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΕΜ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΕΠ, καί ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς ΕΠ, ἡ μὲν ΔΕΖ ἄρα τομὴ ὑπερ‐ βολή ἐστιν, ἡ δὲ ΕΠ παρ’ ἣν δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν
55	ΕΜ καταγόμεναι τεταγμένως, πλαγία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΘΕ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ΗΘΚ ὑπερβολή ἐστιν, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΘΝ, ἡ δὲ ΘΡ παρ’ ἣν δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν ΘΝ καταγόμεναι τεταγμένως, πλαγία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΘΕ.
60	λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΡ τῇ ΕΠ. ἐπεὶ γὰρ παράλ‐ ληλός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΞΟ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΣ πρὸς ΣΓ, οὕτως ἡ ΑΤ πρὸς ΤΞ, καὶ ὡς ἡ ΑΣ πρὸς ΣΒ, οὕτως ἡ ΑΤ πρὸς ΤΟ. ἀλλ’ ὁ τῆς ΑΣ πρὸς ΣΓ λόγος μετὰ τοῦ τῆς ΑΣ πρὸς ΣΒ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΣ ἐστι πρὸς
65	τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, ὁ δὲ τῆς ΑΤ πρὸς ΤΞ μετὰ τοῦ τῆς ΑΤ πρὸς ΤΟ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ. καί ἐστιν ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΑΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΣΓ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΠ, ὡς δὲ	56 in vol. 1
70	τὸ ἀπὸ ΑΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΤΟ, ἡ ΘΕ πρὸς ΘΡ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΕ πρὸς ΕΠ, ἡ ΕΘ πρὸς ΘΡ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΠ τῇ ΘΡ.
1 . 15	Ἐὰν ἐν ἐλλείψει ἀπὸ τῆς διχοτομίας τῆς διαμέτρου ἀχθεῖσα εὐθεῖα τεταγμένως ἐκβληθῇ ἐφ’ ἑκάτερα ἕως τῆς τομῆς, καὶ ποιηθῇ ὡς ἡ ἐκβληθεῖσα πρὸς τὴν διάμετρον, ἡ διάμετρος πρός τινα εὐθεῖαν, ἥτις ἂν
5	ἀπὸ τῆς τομῆς ἀχθῇ ἐπὶ τὴν ἐκβληθεῖσαν παράλληλος τῇ διαμέτρῳ, δυνήσεται τὸ παρακείμενον παρὰ τὴν τρίτην ἀνάλογον πλάτος ἔχον τὴν ὑπ’ αὐτῆς ἀπολαμ‐ βανομένην πρὸς τῇ τομῇ ἐλλεῖπον εἴδει ὁμοίῳ τῷ πε‐ ριεχομένῳ ὑπό τε τῆς ἐφ’ ἣν ἄγονται καὶ τῆς παρ’
10	ἣν δύνανται, καὶ προσεκβαλλομένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς ἐφ’ ἣν κατῆκται. ἔστω ἔλλειψις, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω
15	τεταγμένως καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα ἕως τῆς τομῆς ἡ ΔΓΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου τῇ ΔΕ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ ποιείσθω ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΖ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Η, καὶ διὰ τοῦ Η τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω
20	ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΔΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΛ, διὰ δὲ τῶν Ζ, Λ τῇ ΘΔ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΖΚ, ΛΜ. λέγω, ὅτι ἡ ΗΘ δύναται τὸ ΔΛ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΔΖ πλάτος ἔχον τὴν ΔΘ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ΛΖ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ ΕΔΖ.	58 in vol. 1
25	ἔστω γὰρ παρ’ ἣν δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν ΑΒ κατ‐ αγόμεναι τεταγμένως ἡ ΑΝ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΝ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΞ, διὰ δὲ τῶν Ξ, Γ τῇ ΑΝ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΞΟ, ΓΠ, διὰ δὲ τῶν Ν, Ο, Π τῇ ΑΒ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ
30	ΝΥ, ΟΣ, ΤΠ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΓ τῷ ΑΠ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΗΞ τῷ ΑΟ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΝ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΠ, καὶ ἡ ΠΤ πρὸς ΤΝ, ἴση δὲ ἡ ΒΓ τῇ ΓΑ, τουτέστι τῇ ΤΠ, καὶ ἡ ΓΠ τῇ ΤΑ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ΑΠ τῷ ΤΡ, τὸ δὲ ΞΤ τῷ ΤΥ.
35	καὶ ἐπεὶ τὸ ΟΤ τῷ ΟΡ ἐστιν ἴσον, κοινὸν δὲ τὸ ΝΟ, τὸ ΤΥ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΝΣ. ἀλλὰ τὸ ΤΥ τῷ ΤΞ ἐστιν ἴσον, κοινὸν δὲ τὸ ΤΣ· ὅλον ἄρα τὸ ΝΠ, τουτέστι τὸ ΠΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΟ μετὰ τοῦ ΠΟ· ὥστε τὸ ΠΑ τοῦ ΑΟ ὑπερέχει τῷ ΟΠ. καί ἐστι τὸ μὲν ΑΠ ἴσον τῷ ἀπὸ
40	τῆς ΓΔ, τὸ δὲ ΑΟ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΞΗ, τὸ δὲ ΟΠ ἴσον τῷ ὑπὸ ΟΣΠ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΞ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν ΟΣΠ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΕ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Γ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Θ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΘΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΘ, τουτέστι τῆς
45	ΞΗ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΞΗ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ τῶν ΕΘΔ· ὑπερεῖχε δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΞ τῷ ὑπὸ τῶν ΟΣΠ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΕΘΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν
45	ΟΣΠ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ	60 in vol. 1
1 . 15 (50)	ΑΒ πρὸς τὴν ΔΖ, ἔστιν ἄρα καὶ ὡς ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ. καί ἐστι τῷ ἀπὸ ΓΔ ἴσον τὸ ὑπὸ ΠΓΑ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΠΓΒ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, τουτέστιν ὡς ἡ ΕΘ
55	πρὸς ΘΛ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘΔ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΠΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΠΣΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΣ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΕΘΔ τῷ ὑπὸ ΠΣΟ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΔΘΛ τῷ ἀπὸ τῆς ΟΣ, τουτέστι τῷ ἀπὸ
60	τῆς ΗΘ. ἡ ΗΘ ἄρα δύναται τὸ ΔΛ, ὃ παράκειται παρὰ τὴν ΔΖ ἐλλεῖπον εἴδει τῷ ΖΛ ὁμοίῳ ὄντι τῷ ὑπὸ τῶν ΕΔΖ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐκβαλλομένη ἡ ΘΗ ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς ΔΕ.
65	ἐκβεβλήσθω γὰρ καὶ συμβαλλέτω τῇ τομῇ κατὰ τὸ Φ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Φ τῇ ΗΞ παράλληλος ἤχθω ἡ ΦΧ, διὰ δὲ τοῦ Χ τῇ ΑΝ παράλληλος ἤχθω ἡ ΧΨ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΞ τῇ ΦΧ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΞ τῷ ἀπὸ τῆς ΦΧ. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς
70	ΗΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΞΟ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΦΧ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΧΨ. ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΟΞ πρὸς τὴν ΨΧ, οὕτως ἡ ΧΑ πρὸς ΑΞ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΟΞ πρὸς τὴν ΨΧ, οὕτως ἡ ΞΒ πρὸς ΒΧ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΧΑ πρὸς ΑΞ, οὕτως ἡ ΞΒ πρὸς
75	ΒΧ. καὶ διελόντι ὡς ἡ ΧΞ πρὸς ΞΑ, οὕτως ἡ ΧΞ πρὸς ΧΒ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΞ τῇ ΧΒ. ἔστι δὲ καὶ
75	ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΞΓ τῇ ΓΧ ἐστιν ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΗΘ τῇ ΘΦ. ἡ ἄρα ΘΗ ἐκβαλλο‐ μένη ἕως τοῦ ἑτέρου μέρους τῆς τομῆς δίχα τέμνεται	62 in vol. 1
80	ὑπὸ τῆς ΔΘ.
1 . 16	Ἐὰν διὰ τῆς διχοτομίας τῆς πλαγίας πλευρᾶς τῶν ἀντικειμένων ἀχθῇ τις εὐθεῖα παρὰ τεταγμένως κατ‐ ηγμένην, διάμετρος ἔσται τῶν ἀντικειμένων συζυγὴς τῇ προϋπαρχούσῃ διαμέτρῳ.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι, ὧν διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ κατὰ τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἡ ΓΔ. λέγω, ὅτι διά‐ μετρός ἐστιν ἡ ΓΔ συζυγὴς τῇ ΑΒ. ἔστωσαν γὰρ παρ’ ἃς δύνανται αἱ καταγόμεναι αἱ
10	ΑΕ, ΒΖ εὐθεῖαι, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΑΖ, ΒΕ ἐκ‐ βεβλήσθωσαν, καὶ εἰλήφθω τι ἐπὶ τῆς ἑτέρας τῶν τομῶν τυχὸν σημεῖον τὸ Η, καὶ διὰ μὲν τοῦ Η τῇ ΑΒ παρ‐ άλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, ἀπὸ δὲ τῶν Η, Θ κατήχθωσαν τεταγμένως αἱ ΗΚ, ΘΛ, διὰ δὲ τῶν Κ, Λ ταῖς ΑΕ, ΒΖ
15	παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΜ, ΛΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΘΛ, ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΗΚ τῷ ἀπὸ τῆς ΘΛ. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΗΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΚΜ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΘΛ ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν ΒΛΝ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΚΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΛΝ. καὶ ἐπεὶ
20	ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΒΖ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς ΒΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς ΑΒ, οὕτως ἡ ΜΚ πρὸς ΚΒ, ὡς δὲ ἡ ΖΒ πρὸς ΒΑ, οὕτως
20	ἡ ΝΛ πρὸς ΛΑ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΚ πρὸς ΚΒ, οὕτως ἡ ΝΛ πρὸς τὴν ΛΑ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΚ πρὸς τὴν ΚΒ,	64 in vol. 1
25	τῆς ΚΑ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΜΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΑ, ὡς δὲ ἡ ΝΛ πρὸς ΛΑ, τῆς ΒΛ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΛΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΛΒ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΜΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΚΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΝΛΒ πρὸς τὸ ὑπὸ
30	ΑΛΒ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ ΜΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΛΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΛΒ. καί ἐστιν ἴσον τὸ ὑπὸ ΜΚΑ τῷ ὑπὸ ΝΛΒ· ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΚΑ τῷ ὑπὸ ΑΛΒ· ἴση ἄρα ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ ἴση· καὶ ὅλη ἄρα
35	ἡ ΚΓ ὅλῃ τῇ ΓΛ ἴση ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ ΗΞ τῇ ΞΘ. ἡ ΗΘ ἄρα δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΞΓΔ· καί ἐστι παρ‐ άλληλος τῇ ΑΒ· διάμετρος ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΞΓΔ συ‐ ζυγὴς τῇ ΑΒ.
1 HOR2	Τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῆς ἐλλείψεως ἑκατέρας ἡ διχο‐ τομία τῆς διαμέτρου κέντρον τῆς τομῆς καλείσθω, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν τομὴν προσπίπτουσα ἐκ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς.
5	ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἀντικειμένων ἡ διχοτομία τῆς πλαγίας πλευρᾶς κέντρον καλείσθω. ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἠγμένη παρὰ τεταγμένως κατηγμένην μέσον τε λόγον ἔχουσα τῶν τοῦ εἴδους πλευρῶν καὶ δίχα τεμνομένη ὑπὸ τοῦ κέντρου δευτέρα
10	διάμετρος καλείσθω.	66 in vol. 1
1 . 17	Ἐὰν ἐν κώνου τομῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τῆς γραμμῆς ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τεταγμένως κατηγμένην, ἐκτὸς πε‐ σεῖται τῆς τομῆς. ἔστω κώνου τομή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ. λέγω, ὅτι
5	ἡ ἀπὸ τῆς κορυφῆς, τουτέστι τοῦ Α σημείου, παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀγομένη εὐθεῖα ἐκτὸς πεσεῖται τῆς τομῆς. εἰ γὰρ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἐν κώνου τομῇ εἴληπται τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, ἡ ἄρα
10	ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐντὸς τῆς τομῆς ἀγομένη παρὰ τεταγμένως κατηγμένην συμβαλεῖ τῇ ΑΒ διαμέτρῳ καὶ δίχα τμηθήσεται ὑπ’ αὐτῆς. ἡ ΑΓ ἄρα ἐκβαλλομένη δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς ΑΒ· ὅπερ ἄτοπον· ἐκβαλλο‐ μένη γὰρ ἡ ΑΓ ἐκτὸς πίπτει τῆς τομῆς. οὐκ ἄρα ἡ
15	ἀπὸ τοῦ Α σημείου παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀγο‐ μένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τῆς γραμμῆς· ἐκτὸς ἄρα πεσεῖται· διόπερ ἐφάπτεται τῆς τομῆς.
1 . 18	Ἐὰν κώνου τομῇ εὐθεῖα συμπίπτουσα ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πίπτῃ τῆς τομῆς, ληφθῇ δέ τι ση‐ μεῖον ἐντὸς τῆς τομῆς, καὶ δι’ αὐτοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ συμπιπτούσῃ, ἡ ἀχθεῖσα ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα
5	συμπεσεῖται τῇ τομῇ. ἔστω κώνου τομὴ καὶ συμπίπτουσα αὐτῇ ἡ ΑΖΒ εὐθεῖα, καὶ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πιπτέτω τῆς τομῆς, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐντὸς τῆς τομῆς
5	τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΔ.	68 in vol. 1
10	λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ. εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΒ τῇ ΓΔ, καὶ τῇ ΑΒ συμπίπτει τις εὐθεῖα ἡ ΕΖ, καὶ
15	ἡ ΓΔ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ ΕΖ. καὶ εἰ μὲν μεταξὺ τῶν Ε, Ζ, φανερόν, ὅτι καὶ τῇ τομῇ συμ‐ πίπτει, ἐὰν δὲ ἐκτὸς τοῦ Ε σημείου, πρότερον τῇ τομῇ συμπεσεῖται. ἡ ἄρα ΓΔ ἐκβαλλομένη ὡς ἐπὶ τὰ Δ, Ε μέρη συμπίπτει τῇ τομῇ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ
20	ὡς ἐπὶ τὰ Ζ, Β ἐκβαλλομένη συμπίπτει. ἡ ΓΔ ἄρα ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ.
1 . 19	Ἐν πάσῃ κώνου τομῇ, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς διαμέτρου παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀχθῇ, συμπεσεῖται τῇ τομῇ. ἔστω κώνου τομή, ἧς διάμετρος[Omitted graphic marker]
5	ἡ ΑΒ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς διαμέτρου τὸ Β, καὶ διὰ τοῦ Β παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἤχθω ἡ ΒΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΓ ἐκβαλλο‐ μένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ.
10	εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Δ· ἔστι δὲ καὶ τὸ Α ἐπὶ τῆς τομῆς· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐντὸς πεσεῖται τῆς τομῆς. καὶ ἐπεὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τεταγμένως κατ‐
15	ηγμένην ἀγομένη εὐθεῖα ἐκτὸς πίπτει τῆς τομῆς, καὶ συμπίπτει αὐτῇ ἡ ΑΔ, καί ἐστι τῇ κατηγμένῃ παρ‐ άλληλος ἡ ΒΓ, καὶ ἡ ΒΓ ἄρα συμπεσεῖται τῇ ΑΔ. καὶ εἰ μὲν μεταξὺ τῶν Α, Δ σημείων, φανερόν, ὅτι καὶ τῇ τομῇ συμπεσεῖται, εἰ δὲ ἐκτὸς τοῦ Δ ὡς κατὰ τὸ Ε,	70 in vol. 1
20	πρότερον τῇ τομῇ συμπεσεῖται. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀγομένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ τομῇ.
1 . 20	Ἐὰν ἐν παραβολῇ ἀπὸ τῆς τομῆς καταχθῶσι δύο εὐθεῖαι ἐπὶ τὴν διάμετρον τεταγμένως, ἔσται ὡς τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, οὕτως αἱ ἀπο‐ τεμνόμεναι ὑπ’ αὐτῶν ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ
5	κορυφῇ τῆς τομῆς. ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ εἰλήφθω τινὰ σημεῖα ἐπ’ αὐτῆς τὰ Γ, Δ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Δ τεταγμένως κατήχθωσαν ἐπὶ τὴν ΑΒ αἱ ΓΕ, ΔΖ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ,
10	οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ. ἔστω γὰρ παρ’ ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι ἡ ΑΗ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΔΖ τῷ ὑπὸ ΖΑΗ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ τῷ ὑπὸ τῶν ΕΑΗ. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΑΗ
15	πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑΗ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΖΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑΗ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ.
1 . 21	Ἐὰν ἐν ὑπερβολῇ ἢ ἐλλείψει ἢ κύκλου περιφερείᾳ
1 . 21	εὐθεῖαι ἀχθῶσι τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον, ἔσται τὰ ἀπ’ αὐτῶν τετράγωνα πρὸς μὲν τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τοῖς	72 in vol. 1
5	πέρασι τῆς πλαγίας πλευρᾶς τοῦ εἴδους ὡς τοῦ εἴδους ἡ ὀρθία πλευρὰ πρὸς τὴν πλαγίαν, πρὸς ἄλληλα δέ, ὡς τὰ περιεχόμενα χωρία ὑπὸ τῶν, ὡς εἴρηται, ἀπο‐ λαμβανομένων εὐθειῶν. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς
10	διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ, παρ’ ἣν δὲ δύνανται αἱ κατ‐ αγόμεναι ἡ ΑΓ, καὶ κατήχθωσαν ἐπὶ τὴν διάμετρον τεταγμένως αἱ ΔΕ, ΖΗ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς ΑΒ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ,
15	οὕτω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕΒ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΓ διορίζουσα τὸ εἶδος, καὶ διὰ τῶν Ε, Η τῇ ΑΓ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΕΘ, ΗΚ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΖΗ τῷ ὑπὸ ΚΗΑ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΕ τῷ ὑπὸ ΘΕΑ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς
20	ἡ ΚΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς ΗΒ, τῆς ΑΗ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΗΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΑ, ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΗΑ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΖΗ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΑ. διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐστι καί, ὡς τὸ
25	ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΑ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΕΑ· ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΗΑ πρὸς τὸ
25	ὑπὸ ΒΕΑ.	74 in vol. 1
1 . 22	Ἐὰν παραβολὴν ἢ ὑπερβολὴν εὐθεῖα τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα μὴ συμπίπτουσα τῇ διαμέτρῳ ἐντός, ἐκ‐ βαλλομένη συμπεσεῖται τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς ἐκτὸς τῆς τομῆς.
5	ἔστω παραβολὴ ἢ ὑπερβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τεμνέτω τις εὐθεῖα τὴν τομὴν κατὰ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ἐκτὸς τῆς τομῆς τῇ ΑΒ. κατήχθωσαν ἀπὸ τῶν Γ, Δ τεταγμένως αἱ ΓΕ, ΔΒ·
10	ἔστω δὲ πρῶτον ἡ τομὴ παραβολή. ἐπεὶ οὖν ἐν τῇ παραβολῇ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, οὕτως ἡ ΕΑ πρὸς ΑΒ, μείζων δὲ ἡ ΑΕ τῆς ΑΒ, μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ. ὥστε καὶ ἡ ΓΕ τῆς ΔΒ μείζων ἐστί. καί εἰσι παρ‐
15	άλληλοι· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ ΑΒ διαμέτρῳ ἐκτὸς τῆς τομῆς. ἀλλὰ δὴ ἔστω ὑπερβολή. ἐπεὶ οὖν ἐν τῇ ὑπερ‐ βολῇ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒΑ, μεῖζον ἄρα
20	καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΒ. καί εἰσι παρ‐ άλληλοι· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ δια‐ μέτρῳ τῆς τομῆς ἐκτὸς τῆς τομῆς.
1 . 23	Ἐὰν ἔλλειψιν εὐθεῖα τέμνῃ μεταξὺ κειμένη τῶν δύο διαμέτρων, ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν
1 . 23	διαμέτρων ἐκτὸς τῆς τομῆς. ἔστω ἔλλειψις, ἧς διάμετροι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ τεμνέτω	76 in vol. 1
5	τις εὐθεῖα τὴν τομὴν ἡ ΕΖ μεταξὺ κειμένη τῶν ΑΒ, ΓΔ διαμέτρων. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐκτὸς τῆς τομῆς. κατήχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Ε, Ζ τεταγμένως ἐπὶ μὲν τὴν ΑΒ αἱ ΗΕ, ΖΘ, ἐπὶ δὲ τὴν ΔΓ αἱ ΕΚ, ΖΛ.
10	ἔστιν ἄρα, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΗΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΘΑ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΖΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΔΛΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΚΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΒΗΑ μεῖζον τοῦ ὑπὸ ΒΘΑ· ἔγγιον γὰρ τὸ Η τῆς διχοτομίας· τὸ
15	δὲ ὑπὸ ΔΛΓ τοῦ ὑπὸ ΔΚΓ μεῖζον· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ μὲν ἀπὸ τῆς ΗΕ τοῦ ἀπὸ ΖΘ, τὸ δὲ ἀπὸ ΖΛ τοῦ ἀπὸ ΕΚ· μείζων ἄρα καὶ ἡ μὲν ΗΕ τῆς ΖΘ, ἡ δὲ ΖΛ τῆς ΕΚ. καί ἐστι παράλληλος ἡ μὲν ΗΕ τῇ ΖΘ, ἡ δὲ ΖΛ τῇ ΕΚ· ἡ ΕΖ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται
20	ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ διαμέτρων ἐκτὸς τῆς τομῆς.
1 . 24	Ἐὰν παραβολῇ ἢ ὑπερβολῇ εὐθεῖα καθ’ ἓν σημεῖον συμπίπτουσα ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πίπτῃ τῆς τομῆς, συμπεσεῖται τῇ διαμέτρῳ. ἔστω παραβολὴ ἢ ὑπερβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ,
5	καὶ συμπιπτέτω αὐτῇ εὐθεῖα ἡ ΓΔΕ κατὰ τὸ Δ καὶ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πιπτέτω τῆς τομῆς. λέγω, ὅτι συμπεσεῖται τῇ ΑΒ διαμέτρῳ.
5	εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΖ· ἡ ΔΖ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται	78 in vol. 1
10	τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Α· καί ἐστι μεταξὺ τῆς τε τομῆς καὶ τῆς ΖΔΑ ἡ ΓΔΕ. καὶ ἡ ΓΔΕ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ διαμέτρῳ ἐκτὸς τῆς τομῆς.
1 . 25	Ἐὰν ἐλλείψει εὐθεῖα συμπίπτουσα μεταξὺ τῶν δύο διαμέτρων ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πίπτῃ τῆς τομῆς, συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν διαμέτρων. ἔστω ἔλλειψις, ἧς διάμετροι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ταύτῃ
5	συμπιπτέτω τις εὐθεῖα μεταξὺ τῶν δύο διαμέτρων ἡ ΕΖ κατὰ τὸ Η καὶ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πιπτέτω τῆς τομῆς. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ. κατήχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΓΔ τεταγμένως
10	αἱ ΗΘ, ΗΚ. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΚ τῇ ΑΒ, συμπέπτωκε δέ τις τῇ ΗΚ ἡ ΗΖ, καὶ τῇ ΑΒ ἄρα συμπεσεῖται. ὁμοίως δὴ καὶ τῇ ΓΔ συμπεσεῖται ἡ ΕΖ.
1 . 26	Ἐὰν ἐν παραβολῇ ἢ ὑπερβολῇ εὐθεῖα ἀχθῇ παρὰ τὴν διάμετρον τῆς τομῆς, συμπεσεῖται τῇ τομῇ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον. ἔστω πρότερον παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒΓ,
5	ὀρθία δὲ ἡ ΑΔ, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ
5	τομῇ. εἰλήφθω γάρ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἤχθω ἡ	80 in vol. 1
10	ΕΗ, καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΗΕ μεῖζον ἔστω τὸ ὑπὸ ΔΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΓΘ· τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΔΑΓ. μεῖζον δὲ τὸ ὑπὸ ΔΑΓ τοῦ ἀπὸ ΕΗ· μεῖζον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΘΓ τοῦ ἀπὸ ΕΗ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΘΓ τῆς ΕΗ. καί
15	εἰσι παράλληλοι· ἡ ΕΖ ἄρα ἐκβαλλομένη τέμνει τὴν ΘΓ· ὥστε καὶ τῇ τομῇ συμπεσεῖται. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ. λέγω δή, ὅτι καὶ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον τὸ Κ συμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω καὶ κατὰ
20	τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν παραβολὴν εὐθεῖα τέμνει κατὰ δύο σημεῖα, ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ διαμέτρῳ τῆς τομῆς· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ παράλληλος. ἡ ΕΖ ἄρα ἐκβαλλομένη καθ’ ἓν μόνον σημεῖον συμπίπτει τῇ τομῇ.
25	ἔστω δὴ ἡ τομὴ ὑπερβολή, πλαγία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΑΒ, ὀρθία δὲ ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒ καὶ ἐκβεβλήσθω. τῶν αὐτῶν[Omitted graphic marker] δὴ κατασκευασθέντων ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΔ παράλληλος ἡ
30	ΓΜ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΜΓΑ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΔΑΓ, καί ἐστι τῷ μὲν ὑπὸ ΜΓΑ ἴσον τὸ ἀπὸ ΓΘ, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΑΓ μεῖζον τοῦ ἀπὸ ΗΕ, μεῖζον ἄρα καὶ
35	τὸ ἀπὸ ΓΘ τοῦ ἀπὸ ΕΗ. ὥστε καὶ ἡ ΓΘ τῆς ΕΗ
35	μείζων ἐστί, καὶ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον συμβήσεται.	82 in vol. 1
1 . 27	Ἐὰν παραβολῆς τὴν διάμετρον εὐθεῖα τέμνῃ, ἐκβαλ‐ λομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ. ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ταύτην τεμνέτω τις εὐθεῖα ἐντὸς τῆς τομῆς ἡ ΓΔ. λέγω,
5	ὅτι ἡ ΓΔ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα τὰ μέρη συμπεσεῖται τῇ τομῇ. ἤχθω γάρ τις ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τεταγμένως κατηγ‐ μένην ἡ ΑΕ· ἡ ΑΕ ἄρα ἐκτὸς πεσεῖται τῆς τομῆς. ἤτοι δὴ ἡ ΓΔ τῇ ΑΕ παράλληλός ἐστιν ἢ οὔ.
10	εἰ μὲν οὖν παράλληλός ἐστιν αὐτῇ, τεταγμένως κατῆκται, ὥστε ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ. μὴ ἔστω δὴ παράλληλος τῇ ΑΕ, ἀλλ’ ἐκβαλλομένη συμπιπτέτω τῇ ΑΕ κατὰ τὸ Ε. ὅτι μὲν οὖν τῇ τομῇ
15	συμπίπτει ἐπὶ τὰ μέρη, ἐφ’ ἅ ἐστι τὸ Ε, φανερόν· εἰ γὰρ τῇ ΑΕ συμβάλλει, πολὺ πρότερον τέμνει τὴν τομήν. λέγω, ὅτι καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἐκβαλλομένη συμπίπτει τῇ τομῇ. ἔστω γὰρ παρ’ ἣν δύνανται ἡ ΜΑ καὶ τεταγμένως ἡ ΗΖ, καὶ τὸ ἀπὸ ΑΔ ἴσον
20	ἔστω τῷ ὑπὸ ΒΑΖ, καὶ παρατεταγμένως ἡ ΒΚ συμ‐ πιπτέτω τῇ ΔΓ κατὰ τὸ Γ. ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΒ τῷ ἀπὸ ΑΔ, ἔστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΔ, ἡ ΔΑ πρὸς ΑΖ· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς λοιπὴν τὴν ΔΖ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΔ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ
25	ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ
25	ἀπὸ ΑΔ. ἐπειδὴ δὲ ἴσον τὸ ἀπὸ ΑΔ τῷ ὑπὸ ΒΑΖ, ἔστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ	84 in vol. 1
30	ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΜ. ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΑΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΜ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑΜ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΜ. τὸ δὲ ἀπὸ ΖΗ
35	ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΑΜ διὰ τὴν τομήν· καὶ τὸ ἀπὸ ΒΓ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΜ. πλαγία δὲ ἡ ΑΜ, παρα‐ τεταγμένως δὲ ἡ ΒΓ. ἡ ἄρα τομὴ ἔρχεται διὰ τοῦ Γ, καὶ συμπίπτει τῇ τομῇ ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Γ.
1 . 28	Ἐὰν εὐθεῖα ἐφάπτηται μιᾶς τῶν ἀντικειμένων, ληφθῇ δέ τι σημεῖον ἐντὸς τῆς ἑτέρας τομῆς, καὶ δι’ αὐτοῦ παράλληλος ἀχθῇ τῇ ἐφαπτομένῃ εὐθεῖα, ἐκ‐ βαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι, ὧν ἡ ΑΒ διάμετρος, καὶ τῆς Α τομῆς ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΔ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐντὸς τῆς ἑτέρας τομῆς τὸ Ε, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ.
10	ἐπεὶ οὖν δέδεικται, ὅτι ἡ ΓΔ ἐκβαλλομένη συμ‐ πεσεῖται τῇ ΑΒ διαμέτρῳ, καί ἐστι παράλληλος αὐτῇ ἡ ΕΖ, ἡ ΕΖ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ διαμέ‐ τρῳ· συμπιπτέτω κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ ΗΒ ἴση κείσθω
10	ἡ ΑΘ, καὶ διὰ τοῦ Θ τῇ ΖΕ παράλληλος ἤχθω ἡ	86 in vol. 1
15	ΘΚ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΚΛ, καὶ τῇ ΛΘ ἴση κείσθω ἡ ΗΜ, καὶ παρατεταγμένως ἤχθω ἡ ΜΝ, καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπ’ εὐθείας ἡ ΗΝ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΚΛ τῇ ΜΝ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ ΗΝ, καὶ μία εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΛΜ, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΘΛ
20	τρίγωνον τῷ ΗΜΝ τριγώνῳ. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΘ τῇ ΗΜ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΜΝ. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ τῷ ἀπὸ ΜΝ ἴσον ἐστί. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΘ τῇ ΗΜ, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΒΗ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΛ τῇ ΑΜ· ἴσον ἄρα ἐστὶ
25	τὸ ὑπὸ ΒΛΑ τῷ ὑπὸ ΑΜΒ. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΛΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΝ. καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΛΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΜΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΝ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν. τὸ Ν
30	ἄρα πρὸς τῇ τομῇ ἐστιν. ἡ ΕΖ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ κατὰ τὸ Ν. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ.
1 . 29	Ἐὰν ἐν ἀντικειμέναις εὐθεῖα προσπίπτῃ διὰ τοῦ κέντρου πρὸς ὁποτέραν τῶν τομῶν, ἐκβαλλομένη τεμεῖ τὴν ἑτέραν τομήν. ἔστωσαν ἀντικείμεναι, ὧν διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον
5	δὲ τὸ Γ, καὶ ἡ ΓΔ τεμνέτω τὴν ΑΔ τομήν. λέγω,
5	ὅτι καὶ τὴν ἑτέραν τομὴν τεμεῖ. τεταγμένως γὰρ κατήχθω ἡ ΕΔ, καὶ τῇ ΑΕ ἴση κείσθω ἡ ΒΖ, καὶ τεταγμένως ἤχθω ἡ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΑ τῇ ΒΖ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, ἴσον ἄρα	88 in vol. 1
10	τὸ ὑπὸ ΒΕΑ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ
15	ΖΗ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΒΕΑ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΕΔ τῷ ἀπὸ ΖΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΕΓ τῇ ΓΖ, ἡ δὲ ΔΕ τῇ ΖΗ, καὶ εὐθεῖά ἐστιν ἡ ΕΖ, καὶ παράλληλος ἡ ΕΔ τῇ ΖΗ, καὶ ἡ ΔΗ ἄρα εὐθεῖά ἐστι. καὶ ἡ ΓΔ ἄρα τεμεῖ καὶ τὴν ἑτέραν τομήν.
1 . 30	Ἐὰν ἐν ἐλλείψει ἢ ἀντικειμέναις εὐθεῖα ἀχθῇ ἐφ’ ἑκάτερα τοῦ κέντρου συμπίπτουσα τῇ τομῇ, δίχα τμη‐ θήσεται κατὰ τὸ κέντρον. ἔστω ἔλλειψις ἢ ἀντικείμεναι, διάμετρος δὲ αὐτῶν
5	ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ ἤχθω τις εὐθεῖα ἡ ΔΓΕ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΓΕ.[Omitted graphic marker] ἤχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΔΖ, ΕΗ. καὶ ἐπεί
5	ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ἀλλὰ καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ	90 in vol. 1
10	ἀπὸ ΗΕ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ, οὕτως τὸ
15	ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ· ἐναλλὰξ ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ. καὶ ὡς ἄρα ἐπὶ μὲν τῆς ἐλλείψεως συνθέντι, ἐπὶ δὲ τῶν ἀντικειμένων ἀνάπαλιν καὶ ἀναστρέψαντι τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς
20	τὸ ἀπὸ ΓΗ· καὶ ἐναλλάξ. ἴσον δὲ τῷ ἀπὸ ΑΓ τὸ ἀπὸ ΓΒ· ἴσον ἄρα καὶ τῷ ἀπὸ ΖΓ τὸ ἀπὸ ΓΗ. ἴση ἄρα ἡ ΖΓ τῇ ΓΗ. καί εἰσι παράλληλοι αἱ ΔΖ, ΗΕ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΔΓ τῇ ΓΕ.
1 . 31	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἐπὶ τῆς πλαγίας πλευρᾶς τοῦ εἴδους ληφθῇ τι σημεῖον μὴ ἐλάττονα ἀπολαμβάνον πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς τῆς ἡμισείας τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ προσπέσῃ εὐθεῖα πρὸς τὴν
5	τομήν, προσεκβληθεῖσα ἐντὸς πεσεῖται τῆς τομῆς κατὰ τὰ ἑπόμενα μέρη τῆς τομῆς. ἔστω ὑπερβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ εἰλήφθω ἐπ’ αὐτῆς σημεῖον ὄν τι τὸ Γ μὴ ἐλάττονα ἀπολαμ‐ βάνον τὴν ΓΒ τῆς ἡμισείας τῆς ΑΒ, καὶ προσπιπτέτω
10	τις εὐθεῖα πρὸς τὴν τομὴν ἡ ΓΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ
10	ἐκβαλλομένη ἐντὸς πεσεῖται τῆς τομῆς. εἰ γὰρ δυνατόν, ἐκτὸς πιπτέτω τῆς τομῆς ὡς ἡ ΓΔΕ, καὶ ἀπὸ τυχόντος σημείου τοῦ Ε τεταγμένως κατήχθω ἡ ΕΗ, καὶ ἡ ΔΘ, καὶ ἔστω πρότερον ἴση	92 in vol. 1
15	ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ, ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ διὰ τὸ παράλληλον εἶναι τὴν ΕΗ τῇ ΔΘ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΘ,
20	οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘΒ διὰ τὴν τομήν, τὸ ἄρα ἀπὸ ΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΘ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΑΗΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘΒ. ἐναλλὰξ ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘΒ. διελόντι ἄρα
25	τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘΒ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΓΔΕ ἐκτὸς πεσεῖται τῆς τομῆς· ἐντὸς ἄρα. καὶ διὰ τοῦτο ἡ ἀπό τινος τῶν ἐπὶ τῆς ΑΓ σημείων πολλῷ μᾶλλον ἐντὸς πεσεῖται, ἐπειδὴ καὶ τῆς
30	ΓΔ ἐντὸς πεσεῖται.
1 . 32	Ἐὰν κώνου τομῆς διὰ τῆς κορυφῆς εὐθεῖα παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἀχθῇ, ἐφάπτεται τῆς τομῆς, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε κώνου τομῆς καὶ τῆς εὐθείας ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται.
5	ἔστω κώνου τομὴ πρότερον ἡ καλουμένη παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α παρατεταγμένως ἤχθω ἡ ΑΓ.
5	ὅτι μὲν οὖν ἐκτὸς πίπτει τῆς τομῆς, δέδεικται. λέγω δή, ὅτι καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς ΑΓ εὐθείας	94 in vol. 1
10	καὶ τῆς τομῆς ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΑΔ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς τυχὸν τὸ Δ, καὶ τεταγ‐ μένως κατήχθω ἡ ΔΕ, καὶ ἔστω παρ’ ἣν δύνανται αἱ καταγόμεναι τεταγμένως ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ
15	ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΗΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ δὲ ἀπὸ ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΑΕ, καὶ τὸ ἀπὸ ΔΕ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τουτέστιν ἡ ΖΑ πρὸς ΑΕ. πεποιήσθω οὖν, ὡς
20	τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς ΑΘ, καὶ διὰ τοῦ Θ παράλληλος ἤχθω τῇ ΕΔ ἡ ΘΛΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, ἡ ΖΑ πρὸς ΑΘ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΖΑΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΘ, καί ἐστιν, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ,
25	οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΑ, τῷ δὲ ὑπὸ ΖΑΘ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΘΛ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΚΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΑ. ἴση ἄρα ἡ ΚΘ τῇ ΘΛ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς τομῆς ἑτέρα
30	εὐθεῖα παρεμπεσεῖται. ἔστω δὴ ἡ τομὴ ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ὀρθία δὲ ἡ ΑΖ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΖ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἀπὸ τοῦ Α παρα‐ τεταγμένως ἤχθω ἡ ΑΓ.
35	ὅτι μὲν οὖν ἐκτὸς πίπτει τῆς τομῆς, δέδεικται. λέγω δή, ὅτι καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς τομῆς ἑτέρα εὐθεῖα οὐ παρεμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΑΔ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς τυχὸν τὸ Δ, καὶ τεταγ‐	96 in vol. 1
40	μένως ἀπ’ αὐτοῦ κατήχθω ἡ ΔΕ, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΑΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΕΜ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΗΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΕΜ, πεποιήσθω τῷ ἀπὸ ΔΕ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΕΝ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΝ τεμνέτω τὴν ΖΜ κατὰ τὸ Ξ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ξ τῇ ΖΑ παράλ‐
45	ληλος ἤχθω ἡ ΞΘ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ ΑΓ ἡ ΘΛΚ. ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΕΝ, ἔστιν ὡς ἡ ΝΕ πρὸς ΕΔ, ἡ ΔΕ πρὸς ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΝΕ πρὸς ΕΑ, τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΝΕ πρὸς ΕΑ, ἡ ΞΘ πρὸς ΘΑ, ὡς δὲ τὸ
1 . 32 (50)	ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ἀπὸ ΚΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΑ. ὡς ἄρα ἡ ΞΘ πρὸς ΘΑ, τὸ ἀπὸ ΚΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΑ· μέση ἄρα ἀνάλογόν ἐστιν ἡ ΚΘ τῶν ΞΘΑ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΘΞ· ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΛΘ τῷ ὑπὸ ΑΘΞ ἴσον διὰ τὴν τομήν· τὸ
55	ἄρα ἀπὸ ΚΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΛ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς τομῆς ἑτέρα εὐθεῖα παρεμπεσεῖται.
1 . 33	Ἐὰν ἐν παραβολῇ ληφθῇ τι σημεῖον, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον καταχθῇ, καὶ τῇ ἀπο‐ λαμβανομένῃ ὑπ’ αὐτῆς ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τεθῇ ἴση ἐπ’ εὐθείας ἀπ’ ἄκρας αὐτῆς, ἡ ἀπὸ
5	τοῦ γενομένου σημείου ἐπὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἐπι‐
5	ζευγνυμένη ἐφάψεται τῆς τομῆς. ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ κατήχθω τεταγμένως ἡ ΓΔ, καὶ τῇ ΕΔ ἴση κείσθω ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΓ ἐκβαλλομένη ἐκτὸς	98 in vol. 1
10	πεσεῖται τῆς τομῆς. εἰ γὰρ δυνατόν, πιπτέτω ἐντὸς ὡς ἡ ΓΖ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΒΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΖΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΖΒ πρὸς τὸ
15	ἀπὸ ΓΔ, τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, ἡ ΒΕ πρὸς ΔΕ, ἡ ΒΕ ἄρα πρὸς ΕΔ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΔ, τὸ τετράκις ὑπὸ ΒΕΑ πρὸς τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΕΔ· καὶ τὸ τετράκις
20	ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΕΑ πρὸς τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΕΔ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ. ἐναλλὰξ ἄρα τὸ τετράκις ὑπὸ ΒΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ἴσης γὰρ οὔσης
25	τῆς ΑΕ τῇ ΕΔ τὸ τετράκις ὑπὸ ΑΕΔ τῷ ἀπὸ ΑΔ ἐστιν ἴσον, τὸ δὲ τετράκις ὑπὸ ΒΕΑ τοῦ ἀπὸ ΒΑ ἐστιν ἔλασσον· τῆς γὰρ ΑΒ οὐκ ἔστι διχοτομία τὸ Ε σημεῖον. οὐκ ἄρα ἡ ΑΓ ἐντὸς πίπτει τῆς τομῆς· ἐφάπτεται ἄρα.
1 . 34	Ἐὰν ἐπὶ ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περι‐ φερείας ληφθῇ τι σημεῖον, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ καταχθῇ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν διάμετρον τεταγμένως, καὶ ὃν ἔχουσι λόγον πρὸς ἀλλήλας αἱ ἀποτεμνόμεναι ὑπὸ τῆς κατ‐
5	ηγμένης πρὸς τοῖς πέρασι τῆς πλαγίας τοῦ εἴδους πλευρᾶς, τοῦτον ἔχῃ τὰ τμήματα τῆς πλαγίας πλευρᾶς, ὥστε ὁμόλογα εἶναι τὰ πρὸς τῇ κορυφῇ τμήματα, ἡ τὸ ἐπὶ τῆς πλαγίας πλευρᾶς ληφθὲν σημεῖον καὶ τὸ ἐπὶ τῆς τομῆς ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἐφάψεται τῆς τομῆς.	100 in vol. 1
10	ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Γ, καὶ ἀπὸ[Omitted graphic marker] τοῦ Γ τεταγμένως ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ πεποιήσθω
15	ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΕ ἐφ‐ άπτεται τῆς τομῆς.
20	εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτω ὡς ἡ ΕΓΖ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπ’ αὐτῆς τὸ Ζ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΗΖΘ, καὶ ἤχθωσαν διὰ τῶν Α, Β τῇ ΕΓ παράλληλοι αἱ ΑΛ, ΒΚ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΔΓ, ΒΓ, ΗΓ ἐκ‐ βεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Μ, Ξ, Κ σημεῖα. καὶ ἐπεί ἐστιν,
25	ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως ἡ ΒΚ πρὸς ΑΝ, ὡς δὲ ἡ ΒΕ πρὸς ΑΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΞ, τουτέστιν ἡ ΒΚ πρὸς ΞΝ, ὡς ἄρα ἡ ΒΚ πρὸς ΑΝ, ἡ ΒΚ πρὸς ΝΞ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΝ τῇ ΝΞ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΝΞ
30	μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΑΟΞ. ἡ ΝΞ ἄρα πρὸς ΞΟ μεί‐ ζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΟΑ πρὸς ΑΝ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΝΞ πρὸς ΞΟ, ἡ ΚΒ πρὸς ΒΜ· ἡ ΚΒ ἄρα πρὸς ΒΜ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΟΑ πρὸς ΑΝ. τὸ ἄρα ὑπὸ
30	ΚΒ, ΑΝ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΜΒ, ΑΟ. ὥστε τὸ	102 in vol. 1
35	ὑπὸ ΚΒ, ΑΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΜΒ, ΑΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΚΒ, ΑΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΔ, ΕΓΔ, ΝΑΔ τριγώνων, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΜΒ, ΑΟ πρὸς τὸ ἀπὸ
40	ΓΕ, οὕτως ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΒΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΕ. ἐναλλὰξ τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΒΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ
45	ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΒ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ· καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ. ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΗ
1 . 34 (50)	τῆς ΖΗ· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΕΓ τέμνει τὴν τομήν· ἐφάπτεται ἄρα.
1 . 35	Ἐὰν παραβολῆς εὐθεῖα ἐφάπτηται συμπίπτουσα τῇ διαμέτρῳ ἐκτὸς τῆς τομῆς, ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς εὐθεῖα ἀχθεῖσα τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον ἴσην ἀπολήψε‐ ται ἀπὸ τῆς διαμέτρου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς τῇ
5	μεταξὺ αὐτῆς καὶ τῆς ἐφαπτομένης, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς ἐφαπτομένης καὶ τῆς τομῆς οὐδεμία εὐθεῖα παρεμπεσεῖται. ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΒΓ, καὶ ἔστω ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΑΓ.
10	λέγω, ὅτι ἡ ΑΗ ἴση ἐστὶ τῇ ΗΒ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἄνισος αὐτῇ, καὶ τῇ ΑΗ ἴση κείσθω ἡ ΗΕ, καὶ τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ. ἡ ΑΖ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπε‐ σεῖται τῇ ΑΓ εὐθείᾳ· ὅπερ ἀδύνατον· δυεῖν γὰρ	104 in vol. 1
15	ἔσται εὐθειῶν τὰ αὐτὰ πέρατα. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ· ἴση ἄρα. λέγω δή, ὅτι εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε ΑΓ εὐθείας καὶ τῆς τομῆς οὐδεμία εὐθεῖα παρεμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ἡ ΓΔ, καὶ τῇ ΗΔ
20	ἴση κείσθω ἡ ΗΕ, καὶ τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΕΖ. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐφάπ‐ τεται τῆς τομῆς· ἐκβαλλομένη ἄρα ἐκτὸς πεσεῖται αὐτῆς. ὥστε συμπεσεῖται τῇ ΔΓ, καὶ δυεῖν εὐθειῶν ἔσται τὰ αὐτὰ πέρατα· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα εἰς
25	τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε τομῆς καὶ τῆς ΑΓ εὐθείας παρεμπεσεῖται εὐθεῖα.
1 . 36	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας ἐφάπτηταί τις εὐθεῖα συμπίπτουσα τῇ πλαγίᾳ τοῦ εἴδους πλευρᾷ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς καταχθῇ εὐθεῖα τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον, ἔσται ὡς ἡ ἀπολαμβανομένη ὑπὸ
5	τῆς ἐφαπτομένης πρὸς τῷ πέρατι τῆς πλαγίας πλευρᾶς πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπὸ τῆς ἐφαπτομένης πρὸς τῷ ἑτέρῳ πέρατι τῆς πλευρᾶς, οὕτως ἡ ἀπολαμ‐ βανομένη ὑπὸ τῆς κατηγμένης πρὸς τῷ πέρατι τῆς πλευρᾶς πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπὸ τῆς κατηγ‐
10	μένης πρὸς τῷ ἑτέρῳ πέρατι τῆς πλευρᾶς, ὥστε τὰς ὁμολόγους συνεχεῖς εἶναι, καὶ εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς ἐφαπτομένης καὶ τῆς τοῦ κώνου τομῆς ἑτέρα εὐθεῖα
10	οὐ παρεμπεσεῖται. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια,	106 in vol. 1
15	ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ἐφαπτομένη δὲ ἔστω ἡ ΓΔ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΓΕ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΒΕ πρὸς ΕΑ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ. εἰ γὰρ μή ἐστιν, ἔστω ὡς ἡ ΒΔ πρὸς ΔΑ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, καὶ τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΗΖ· ἡ ἄρα
20	ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐφάψεται τῆς τομῆς· ἐκβαλλομένη ἄρα συμπεσεῖται τῇ ΓΔ. δυεῖν ἄρα εὐθειῶν τὰ αὐτὰ πέρατά ἐστιν· ὅπερ ἄτοπον. λέγω, ὅτι μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς ΓΔ εὐθείας
25	οὐδεμία εὐθεῖα παρεμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, παρεμπιπτέτω ὡς ἡ ΓΘ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΒΘ πρὸς ΘΑ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΑ, καὶ τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΗΖ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ
30	ΘΓ. δυεῖν ἄρα εὐθειῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἔσται· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα εἰς τὸν μεταξὺ τόπον τῆς τε τομῆς καὶ τῆς ΓΔ εὐθείας παρεμπεσεῖται εὐθεῖα.
1 . 37	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον καταχθῇ εὐθεῖα τεταγμένως, ἡ ἀπολαμβανομένη εὐθεῖα ὑπὸ τῆς κατηγμένης πρὸς τῷ
5	κέντρῳ τῆς τομῆς μετὰ μὲν τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς ἐφαπτομένης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς τομῆς ἴσον περιέξει
5	τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς, μετὰ δὲ τῆς μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τῆς ἐφαπτομένης περιέξει χωρίον λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς κατηγμένης	108 in vol. 1
10	τετράγωνον, ὃν ἡ πλαγία πλευρὰ πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ κατήχθω τεταγμένως ἡ ΓΕ, κέντρον δὲ ἔστω τὸ Ζ. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΔΖΕ τῷ ἀπὸ ΖΒ,
15	καὶ ὡς τὸ ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἐπεὶ γὰρ ἐφάπτεται ἡ ΓΔ τῆς τομῆς, καὶ τεταγ‐ μένως κατῆκται ἡ ΓΕ, ἔσται, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ. συνθέντι ἄρα ἐστίν, ὡς συναμφότερος
20	ἡ ΑΔ, ΔΒ πρὸς ΔΒ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΑΕ, ΕΒ πρὸς ΕΒ. καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ ἡμίση· ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς ἐροῦμεν· ἀλλὰ συναμφοτέρου μὲν τῆς ΑΕ, ΕΒ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΖΕ, τῆς δὲ ΑΒ ἡ ΖΒ· ὡς ἄρα ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΖΒ πρὸς ΒΔ. ἀναστρέ‐
25	ψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΖΒ πρὸς ΖΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΖΔ τῷ ἀπὸ ΖΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΖΒ πρὸς ΒΔ, τουτέστιν ἡ ΑΖ πρὸς ΔΒ, ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς ΖΕ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ· συνθέντι, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΔΕ πρὸς
30	ΕΒ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΕΔ. ἔστι δὲ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου· ἀλλὰ συναμφοτέρου μὲν τῆς ΑΔ, ΔΒ
35	ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΔΖ, τῆς δὲ ΑΒ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΖΒ· ὡς ἄρα ἡ ΖΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΖΒ πρὸς ΒΕ. ἀνα‐ στρέψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΔΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΒΖ πρὸς ΖΕ. ἴσον ἄρα ἐστὶ[Omitted graphic marker] τὸ ὑπὸ ΔΖΕ τῷ ἀπὸ ΒΖ.	110 in vol. 1
40	ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΔΖΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΔΕΖ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΒΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΕΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ
45	ΔΕΖ λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΑΕΒ ἴσον ἔσται. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ. ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν.
1 . 38	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ δευτέρᾳ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς εὐθεῖα καταχθῇ ἐπὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον παράλληλος τῇ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ, ἡ ἀπολαμ‐
5	βανομένη εὐθεῖα ὑπὸ τῆς κατηγμένης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς τομῆς μετὰ μὲν τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς ἐφαπτομένης πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς τομῆς ἴσον περιέξει τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς δευτέρας διαμέτρου τετρα‐ γώνῳ, μετὰ δὲ τῆς μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τῆς
10	ἐφαπτομένης περιέξει χωρίον λόγον ἔχον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς κατηγμένης, ὃν ἔχει ἡ ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρὰ
10	πρὸς τὴν πλαγίαν. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΗΒ, δευτέρα δὲ διάμετρος ἡ ΓΗΔ,	112 in vol. 1
15	ἐφαπτομένη δὲ ἔστω τῆς τομῆς ἡ ΕΛΖ συμπίπτουσα τῇ ΓΔ κατὰ τὸ Ζ, παράλληλος δὲ ἔστω τῇ ΑΒ ἡ ΘΕ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΗΘ τῷ ἀπὸ ΗΓ ἐστιν ἴσον, καί ἐστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΗΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ, ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν.
20	ἤχθω τεταγμένως ἡ ΜΕ· ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ὑπὸ ΗΜΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΕ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἀλλ’ ἔστιν ὡς ἡ πλαγία ἡ ΒΑ πρὸς ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ὀρθίαν· καὶ ὡς ἄρα ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ· καὶ τὰ τέταρτα, τουτ‐
25	έστι τὸ ἀπὸ ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΗΜΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΕ, τὸ ἀπὸ ΗΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ. τὸ δὲ ὑπὸ ΗΜΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΕ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΜ πρὸς ΜΕ, τουτέστι πρὸς ΗΘ, καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΛΜ
30	πρὸς ΜΕ. ἀνάπαλιν ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ λόγος συνῆπται ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ, καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΜ πρὸς ΜΛ, τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΗΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον
35	ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΗ πρὸς ΗΜ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΖΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΛ. ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΗΛ, τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ.
35	καὶ ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ὑπὸ ΖΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ	114 in vol. 1
40	ΓΗ, τὸ ὑπὸ ΜΗΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΜΗΛ τῷ ἀπὸ ΗΑ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΗΘ τῷ ἀπὸ ΗΓ. πάλιν ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, τὸ ἀπὸ ΕΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΜΛ, καὶ τὸ ἀπὸ ΕΜ
45	πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΜΛ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΜ πρὸς ΗΜ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΘΕ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΜ πρὸς ΜΛ, τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΗΛ, τουτέστιν ἡ ΖΘ πρὸς ΘΕ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΖΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ,
1 . 38 (50)	ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ, ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεικτέον, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ μεταξὺ τῆς ἐφαπτομένης καὶ τοῦ πέρατος τῆς διαμέτρου ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῇ κατηγμένῃ πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ἐφαπ‐
55	τομένης καὶ τῆς δευτέρας διαμέτρου, ἡ μεταξὺ τοῦ ἑτέρου πέρατος καὶ τῆς κατηγμένης πρὸς τὴν μεταξὺ τοῦ ἑτέρου πέρατος καὶ τῆς κατηγμένης. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΖΗΘ τῷ ἀπὸ ΗΓ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΓΗΔ· ἴση γὰρ ἡ ΓΗ τῇ ΗΔ· τὸ
60	ἄρα ὑπὸ ΖΗΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΗΔ· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΔ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ. καὶ ἀναστρέ‐ ψαντι, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς ΖΔ, ἡ ΗΓ πρὸς ΓΘ. καὶ τὰ διπλᾶ τῶν ἡγουμένων· ἔστι δὲ διπλασία τῆς ΗΖ συναμφότερος ἡ ΓΖ, ΖΔ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΓΗ
65	τῇ ΗΔ, τῆς δὲ ΗΓ διπλασία ἡ ΓΔ· ὡς ἄρα συναμ‐ φότερος ἡ ΓΖΔ πρὸς ΖΔ, ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ. καὶ διελόντι ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ΖΔ, ἡ ΔΘ πρὸς ΘΓ· ὅπερ
65	ἔδει δεῖξαι. φανερὸν δὴ ἐκ τῶν εἰρημένων, ὅτι ἡ ΕΖ ἐφάπτεται	116 in vol. 1
70	τῆς τομῆς, ἐάν τε ἴσον ᾖ τὸ ὑπὸ ΖΗΘ τῷ ἀπὸ τῆς ΗΓ, ἐάν τε λόγον ἔχῃ τὸ ὑπὸ ΖΘΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΕ τὸν εἰρημένον· δειχθήσεται γὰρ ἀντιστρόφως.
1 . 39	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς καταχθῇ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν διάμετρον τεταγ‐ μένως, ἥτις ἂν ληφθῇ τῶν δύο εὐθειῶν, ὧν ἐστιν ἡ
5	μὲν μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς, ἡ δὲ μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τῆς ἐφαπτομένης, ἕξει πρὸς αὐτὴν ἡ κατηγμένη τὸν συγκείμενον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἑτέρα τῶν δύο εὐθειῶν πρὸς τὴν κατηγμένην, καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ εἴδους ὀρθία
10	πλευρὰ πρὸς τὴν πλαγίαν. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ αὐτῆς τὸ Ζ, καὶ ἐφαπτομένη ἤχθω τῆς τομῆς ἡ ΓΔ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΓΕ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΕ πρὸς τὴν ἑτέραν
15	τῶν ΖΕ, ΕΔ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἑτέρα τῶν ΖΕ, ΕΔ πρὸς τὴν ΕΓ. ἔστω γὰρ ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΕΔ τῷ ὑπὸ ΕΓ, Η. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΕ, ἡ
20	πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ἴσον δέ ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΕΔ τῷ ὑπὸ ΓΕ, Η, ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, Η πρὸς τὸ ἀπὸ
20	ΓΕ, τουτέστιν ἡ Η πρὸς ΕΓ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΖΕΔ τῷ ὑπὸ ΓΕ, Η, ἔστιν ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΕΓ, ἡ Η πρὸς ΕΔ.	118 in vol. 1
25	καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΕ πρὸς Η καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ Η πρὸς ΕΔ, ἀλλ’ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΓΕ πρὸς Η, ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, ὡς δὲ ἡ Η πρὸς ΔΕ, ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ, ἡ ΓΕ ἄρα πρὸς ΕΔ τὸν συγκείμενον
30	ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν καὶ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΓ.
1 . 40	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ δευτέρᾳ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς καταχθῇ εὐθεῖα ἐπὶ τὴν αὐτὴν διά‐ μετρον παράλληλος τῇ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ, ἥτις ἂν ληφθῇ
5	τῶν δύο εὐθειῶν, ὧν ἐστιν ἡ μὲν μεταξὺ τῆς κατηγ‐ μένης καὶ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς, ἡ δὲ μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τῆς ἐφαπτομένης, ἕξει πρὸς αὐτὴν ἡ κατηγμένη τὸν συγκείμενον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἑτέρα
10	τῶν δύο εὐθειῶν πρὸς τὴν κατηγμένην. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒ, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἡ ΒΖΓ, δευτέρα δὲ ἡ ΔΖΕ, καὶ ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΘΛΑ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΑΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ἑτέραν τῶν ΘΗ, ΖΗ
15	τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ πλα‐ γία πρὸς τὴν ὀρθίαν καὶ ἡ ἑτέρα τῶν ΘΗ, ΖΗ πρὸς
15	τὴν ΗΑ. ἔστω τῷ ὑπὸ ΘΗΖ ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΑ, Κ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, τὸ ὑπὸ ΘΗΖ	120 in vol. 1
20	πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, τῷ δὲ ὑπὸ ΘΗΖ ἴσον τὸ ὑπὸ ΗΑ, Κ, καὶ τὸ ὑπὸ ΗΑ, Κ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, τουτέστιν ἡ Κ πρὸς ΑΗ, ἔστιν ὡς ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΖ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΗ πρὸς Κ καὶ ἐκ
25	τοῦ ὃν ἔχει ἡ Κ πρὸς ΗΖ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΗΑ πρὸς Κ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ὡς δὲ ἡ Κ πρὸς ΗΖ, ἡ ΘΗ πρὸς ΗΑ διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ ΘΗΖ τῷ ὑπὸ ΑΗ, Κ, ἡ ΑΗ ἄρα πρὸς ΗΖ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν,
30	καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΘ πρὸς ΗΑ.
1 . 41	Ἐὰν ἐν ὑπερβολῇ ἢ ἐλλείψει ἢ κύκλου περιφερείᾳ εὐθεῖα καταχθῇ τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον, καὶ ἀπό τε τῆς τεταγμένης καὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἀνα‐ γραφῇ εἴδη παραλληλόγραμμα ἰσογώνια, ἔχῃ δὲ ἡ
5	κατηγμένη πλευρὰ πρὸς τὴν λοιπὴν τοῦ εἴδους πλευρὰν τὸν συγκείμενον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ἐκ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν λοιπὴν τοῦ εἴδους πλευράν, καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ εἴδους τῆς τομῆς ὀρθία πλευρὰ πρὸς τὴν πλαγίαν, τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τοῦ κέντρου
10	καὶ τῆς κατηγμένης εἶδος τὸ ὅμοιον τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου εἴδει ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς μεῖζόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς κατηγμένης εἴδους τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ
10	κέντρου εἴδει, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς κατηγμένης εἴδους ἴσον	122 in vol. 1
15	ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου εἴδει. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΓΔ, καὶ ἀπὸ τῶν ΕΑ, ΓΔ ἰσογώνια εἴδη ἀναγεγράφθω τὰ ΑΖ, ΔΗ, καὶ ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΓΗ
20	τὸν συγκείμενον ἐχέτω λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλα‐ γίαν. λέγω, ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ εἶδος τὸ ὅμοιον τῷ ΑΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς ΑΖ, ΗΔ, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ
25	ὅμοιον τῷ ΑΖ μετὰ τοῦ ΗΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΖ. πεποιήσθω γάρ, ὡς ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, ἀλλ’ ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ, τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓΘ, ὡς δὲ ἡ
30	ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, τὸ ἀπὸ ΔΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΔΑ, ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔΑ τῷ ὑπὸ ΔΓΘ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΗ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, τουτέστιν ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ,
35	ἔτι δὲ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΗ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΓ πρὸς ΓΗ, ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ λόγῳ ἔκ τε τοῦ
40	ὃν ἔχει ἡ ΔΓ πρὸς ΓΘ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΓ
40	πρὸς ΓΗ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ τῆς ΓΔ πρὸς ΓΘ· λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΖ λόγος λοιπῷ τῷ τῆς ΘΓ πρὸς ΓΗ λόγῳ ἐστὶν ὁ αὐτός. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΘΓ πρὸς ΓΗ, τὸ ὑπὸ ΘΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΓΔ, ὡς δὲ	124 in vol. 1
45	ἡ ΑΕ πρὸς ΕΖ, τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΖ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΓΔ, τὸ ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΘΓΔ ἴσον ἐδείχθη τῷ ὑπὸ ΒΔΑ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΓΔ, τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΖ. ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ
1 . 41 (50)	ΒΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ, τὸ ὑπὸ ΗΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΖ. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΗΓΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΕΖ, τὸ ΔΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΑ· ἰσογώνια γάρ ἐστι καὶ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν τῆς ΗΓ πρὸς ΑΕ καὶ τῆς ΓΔ πρὸς ΕΖ· καὶ ὡς ἄρα τὸ
55	ὑπὸ ΒΔΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ΗΔ πρὸς ΑΖ. λεκτέον τοίνυν ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς· [ὡς πάντα πρὸς πάντα, ἓν πρὸς ἕν] ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΔΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, οὕτως τὰ ΗΔ, ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖ.
60	ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΔ εἶδος τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον τῷ ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖ· ὡς ἄρα τὰ ΗΔ, ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΕΔ εἶδος ὅμοιον τῷ ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖ. τὸ ἀπὸ ΕΔ ἄρα εἶδος τὸ ὅμοιον τῷ ΑΖ ἴσον ἐστὶ τοῖς
65	ΗΔ, ΑΖ. ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τῆς τοῦ κύκλου περι‐ φερείας ἐροῦμεν· ἐπεὶ οὖν ὡς ὅλον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς ὅλον τὸ ΑΖ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ὑπὸ ΑΔΒ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΔΗ, καὶ λοιπόν ἐστι πρὸς λοιπόν,
70	ὡς ὅλον πρὸς ὅλον. ἀπὸ δὲ τοῦ ἀπὸ ΕΑ ἐὰν ἀφ‐ αιρεθῇ τὸ ὑπὸ ΒΔΑ, λοιπόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΔΕ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ἣν ὑπερέχει τὸ ΑΖ τοῦ ΔΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΖ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ΑΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς	126 in vol. 1
75	τὸ ἀπὸ ΔΕ εἶδος ὅμοιον τῷ ΑΖ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὴν ὑπεροχήν, ἣν ὑπερέχει τὸ ΑΖ τοῦ ΔΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ εἶδος τὸ ὅμοιον τῷ ΑΖ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ εἶδος ὅμοιον τῷ ΑΖ τῇ ὑπεροχῇ, ἣν ὑπερέχει τὸ ΑΖ τοῦ ΔΗ. μετὰ
80	τοῦ ΔΗ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΖ.
1 . 42	Ἐὰν παραβολῆς εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς εὐθεῖα καταχθῇ ἐπὶ τὴν διάμετρον τεταγμένως, ληφθέντος δέ τινος ἐπὶ τῆς τομῆς σημείου καταχθῶσιν ἐπὶ τὴν διάμετρον δύο εὐθεῖαι,
5	καὶ ἡ μὲν αὐτῶν παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν ἀπὸ τῆς ἁφῆς κατηγμένην, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν τρί‐ γωνον ἴσον ἐστὶ τῷ περιεχομένῳ παραλληλογράμμῳ ὑπό τε τῆς ἀπὸ τῆς ἁφῆς κατηγμένης καὶ τῆς ἀπολαμβανο‐ μένης ὑπὸ τῆς παραλλήλου πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς.
10	ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΑΓ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΓΘ, καὶ ἀπό τινος σημείου τυχόντος κατήχθω ἡ ΔΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Δ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΒΖ ἡ ΓΗ, διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΘΓ
15	ἡ ΒΗ. λέγω, ὅτι τὸ ΔΕΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΗΖ παραλληλογράμμῳ.
15	ἐπεὶ γὰρ τῆς τομῆς ἐφάπτεται ἡ ΑΓ, καὶ τεταγμένως κατῆκται ἡ ΓΘ, ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΒΘ· διπλασία ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῆς ΘΒ. τὸ ΑΘΓ ἄρα τρίγωνον	128 in vol. 1
20	τῷ ΒΓ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ διὰ τὴν τομήν, ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ, τὸ ΑΓΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΔΖ τρίγωνον, ὡς δὲ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ, τὸ ΗΘ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΖ
25	παραλληλόγραμμον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΓΘ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΔΖ τρίγωνον, τὸ ΘΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΖΗ παραλληλόγραμμον. ἐναλλὰξ ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ΑΘΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΒΓ παραλληλόγραμμον, τὸ ΕΔΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΖ παραλληλόγραμμον.
30	ἴσον δὲ τὸ ΑΓΘ τρίγωνον τῷ ΗΘ παραλληλογράμμῳ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΔΖ τρίγωνον τῷ ΗΖ παραλληλο‐ γράμμῳ.
1 . 43	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς καταχθῇ εὐθεῖα τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον, καὶ ταύτῃ διὰ τῆς κορυφῆς παράλληλος ἀχθῇ συμ‐
5	πίπτουσα τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένῃ εὐθείᾳ, ληφθέντος δέ τινος σημείου ἐπὶ τῆς τομῆς ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι ἐπὶ τὴν διάμετρον, ὧν ἡ μὲν παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν ἀπὸ τῆς ἁφῆς κατηγμένην, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν τρίγωνον ἐπὶ τῆς
10	ὑπερβολῆς, οὗ ἀποτέμνει τριγώνου ἡ διὰ τοῦ κέντρου καὶ τῆς ἁφῆς, ἔλασσον ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τῷ ὁμοίῳ τῷ ἀποτεμνομένῳ, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως
10	καὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μετὰ τοῦ ἀποτεμνο‐ μένου πρὸς τῷ κέντρῳ τριγώνου ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ	130 in vol. 1
15	τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τριγώνῳ ὁμοίῳ τῷ ἀποτεμνομένῳ. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καὶ ἤχθω ἐφαπτο‐ μένη τῆς τομῆς ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεξεύχθω ἡ ΓΕ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΕΖ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον
20	ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Η, καὶ τῇ ἐφαπτομένῃ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΗΚ, διὰ δὲ τοῦ Β τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΒΛ. λέγω, ὅτι τὸ ΚΜΓ τρίγωνον τοῦ ΓΛΒ τριγώνου διαφέρει τῷ ΗΚΘ τρι‐ γώνῳ.
25	ἐπεὶ γὰρ ἐφάπτεται μὲν ἡ ΕΔ, κατηγμένη δέ ἐστιν ἡ ΕΖ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς ΖΕ καὶ τῆς ὀρθίας πρὸς τὴν πλαγίαν. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς ΖΔ, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ, ἡ ΓΒ πρὸς ΒΛ· ἕξει
30	ἄρα ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ τὸν συγκείμενον λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΒΛ καὶ τῆς ὀρθίας πρὸς τὴν πλαγίαν. καὶ διὰ τὰ δεδειγμένα ἐν τῷ τεσσαρακοστῷ πρώτῳ θεωρήματι τὸ ΓΚΜ τρίγωνον τοῦ ΒΓΛ τριγώνου διαφέρει τῷ ΗΘΚ· καὶ γὰρ ἐπὶ τῶν διπλασίων αὐτῶν
35	παραλληλογράμμων τὰ αὐτὰ δέδεικται.
1 . 44	Ἐὰν μιᾶς τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς καταχθῇ τις
1 . 44	εὐθεῖα τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον, καὶ ταύτῃ διὰ τῆς κορυφῆς τῆς ἑτέρας τομῆς παράλληλος ἀχθῇ συμ‐	132 in vol. 1
5	πίπτουσα τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένῃ εὐθείᾳ, ληφθέντος δὲ ἐπὶ τῆς τομῆς, οὗ ἔτυχε σημείου, καταχθῶσιν εὐθεῖαι ἐπὶ τὴν διάμετρον, ὧν ἡ μὲν παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν κατηγμένην ἀπὸ τῆς ἁφῆς τεταγμένως, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν
10	τρίγωνον, οὗ ἀποτέμνει τριγώνου ἡ κατηγμένη πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς τομῆς, ἔλασσον ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τριγώνῳ ὁμοίῳ τῷ ἀποτεμνομένῳ. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΖ, ΒΕ, διάμετρος δὲ αὐτῶν ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καὶ ἀπό τινος ση‐
15	μείου τῶν ἐπὶ τῆς ΖΑ τομῆς τοῦ Ζ ἐφαπτομένη ἤχθω τῆς τομῆς ἡ ΖΗ, τεταγμένως δὲ ἡ ΖΟ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ καὶ ἐκβεβλήσθω ὡς ἡ ΓΕ, καὶ διὰ τοῦ Β τῇ ΖΟ παράλληλος ἡ ΒΛ, καὶ σημεῖόν τι ἐπὶ τῆς ΒΕ τομῆς τὸ Ν, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν τεταγμένως κατήχθω ἡ ΝΘ, τῇ
20	δὲ ΖΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΚ. λέγω, ὅτι τὸ ΘΚΝ τρίγωνον τοῦ ΓΜΘ τριγώνου ἔλασσόν ἐστι τῷ ΓΒΛ τριγώνῳ. διὰ γὰρ τοῦ Ε τῆς ΒΕ τομῆς ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΕΔ, τεταγμένως δὲ ἡ ΕΞ. ἐπεὶ οὖν ἀντικείμεναί
25	εἰσιν αἱ ΖΑ, ΒΕ, ὧν διάμετρος ἡ ΑΒ, ἡ δὲ διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΖΓΕ, καὶ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΖΗ, ΕΔ, τῇ ΖΗ παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΕ. ἡ δὲ ΝΚ παράλληλός ἐστι τῇ ΖΗ· καὶ τῇ ΕΔ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΝΚ,
25	ἡ δὲ ΜΘ τῇ ΒΛ. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΕ,	134 in vol. 1
30	ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, ἐφαπτομένη δὲ τῆς τομῆς ἡ ΔΕ, τεταγμένως δὲ ἡ ΕΞ, καὶ τῇ ΕΞ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΛ, καὶ εἴληπται ἐπὶ τῆς τομῆς σημεῖον τὸ Ν, ἀφ’ οὗ τεταγμένως μὲν κατῆκται ἡ ΝΘ, παράλληλος δὲ ἦκται τῇ ΔΕ ἡ ΚΝ, τὸ ἄρα ΝΘΚ
35	τρίγωνον τοῦ ΘΜΓ τριγώνου ἔλασσόν ἐστι τῷ ΒΓΛ τριγώνῳ· τοῦτο γὰρ ἐν τῷ μγʹ θεωρήματι δέδεικται.
1 . 45	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ δευτέρᾳ διαμέτρῳ, καὶ ἀπὸ τῆς ἁφῆς καταχθῇ τις εὐθεῖα ἐπὶ τὴν αὐτὴν διάμετρον παράλληλος τῇ ἑτέρᾳ διαμέτρῳ, καὶ διὰ τῆς
5	ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου εὐθεῖα ἐκβληθῇ, ληφθέντος δέ, οὗ ἔτυχεν, ἐπὶ τῆς τομῆς σημείου ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον, ὧν ἡ μὲν παρὰ τὴν ἐφ‐ απτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν κατηγμένην, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν τρίγωνον, οὗ ἀποτέμνει τριγώνου ἡ κατ‐
10	ηγμένη πρὸς τῷ κέντρῳ, ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς μεῖζον ἔσται τῷ τριγώνῳ, οὗ βάσις μὲν ἡ ἐφαπτομένη, κορυφὴ δὲ τὸ κέντρον τῆς τομῆς, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου μετὰ τοῦ ἀποτεμνομένου ἴσον ἔσται τῷ τριγώνῳ, οὗ βάσις μὲν ἡ ἐφαπτομένη, κορυφὴ δὲ τὸ
15	κέντρον τῆς τομῆς. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΑΘ, δευτέρα δὲ ἡ ΘΔ, κέντρον δὲ τὸ Θ, καὶ ἡ μὲν ΓΜΛ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Γ, ἡ δὲ ΓΔ ἤχθω παρὰ τὴν ΑΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα
20	ἡ ΘΓ ἐκβεβλήσθω, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τομῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Β, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΒΖ παρὰ τὰς ΛΓ, ΓΔ. λέγω, ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς τὸ ΒΕΖ τρίγωνον τοῦ ΗΘΖ μεῖζόν ἐστι τῷ ΛΓΘ, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου μετὰ τοῦ ΖΗΘ	136 in vol. 1
25	ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΛΘ. ἤχθωσαν γὰρ αἱ ΓΚ, ΒΝ παρὰ τὴν ΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΓΜ, κατῆκται δὲ ἡ ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΚΘ τὸν συγκείμενον λόγον ἔχει ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΜΚ πρὸς ΚΓ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει τοῦ εἴδους ἡ ὀρθία πλευρὰ
30	πρὸς τὴν πλαγίαν· ὡς δὲ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΓ, ἡ ΓΔ πρὸς ΔΛ· ἡ ΓΚ ἄρα πρὸς ΚΘ λόγον ἔχει τὸν συγ‐ κείμενον ἐκ τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΛ καὶ τῆς ὀρθίας πρὸς τὴν πλαγίαν. καί ἐστι τὸ ΓΔΛ τρίγωνον τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ εἶδος, τὸ δὲ ΓΚΘ, τουτέστι τὸ ΓΔΘ, τὸ ἀπὸ
35	τῆς ΓΚ, τουτέστι τῆς ΔΘ· τὸ ΓΔΛ ἄρα τρίγωνον τοῦ ΓΚΘ ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς μεῖζόν ἐστι τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ τριγώνῳ ὁμοίῳ τῷ ΓΔΛ, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου τὸ ΓΔΘ μετὰ τοῦ ΓΔΛ ἴσον ἐστὶ τῷ αὐτῷ· καὶ γὰρ ἐπὶ τῶν διπλασίων αὐτῶν τοῦτο ἐδείχθη
40	ἐν τῷ τεσσαρακοστῷ πρώτῳ θεωρήματι. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΔΛ τρίγωνον τοῦ ΓΚΘ ἤτοι τοῦ ΓΔΘ διαφέρει[Omitted graphic marker] τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ τριγώνῳ ὁμοίῳ τῷ ΓΔΛ, διαφέρει
40	δὲ καὶ τῷ ΓΘΛ τριγώνῳ, ἴσον ἄρα τὸ ΓΘΛ τρίγωνον τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ ὁμοίῳ τῷ ΓΔΛ τριγώνῳ. ἐπεὶ οὖν	138 in vol. 1
45	τὸ μὲν ΒΖΕ τρίγωνον ὅμοιόν ἐστι τῷ ΓΔΛ, τὸ δὲ ΗΖΘ τῷ ΓΔΘ, τὸν αὐτὸν ἄρα λόγον ἔχει. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΖΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΝΘ μεταξὺ τῆς κατηγμένης καὶ τοῦ κέντρου, τὸ δὲ ΗΖΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΝ κατ‐ ηγμένης, τουτέστι τῆς ΖΘ· καὶ διὰ τὰ δεδειγμένα
1 . 45 (50)	πρότερον τὸ ΒΖΕ τοῦ ΗΘΖ διαφέρει τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ ὁμοίῳ τῷ ΓΔΛ· ὥστε καὶ τῷ ΓΛΘ.
1 . 46	Ἐὰν παραβολῆς εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, ἡ διὰ τῆς ἁφῆς παράλληλος ἀγομένη τῇ διαμέτρῳ ἐπὶ ταὐτὰ τῇ τομῇ τὰς ἀγομένας ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην δίχα τέμνει.
5	ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒΔ, καὶ ἐφ‐ απτέσθω τῆς τομῆς ἡ ΑΓ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΓΜ,[Omitted graphic marker] καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τομῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Λ, καὶ
10	ἤχθω τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΛΝΖΕ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ἴση ἡ ΛΝ τῇ ΝΖ. ἤχθωσαν τεταγμένως αἱ ΒΘ, ΚΖΗ, ΛΜΔ. ἐπεὶ
15	οὖν διὰ τὰ δεδειγμένα ἐν τῷ τεσσαρακοστῷ δευτέρῳ θεωρήματι ἴσον ἐστὶ τὸ ΕΛΔ τρίγωνον τῷ ΒΜ παρ‐
15	αλληλογράμμῳ, τὸ δὲ ΕΖΗ τῷ ΒΚ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΗΜ παραλληλόγραμμον λοιπῷ τῷ ΛΖΗΔ τετραπλεύρῳ ἐστὶν ἴσον. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΜΔΗΖΝ πεντά‐	140 in vol. 1
20	πλευρον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΖΝ τρίγωνον τῷ ΛΜΝ ἴσον ἐστί. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΚΖ τῇ ΛΜ· ἴση ἄρα ἡ ΖΝ τῇ ΛΝ.
1 . 47	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου εὐθεῖα ἀχθῇ ἐπὶ ταὐτὰ τῇ τομῇ, δίχα τεμεῖ τὰς ἀγομένας ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὴν
5	ἐφαπτομένην. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καὶ ἐφαπτομένη[Omitted graphic marker] τῆς τομῆς ἤχθω ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω, καὶ εἰλήφθω τυχὸν ἐπὶ τῆς τομῆς σημεῖον
10	τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Ν παράλληλος ἤχθω ἡ ΘΝΟΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΝΟ τῇ ΟΗ. κατήχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΞΝΖ, ΒΛ, ΗΜΚ. διὰ τὰ δεδειγμένα ἄρα ἐν τῷ μγʹ θεωρήματι ἴσον ἐστὶ
10	τὸ μὲν ΘΝΖ τρίγωνον τῷ ΛΒΖΞ τετραπλεύρῳ, τὸ	142 in vol. 1
15	δὲ ΗΘΚ τρίγωνον τῷ ΛΒΚΜ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΝΗΚΖ τετράπλευρον λοιπῷ τῷ ΜΚΖΞ ἐστιν ἴσον. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΟΝΖΚΜ πεντάπλευρον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΟΜΗ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΝΞΟ ἐστιν ἴσον. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΜΗ τῇ ΝΞ· ἴση ἄρα ἡ ΝΟ
20	τῇ ΟΗ.
1 . 48	Ἐὰν μιᾶς τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου εὐθεῖα ἐκβληθεῖσα τέμῃ τὴν ἑτέραν τομήν, ἥτις ἂν ἀχθῇ ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην,
5	δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς ἐκβληθείσης. ἔστωσαν ἀντικείμεναι, ὧν διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καὶ τῆς Α τομῆς ἐφαπτέσθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΓ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς Β τομῆς τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Ν τῇ ΛΚ
10	παράλληλος ἤχθω ἡ ΝΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΝΟ τῇ ΟΗ ἐστιν ἴση. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΕΔ· ἡ ΕΔ ἄρα τῇ ΛΚ παράλληλός ἐστιν. ὥστε καὶ τῇ ΝΗ. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΒΝΗ, ἧς κέντρον
15	τὸ Γ, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΔΕ, καὶ ἐπέζευκται ἡ ΓΕ, καὶ εἴληπται ἐπὶ τῆς τομῆς σημεῖον τὸ Ν, καὶ δι’ αὐτοῦ παράλληλος τῇ ΔΕ ἦκται ἡ ΝΗ, διὰ τὸ προ‐ δεδειγμένον ἐπὶ τῆς ὑπερβολῆς ἴση ἐστὶν ἡ ΝΟ
15	τῇ ΟΗ.	144 in vol. 1
1 . 49	Ἐὰν παραβολῆς εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ διὰ μὲν τῆς ἁφῆς ἀχθῇ παράλληλος τῇ διαμέτρῳ, ἀπὸ δὲ τῆς κορυφῆς ἀχθῇ παρὰ τεταγμένως κατηγμένην, καὶ ποιηθῇ, ὡς τὸ τμῆμα τῆς ἐφαπτο‐
5	μένης τὸ μεταξὺ τῆς ἀνηγμένης καὶ τῆς ἁφῆς πρὸς τὸ τμῆμα τῆς παραλλήλου τὸ μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς ἀνηγμένης, οὕτως εὐθεῖά τις πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ἐφαπτομένης, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς ἀχθῇ ἐπὶ τὴν διὰ τῆς ἁφῆς ἠγμένην εὐθεῖαν παράλληλον τῇ δια‐
10	μέτρῳ, δυνήσεται τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῆς πεπορισμένης εὐθείας καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς πρὸς τῇ ἁφῇ. ἔστω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΜΒΓ, ἐφαπτομένη δὲ ἡ ΓΔ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω
15	ἡ ΖΔΝ, τεταγμένως δὲ ἀνήχθω ἡ ΖΒ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, εὐθεῖά τις ἡ Η πρὸς τὴν δι‐ πλασίαν τῆς ΓΔ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Κ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΓΔ παράλληλος ἡ ΚΛΠ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΚΛ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ
20	τῆς Η καὶ τῆς ΔΛ, τουτέστιν ὅτι διαμέτρου οὔσης τῆς ΔΛ ὀρθία ἐστὶν ἡ Η. κατήχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΔΞ, ΚΝΜ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΔ ἐφάπτεται τῆς τομῆς, τεταγμένως δὲ κατ‐ ῆκται ἡ ΔΞ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΞ. ἡ δὲ ΒΞ τῇ
25	ΖΔ ἴση ἐστί· καὶ ἡ ΓΒ ἄρα τῇ ΖΔ ἐστιν ἴση. ὥστε καὶ τὸ ΕΓΒ τρίγωνον τῷ ΕΖΔ τριγώνῳ. κοινὸν
25	προσκείσθω τὸ ΔΕΒΜΝ σχῆμα· τὸ ἄρα ΔΓΜΝ τετράπλευρον τῷ ΖΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον, τουτέστι τῷ ΚΠΜ τριγώνῳ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ	146 in vol. 1
30	ΛΠΜΝ τετράπλευρον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΛΝ τρίγωνον τῷ ΛΓ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. καί ἐστιν ἴση ἡ ὑπὸ ΔΛΠ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΛΝ· διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΚΛΝ τοῦ ὑπὸ ΛΔΓ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, ἡ Η πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΓΔ, ἔστι
35	δὲ καὶ ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ, ἡ ΚΛ πρὸς ΛΝ, καὶ ὡς ἄρα ἡ Η πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΓΔ, ἡ ΚΛ πρὸς ΛΝ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΚΛ πρὸς ΛΝ, τὸ ἀπὸ ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΛΝ, ὡς δὲ ἡ Η πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΔΓ, τὸ ὑπὸ Η, ΔΛ πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΓΔΛ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ
40	ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΛΝ, τὸ ὑπὸ Η, ΔΛ πρὸς τὸ δὶς ὑπὸ ΓΔΛ. καὶ ἐναλλάξ· ἴσον δέ ἐστι τὸ ὑπὸ ΚΛΝ τῷ δὶς ὑπὸ ΓΔΛ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ τῷ ὑπὸ Η, ΔΛ.
1 . 50	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐπιψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου εὐθεῖα ἐκβληθῇ, ἀπὸ δὲ τῆς κορυφῆς ἀναχθεῖσα εὐθεῖα παρὰ τεταγμένως κατ‐
5	ηγμένην συμπίπτῃ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένῃ εὐθείᾳ, καὶ ποιηθῇ, ὡς τὸ τμῆμα τῆς ἐφαπτο‐ μένης τὸ μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς ἀνηγμένης πρὸς τὸ τμῆμα τῆς ἠγμένης διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου τὸ μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς ἀνηγμένης, εὐθεῖά τις πρὸς
10	τὴν διπλασίαν τῆς ἐφαπτομένης, ἥτις ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς
10	ἀχθῇ ἐπὶ τὴν διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένην εὐθεῖαν παράλληλος τῇ ἐφαπτομένῃ, δυνήσεταί τι χωρίον ὀρθογώνιον παρακείμενον παρὰ τὴν πορισθεῖσαν πλά‐ τος ἔχον τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῆς πρὸς τῇ	148 in vol. 1
15	ἁφῇ ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς ὑπερβάλλον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῆς διπλασίας τῆς μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς πορισθείσης εὐθείας, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου ἐλλεῖπον. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια,
20	ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, ἐφαπτομένη δὲ ἡ ΔΕ, καὶ ἐπι‐[Omitted graphic marker] ζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα, καὶ κεί‐
25	σθω τῇ ΕΓ ἴση ἡ ΓΚ, καὶ διὰ τοῦ Β τεταγμένως ἀν‐ ήχθω ἡ ΒΖΗ, διὰ δὲ τοῦ Ε τῇ
30	ΕΓ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΘ, καὶ γινέσθω, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΕΔ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω, καὶ εἰλήφθω τι ἐπὶ τῆς τομῆς σημεῖον τὸ Λ, καὶ δι’
35	αὐτοῦ τῇ ΕΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜΞ, τῇ δὲ ΒΗ ἡ ΛΡΝ, τῇ δὲ ΕΘ ἡ ΜΠ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ ΛΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΕΜΠ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Γ τῇ ΚΠ παράλληλος ἡ ΓΣΟ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΓ τῇ ΓΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΓ πρὸς
40	ΚΓ, ἡ ΕΣ πρὸς ΣΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΣ τῇ ΣΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ἡ ΘΕ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΕΔ, καί ἐστι τῆς ΕΘ ἡμίσεια ἡ ΕΣ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ἡ ΣΕ πρὸς ΕΔ. ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, ἡ ΛΜ πρὸς ΜΡ· ὡς ἄρα ἡ ΛΜ	150 in vol. 1
45	πρὸς ΜΡ, ἡ ΣΕ πρὸς ΕΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΡΝΓ τρί‐ γωνον τοῦ ΗΒΓ τριγώνου, τουτέστι τοῦ ΓΔΕ, ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς μεῖζον ἐδείχθη, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου ἔλασσον τῷ ΛΝΞ, κοινῶν ἀφαιρεθέν‐ των ἐπὶ μὲν τῆς ὑπερβολῆς τοῦ τε ΕΓΔ τριγώνου
1 . 50 (50)	καὶ τοῦ ΝΡΜΞ τετραπλεύρου, ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου τοῦ ΜΞΓ τριγώνου, τὸ ΛΜΡ τρί‐ γωνον τῷ ΜΕΔΞ τετραπλεύρῳ ἐστὶν ἴσον. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΜΞ τῇ ΔΕ, ἡ δὲ ὑπὸ ΛΜΡ τῇ ὑπὸ ΕΜΞ ἐστιν ἴση· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΛΜΡ τῷ
55	ὑπὸ τῆς ΕΜ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΕΔ, ΜΞ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΜΓ πρὸς ΓΕ, ἥ τε ΜΞ πρὸς ΕΔ καὶ ἡ ΜΟ πρὸς ΕΣ, ὡς ἄρα ἡ ΜΟ πρὸς ΕΣ, ἡ ΜΞ πρὸς ΔΕ. καὶ συνθέντι, ὡς συναμφότερος ἡ ΜΟ, ΣΕ πρὸς ΕΣ, οὕτως συναμφότερος ἡ ΜΞ, ΕΔ πρὸς ΕΔ·
60	ἐναλλάξ, ὡς συναμφότερος ἡ ΜΟ, ΣΕ πρὸς συναμφό‐ τερον τὴν ΞΜ, ΕΔ, ἡ ΣΕ πρὸς ΕΔ. ἀλλ’ ὡς μὲν συναμφότερος ἡ ΜΟ, ΕΣ πρὸς συναμφότερον τὴν ΜΞ, ΔΕ, τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΜΟ, ΕΣ καὶ τῆς ΕΜ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΜΞ, ΕΔ καὶ
65	τῆς ΕΜ, ὡς δὲ ἡ ΣΕ πρὸς ΕΔ, ἡ ΖΕ πρὸς ΕΗ, τουτέστιν ἡ ΛΜ πρὸς ΜΡ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΜΡ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΜΟ, ΕΣ καὶ τῆς ΜΕ πρὸς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου
65	τῆς ΜΞ, ΕΔ καὶ τῆς ΕΜ, τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ὑπὸ	152 in vol. 1
70	ΛΜΡ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΜΟ, ΕΣ καὶ τῆς ΜΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΜΞ, ΕΔ καὶ τῆς ΜΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΜΡ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΛΜΡ τῷ ὑπὸ τῆς ΜΕ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΞ, ΕΔ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ
75	ΛΜ τῷ ὑπὸ ΕΜ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΜΟ, ΕΣ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΣΕ τῇ ΣΘ ἴση, ἡ δὲ ΣΘ τῇ ΟΠ· ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ τῷ ὑπὸ ΕΜΠ.
1 . 51	Ἐὰν ὁποτερασοῦν τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖα ἐπι‐ ψαύουσα συμπίπτῃ τῇ διαμέτρῳ, καὶ διὰ μὲν τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἐκβληθῇ τις εὐθεῖα ἕως τῆς ἑτέρας τομῆς, ἀπὸ δὲ τῆς κορυφῆς εὐθεῖα ἀναχθῇ παρὰ τε‐
5	ταγμένως κατηγμένην καὶ συμπίπτῃ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένῃ εὐθείᾳ, καὶ γενηθῇ, ὡς τὸ τμῆμα τῆς ἐφαπτομένης τὸ μεταξὺ τῆς ἀνηγμένης καὶ τῆς ἁφῆς πρὸς τὸ τμῆμα τῆς ἠγμένης διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου τὸ μεταξὺ τῆς ἁφῆς καὶ τῆς ἀν‐
10	ηγμένης, εὐθεῖά τις πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ἐφαπτο‐ μένης, ἥτις ἂν ἐν τῇ ἑτέρᾳ τῶν τομῶν ἀχθῇ ἐπὶ τὴν διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένην εὐθεῖαν παρ‐ άλληλος τῇ ἐφαπτομένῃ, δυνήσεται τὸ παρακείμενον ὀρθογώνιον παρὰ τὴν προσπορισθεῖσαν πλάτος ἔχον
15	τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῆς πρὸς τῇ ἁφῇ ὑπερ‐ βάλλον εἴδει ὁμοίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῆς μεταξὺ τῶν ἀντικειμένων καὶ τῆς προσπορισθείσης εὐθείας.
15	ἔστωσαν ἀντικείμεναι, ὧν διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἤχθω τῆς Β τομῆς ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ,	154 in vol. 1
20	καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἤχθω τε‐ ταγμένως ἡ ΒΛΗ, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΗ, εὐθεῖά τις ἡ Κ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΓΔ. ὅτι μὲν οὖν αἱ ἐν τῇ ΒΓ τομῇ παράλληλοι τῇ ΓΔ ἐπὶ τὴν ἐπ’ εὐθείας τῇ ΕΓ δύνανται τὰ παρὰ τὴν Κ
25	παρακείμενα χωρία πλάτη ἔχοντα τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῇ ἁφῇ ὑπερβάλλοντα εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΓΖ, Κ, φανερόν· διπλασία γάρ ἐστιν ἡ ΖΓ τῆς ΓΕ. λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν τῇ ΖΑ τομῇ τὸ αὐτὸ συμ‐ βήσεται.
30	ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ ἐφαπτομένη τῆς ΑΖ τομῆς ἡ ΜΖ, καὶ τεταγμένως ἀνήχθω ἡ ΑΞΝ. καὶ ἐπεὶ ἀντικείμεναί εἰσιν αἱ ΒΓ, ΑΖ, ἐφαπτόμεναι δὲ αὐτῶν αἱ ΓΔ, ΜΖ, ἴση ἄρα καὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΜΖ. ἴση δὲ καὶ ἡ ΓΕ τῇ ΕΖ· καὶ ἡ ΕΔ ἄρα
35	τῇ ΕΜ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΛΓ πρὸς ΓΗ, ἡ Κ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΓΔ, τουτέστι τῆς ΜΖ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΞΖ πρὸς ΖΝ, ἡ Κ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΜΖ. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΑΖ, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ἐφαπτομένη δὲ ἡ ΜΖ, καὶ τεταγμένως ἦκται
40	ἡ ΑΝ, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΞΖ πρὸς ΖΝ, ἡ Κ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΖΜ, ὅσαι ἂν ἀπὸ τῆς τομῆς παράλληλοι τῇ ΖΜ ἀχθῶσιν ἐπὶ τὴν ἐπ’ εὐθείας τῇ ΕΖ, δυνήσονται τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῆς Κ εὐθείας καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῷ Ζ σημείῳ
45	ὑπερβάλλον εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΓΖ, Κ. Δεδειγμένων δὲ τούτων συμφανές, ὅτι ἐν μὲν τῇ παραβολῇ ἑκάστη τῶν παρὰ τὴν ἐκ τῆς γενέσεως διά‐ μετρον ἀπαγομένων εὐθειῶν διάμετρός ἐστιν, ἐν δὲ τῇ ὑπερβολῇ καὶ τῇ ἐλλείψει καὶ ταῖς ἀντικειμέναις	156 in vol. 1
1 . 51 (50)	ἑκάστη τῶν διὰ τοῦ κέντρου ἀγομένων εὐθειῶν, καὶ διότι ἐν μὲν τῇ παραβολῇ αἱ καταγόμεναι ἐφ’ ἑκάστην τῶν διαμέτρων παρὰ τὰς ἐφαπτομένας τὰ παρὰ τὴν αὐτὴν παρακείμενα ὀρθογώνια δυνήσονται, ἐν δὲ τῇ ὑπερβολῇ καὶ ταῖς ἀντικειμέναις τὰ παρὰ τὴν αὐτὴν
55	παρακείμενα χωρία καὶ ὑπερβάλλοντα τῷ αὐτῷ εἴδει, ἐν δὲ τῇ ἐλλείψει τὰ παρὰ τὴν αὐτὴν παρακείμενα καὶ ἐλλείποντα τῷ αὐτῷ εἴδει, καὶ διότι πάντα, ὅσα προδέδεικται περὶ τὰς τομὰς συμβαίνοντα συμπαρα‐ βαλλομένων τῶν ἀρχικῶν διαμέτρων, καὶ τῶν ἄλλων
60	διαμέτρων παραλαμβανομένων τὰ αὐτὰ συμβήσεται.
1 . 52	Εὐθείας δοθείσης ἐν ἐπιπέδῳ καθ’ ἓν σημεῖον πεπερασμένης εὑρεῖν ἐν τῷ ἐπιπέδῳ κώνου τομὴν τὴν καλουμένην παραβολήν, ἧς διάμετρος ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα, κορυφὴ δὲ τὸ πέρας τῆς εὐθείας, ἥτις δὲ ἂν ἀπὸ τῆς
5	τομῆς καταχθῇ ἐπὶ τὴν διάμετρον ἐν δοθείσῃ γωνίᾳ, δυνήσεται τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπό τε τῆς ἀπο‐ λαμβανομένης ὑπ’ αὐτῆς πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς καὶ ἑτέρας τινὸς δοθείσης εὐθείας. ἔστω θέσει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΑΒ πεπερασμένη
10	κατὰ τὸ Α, ἑτέρα δὲ ἡ ΓΔ τῷ μεγέθει, ἡ δὲ δοθεῖσα
10	γωνία ἔστω πρότερον ὀρθή· δεῖ δὴ εὑρεῖν ἐν τῷ ὑπο‐ κειμένῳ ἐπιπέδῳ παραβολήν, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ, κορυφὴ δὲ τὸ Α, ὀρθία δὲ ἡ ΓΔ, αἱ δὲ καταγόμεναι τεταγμένως ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ καταχθήσονται, τουτέστιν	158 in vol. 1
15	ἵνα ἄξων ᾖ ἡ ΑΒ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ εἰλήφθω τῆς ΓΔ τέταρτον μέρος ἡ ΓΗ, τῆς δὲ ΓΗ μείζων ἔστω ἡ ΕΑ, καὶ τῶν ΓΔ, ΕΑ μέση ἀνάλογον εἰλήφθω ἡ Θ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΕΑ, τὸ ἀπὸ Θ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ.
20	ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΕΑ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τετραπλασία· καὶ τὸ ἀπὸ Θ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΕΑ ἔλαττόν ἐστιν ἢ τετρα‐ πλάσιον. ἡ Θ ἄρα τῆς ΕΑ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ· ὥστε δύο αἱ ΕΑ τῆς Θ μείζονές εἰσι. δυνατὸν ἄρα ἐστὶν ἐκ τῆς Θ καὶ δύο τῶν ΕΑ τρίγωνον συστήσασθαι.
25	συνεστάτω τοίνυν ἐπὶ τῆς ΕΑ τρίγωνον τὸ ΕΑΖ ὀρθὸν πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΕΑ τῇ ΑΖ, τὴν δὲ Θ τῇ ΖΕ, καὶ ἤχθω τῇ μὲν ΖΕ παράλληλος ἡ ΑΚ, τῇ δὲ ΕΑ ἡ ΖΚ, καὶ νοείσθω κῶνος, οὗ κορυφὴ τὸ Ζ σημεῖον, βάσις δὲ ὁ
30	περὶ διάμετρον τὴν ΚΑ κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΑΖΚ ἐπίπεδον. ἔσται δὴ ὀρθὸς ὁ κῶνος· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΚ. τετμήσθω δὲ ὁ κῶνος ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῷ ΚΑ κύκλῳ, καὶ ποιείτω τομὴν τὸν ΜΝΞ κύκλον, ὀρθὸν δηλονότι πρὸς τὸ διὰ τῶν ΜΖΝ ἐπί‐
35	πεδον, καὶ ἔστω τοῦ ΜΝΞ κύκλου καὶ τοῦ ΜΖΝ τριγώνου κοινὴ τομὴ ἡ ΜΝ· διάμετρος ἄρα ἐστὶ τοῦ κύκλου. ἔστω δὲ τοῦ ὑποκειμένου ἐπιπέδου καὶ τοῦ κύκλου κοινὴ τομὴ ἡ ΞΛ. ἐπεὶ οὖν ὁ ΜΝΞ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, ὀρθὸς δέ
40	ἐστι καὶ πρὸς τὸ ΜΖΝ τρίγωνον, ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΞΛ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΜΖΝ τρίγωνον, τουτ‐ έστι τὸ ΚΖΑ· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τριγώνῳ ὀρθή ἐστιν· ὥστε καὶ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΜΝ, ΑΒ. πάλιν ἐπεὶ	160 in vol. 1
45	κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΜΝΞ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, τέτμηται ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸ ΜΖΝ τρί‐ γωνον, καὶ ποιεῖ τομὴν τὸν ΜΝΞ κύκλον, τέτμηται δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ ὑποκειμένῳ τέμνοντι τὴν βάσιν τοῦ κώνου κατ’ εὐθεῖαν τὴν ΞΛ πρὸς ὀρθὰς
1 . 52 (50)	οὖσαν τῇ ΜΝ, ἣ κοινή ἐστι τομὴ τοῦ τε ΜΝΞ κύκλου καὶ τοῦ ΜΖΝ τριγώνου, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ ὑπο‐ κειμένου ἐπιπέδου καὶ τοῦ ΜΖΝ τριγώνου ἡ ΑΒ παράλληλός ἐστι τῇ ΖΚΜ πλευρᾷ τοῦ κώνου, ἡ ἄρα γινομένη ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τομὴ τοῦ κώνου
55	παραβολή ἐστι, διάμετρος δὲ αὐτῆς ἡ ΑΒ, αἱ δὲ κατ‐ αγόμεναι ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν ΑΒ τεταγμένως ἐν ὀρθῇ καταχθήσονται γωνίᾳ· παράλληλοι γάρ εἰσι τῇ ΞΛ πρὸς ὀρθὰς οὔσῃ τῇ ΑΒ. καὶ ἐπεὶ αἱ τρεῖς ἀνά‐ λογόν εἰσιν αἱ ΓΔ, Θ, ΕΑ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΑ τῇ ΑΖ
60	καὶ τῇ ΖΚ, ἡ δὲ Θ τῇ ΕΖ καὶ τῇ ΑΚ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΑΚ, ἡ ΑΚ πρὸς ΑΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΔ πρὸς ΑΖ, τὸ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΖΚ. ὀρθία ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ τῆς τομῆς· τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ ιαʹ θεωρήματι.
1 . 53	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων μὴ ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία
1 . 53	ὀρθή, καὶ κείσθω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΘΑΕ, καὶ τῆς ΓΔ ἔστω ἡμίσεια ἡ ΑΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΕ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΕ, καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΒΘ παράλ‐	162 in vol. 1
5	ληλος ἡ ΕΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΕΛ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΛ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΛ δίχα κατὰ τὸ Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ τῇ ΕΛ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΚΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Ζ, Η, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΛ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΛΚΜ. καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν
10	ΛΚ, ΚΜ, τῆς μὲν ΚΛ θέσει πεπερασμένης κατὰ τὸ Κ, τῆς δὲ ΚΜ μεγέθει, καὶ γωνίας ὀρθῆς γεγράφθω παραβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΚΛ, κορυφὴ δὲ τὸ Κ, ὀρθία δὲ ἡ ΚΜ, ὡς προδέδεικται· ἥξει δὲ διὰ τοῦ Α διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ἀπὸ ΑΛ τῷ ὑπὸ ΛΚΜ, καὶ
15	ἐφάψεται τῆς τομῆς ἡ ΕΑ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΕΚ τῇ ΚΛ. καί ἐστιν ἡ ΘΑ τῇ ΕΚΛ παράλληλος· ἡ ΘΑΒ διάμετρος ἄρα ἐστὶ τῆς τομῆς, αἱ δὲ ἐπ’ αὐτὴν ἀπὸ τῆς τομῆς καταγόμεναι παράλληλοι τῇ ΑΕ δίχα τμηθήσονται ὑπὸ τῆς ΑΒ. καταχθήσονται δὲ ἐν γω‐
20	νίᾳ τῇ ὑπὸ ΘΑΕ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΗΖ, κοινὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Α, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΘΕ τρίγωνον τῷ ΑΗΖ. ὡς ἄρα ἡ ΘΑ πρὸς ΕΑ, ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ· ὡς ἄρα ἡ διπλασία τῆς ΑΘ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΕ, ἡ ΖΑ πρὸς
25	ΑΗ. ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΘΑ διπλῆ· ὡς ἄρα ἡ ΖΑ πρὸς ΑΗ, ἡ ΓΔ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΕ. διὰ δὴ τὰ δεδειγμένα ἐν τῷ μθʹ θεωρήματι ὀρθία ἐστὶν
25	ἡ ΓΔ.	164 in vol. 1
1 . 54	Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πεπερασμένων πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις τῆς ἑτέρας ἐκβαλλομένης ἐπὶ ταὐτὰ τῇ ὀρθῇ γωνίᾳ εὑρεῖν ἐπὶ τῆς προσεκβληθείσης κώνου τομὴν τὴν καλουμένην ὑπερβολὴν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ταῖς
5	εὐθείαις, ὅπως ἡ μὲν προσεκβληθεῖσα διάμετρος εἴη τῆς τομῆς, κορυφὴ δὲ τὸ πρὸς τῇ γωνίᾳ σημεῖον, ἥτις δὲ ἂν καταχθῇ ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν διάμετρον γωνίαν ποιοῦσα ἴσην τῇ δοθείσῃ, δυνήσεται παρα‐ κείμενον ὀρθογώνιον παρὰ τὴν ἑτέραν εὐθεῖαν πλάτος
10	ἔχον τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπὸ τῆς κατηγμένης πρὸς τῇ κορυφῇ ὑπερβάλλον εἴδει ὁμοίῳ καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ὑπὸ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πεπερασμέναι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ
15	ΑΒ ἐπὶ τὸ Δ· δεῖ δὴ εὑρεῖν ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒΓ ἐπιπέδῳ ὑπερβολήν, ἧς διάμετρος μὲν ἔσται ἡ ΑΒΔ, κορυφὴ δὲ τὸ Β, ὀρθία δὲ ἡ ΒΓ, αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν ΒΔ ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ δυνήσονται τὰ παρὰ τὴν ΒΓ παρακείμενα πλάτη
20	ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῷ Β ὑπερβάλλοντα εἴδει ὁμοίῳ καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ. ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία πρότερον ὀρθή, καὶ ἀνε‐ στάτω ἀπὸ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸ ὑποκείμενον
25	ἐπίπεδον, καὶ ἐν αὐτῷ περὶ τὴν ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΑΕΒΖ, ὥστε τὸ τμῆμα τῆς διαμέτρου τοῦ κύκλου
25	τὸ ἐν τῷ ΑΕΒ τμήματι πρὸς τὸ τμῆμα τῆς διαμέτρου τὸ ἐν τῷ ΑΖΒ μὴ μείζονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΕΒ δίχα κατὰ	166 in vol. 1
30	τὸ Ε, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἡ ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΛ. εἰ μὲν οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΛ, τῷ Λ ἂν ἐχρησάμεθα, εἰ δὲ μή, γινέσθω ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΕΚ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΚΛ
35	τὴν ΚΜ, καὶ διὰ τοῦ Μ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΕΖ, ΖΒ, καὶ διὰ τοῦ Β τῇ ΖΕ παράλληλος ἡ ΒΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΖΒ, ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΖΕ τῇ ὑπὸ ΑΞΒ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΕΖΒ τῇ
40	ὑπὸ ΞΒΖ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΞΒΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΖΞΒ ἐστιν ἴση· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΒ τῇ ΖΞ. νοείσθω κῶνος, οὗ κορυφὴ μὲν τὸ Ζ σημεῖον, βάσις δὲ ὁ περὶ τὴν ΒΞ διάμετρον κύκλος ὀρθὸς ὢν πρὸς τὸ ΒΖΞ τρίγωνον· ἔσται δὴ ὁ κῶνος ὀρθός· ἴση γὰρ ἡ ΖΒ
45	τῇ ΖΞ. ἐκβεβλήσθωσαν δὴ αἱ ΒΖ, ΖΞ, ΜΖ, καὶ τετμήσθω ὁ κῶνος ἐπιπέδῳ παραλλήλῳ τῷ ΒΞ κύκλῳ· ἔσται δὴ ἡ τομὴ κύκλος. ἔστω ὁ ΗΠΡ· ὥστε διά‐ μετρος ἔσται τοῦ κύκλου ἡ ΗΘ. κοινὴ δὲ τομὴ τοῦ ΗΘ κύκλου καὶ τοῦ ὑποκειμένου ἐπιπέδου ἔστω ἡ
1 . 54 (50)	ΠΔΡ· ἔσται δὴ ἡ ΠΔΡ πρὸς ἑκατέραν τῶν ΗΘ, ΔΒ ὀρθή· ἑκάτερος γὰρ τῶν ΞΒ, ΘΗ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸ ΖΗΘ τρίγωνον, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸ ΖΗΘ· καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΠΔΡ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ΖΗΘ· καὶ
55	πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ
55	οὔσας ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὀρθὰς ποιεῖ γωνίας. καὶ ἐπεὶ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΗΘ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ, τέτμηται ἐπιπέδῳ ὀρθῷ πρὸς τὸ ΖΗΘ τρίγωνον, τέτμηται δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ ὑποκειμένῳ κατ’	168 in vol. 1
60	εὐθεῖαν τὴν ΠΔΡ πρὸς ὀρθὰς τῇ ΗΔΘ, ἡ δὲ κοινὴ τομὴ τοῦ τε ὑποκειμένου ἐπιπέδου καὶ τοῦ ΗΖΘ, τουτέστιν ἡ ΔΒ, ἐκβαλλομένη ἐπὶ τὸ Β συμπίπτει τῇ ΗΖ κατὰ τὸ Α, ὑπερβολὴ ἄρα ἔσται ἡ τομὴ διὰ τὰ προδεδειγμένα ἡ ΠΒΡ, ἧς κορυφὴ μέν ἐστι τὸ Β
65	σημεῖον, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν ΒΔ τεταγμένως ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ καταχθήσονται· παράλληλοι γάρ εἰσι τῇ ΠΔΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΜ, ὡς δὲ ἡ ΕΚ πρὸς ΚΜ, ἡ ΕΝ πρὸς ΝΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΕΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΖ, ὡς ἄρα ἡ
70	ΑΒ πρὸς ΒΓ, τὸ ὑπὸ ΕΝΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΕΝΖ τῷ ὑπὸ ΑΝΒ· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΑΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΖ. τὸ δὲ ὑπὸ ΑΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΖ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΑΝ πρὸς ΝΖ καὶ τῆς ΒΝ πρὸς ΝΖ·
75	ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΝ πρὸς ΝΖ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΗ καὶ ἡ ΖΟ πρὸς ΟΗ, ὡς δὲ ἡ ΒΝ πρὸς ΝΖ, ἡ ΖΟ πρὸς ΟΘ· ἡ ἄρα ΑΒ πρὸς ΒΓ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΟ πρὸς ΟΗ καὶ ἡ ΖΟ πρὸς ΟΘ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΟΘ. ἔστιν ἄρα,
80	ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, τὸ ἀπὸ ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΟΘ. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΖΟ τῇ ΑΔ· πλαγία μὲν ἄρα πλευρά ἐστιν ἡ ΑΒ, ὀρθία δὲ ἡ ΒΓ· ταῦτα γὰρ ἐν
80	τῷ ιβʹ θεωρήματι δέδεικται.	170 in vol. 1
1 . 55	Μὴ ἔστω δὴ ἡ δεδομένη γωνία ὀρθή, καὶ ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΑΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία ἔστω ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΘ· δεῖ δὴ γράψαι ὑπερ‐ βολήν, ἧς διάμετρος μὲν ἔσται ἡ ΑΒ, ὀρθία δὲ ἡ
5	ΑΓ, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐν τῇ ὑπὸ ΘΑΒ γωνίᾳ καταχθήσονται. τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΔ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΔ, καὶ ἤχθω τις εἰς τὸ ἡμικύκλιον παράλληλος τῇ ΑΘ ἡ ΖΗ ποιοῦσα τὸν
10	τοῦ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΑ λόγον τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΑΓ πρὸς ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Δ, καὶ τῶν ΖΔΘ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΔΛ, καὶ κείσθω τῇ ΛΔ ἴση ἡ ΔΚ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΖ ἴσον ἔστω τὸ ὑπὸ ΛΖΜ, καὶ ἐπεζεύχθω
15	ἡ ΚΜ, καὶ διὰ τοῦ Λ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω τῇ ΚΖ ἡ ΛΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ. καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πεπερασμένων πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις τῶν ΚΛ, ΛΝ γεγράφθω ὑπερβολή, ἧς πλαγία μὲν πλευρὰ ἔσται ἡ ΚΛ, ὀρθία δὲ ἡ ΛΝ, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ
20	τὴν διάμετρον ἀπὸ τῆς τομῆς ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ καταχ‐ θήσονται πλάτη ἔχουσαι τὰς ἀπολαμβανομένας ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῷ Λ ὑπερβάλλοντα εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΚΛΝ· ἥξει δὲ ἡ τομὴ διὰ τοῦ Α· ἴσον γάρ ἐστι τὸ ἀπὸ ΑΖ τῷ ὑπὸ ΛΖΜ. καὶ ἐφάψεται αὐτῆς ἡ
25	ΑΘ· τὸ γὰρ ὑπὸ ΖΔΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΔΛ. ὥστε
25	ἡ ΑΒ διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΔ, τουτέστι τὴν ΑΒ, τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΑ, ἀλλ’ ἡ μὲν ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΔ τὸν συγκείμενον	172 in vol. 1
30	ἔχει λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΘ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ διπλασία τῆς ΑΘ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΔΑ, τουτέστιν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΔ, τουτέστιν ἡ ΖΗ πρὸς ΗΔ, ἡ ΓΑ ἄρα πρὸς ΑΒ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν
35	διπλασίαν τῆς ΑΘ καὶ τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΔ. ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΑ τὸν συγκεί‐ μενον λόγον ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς ΗΔ καὶ ἡ ΖΗ πρὸς ΗΑ· ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΘ καὶ τοῦ τῆς ΖΗ
40	πρὸς ΗΔ ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΔ. κοινὸς ἀφῃρήσθω ὁ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΔ λόγος· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΘ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΑ. ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς ΗΑ, ἡ ΟΑ πρὸς ΑΞ· ὡς
45	ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΘ, ἡ ΟΑ πρὸς ΑΞ. ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ, παρ’ ἣν δύνανταί ἐστιν ἡ ΑΓ· τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ νʹ θεωρήματι.
1 . 56	Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πεπερασμένων πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις εὑρεῖν περὶ διάμετρον τὴν ἑτέραν αὐτῶν κώνου τομὴν τὴν καλουμένην ἔλλειψιν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ταῖς εὐθείαις, ἧς κορυφὴ ἔσται τὸ πρὸς τῇ
5	ὀρθῇ γωνίᾳ σημεῖον, αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῆς τομῆς
5	ἐπὶ τὴν διάμετρον ἐν γωνίᾳ δοθείσῃ δυνήσονται τὰ παρακείμενα ὀρθογώνια παρὰ τὴν ἑτέραν εὐθεῖαν πλάτος ἔχοντα τὴν ἀπολαμβανομένην ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῇ κορυφῇ τῆς τομῆς ἐλλείποντα εἴδει ὁμοίῳ τε καὶ	174 in vol. 1
10	ὁμοίως κειμένῳ τῷ ὑπὸ τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν πε‐ ριεχομένῳ. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, ὧν μείζων ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ γράψαι ἔλλειψιν, ἧς διάμετρος
15	μὲν ἔσται ἡ ΑΒ, κορυφὴ δὲ τὸ Α, ὀρθία δὲ ἡ ΑΓ, αἱ δὲ καταγόμεναι καταχθήσονται ἀπὸ τῆς τομῆς ἐπὶ τὴν ΑΒ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ καὶ δυνήσονται τὰ παρὰ τὴν ΑΓ παρακείμενα πλάτη ἔχοντα τὰς ἀπολαμβανο‐ μένας ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῷ Α ἐλλείποντα εἴδει ὁμοίῳ
20	τε καὶ ὁμοίως κειμένῳ τῷ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ. ἔστω δὲ ἡ δοθεῖσα γωνία πρότερον ὀρθή, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τῆς ΑΒ ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸ ὑπο‐ κείμενον, καὶ ἐν αὐτῷ ἐπὶ τῆς ΑΒ τμῆμα κύκλου γεγράφθω τὸ ΑΔΒ, οὗ διχοτομία ἔστω τὸ Δ, καὶ
25	ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΔΑ, ΔΒ, καὶ κείσθω τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΞ, καὶ διὰ τοῦ Ξ τῇ ΔΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΞΟ, διὰ δὲ τοῦ Ο τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΟΖ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΔΖ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Ε· ἔσται δή, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΓ, ἡ ΒΑ
30	πρὸς ΑΞ, τουτέστιν ἡ ΔΑ πρὸς ΑΟ, τουτέστιν ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΖΑ τυχὸν ση‐ μεῖον τὸ Η, καὶ δι’ αὐτοῦ τῇ ΔΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΗΛ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Κ·
35	ἐκβεβλήσθω δὴ ἡ ΖΟ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΗΚ κατὰ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ περιφέρεια τῇ ΔΒ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΒΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΒ. καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΑ γωνία δυσὶ ταῖς ὑπὸ ΖΔΑ, ΖΑΔ ἐστιν ἴση, ἀλλ’ ἡ μὲν ὑπὸ ΖΑΔ τῇ ὑπὸ ΖΒΔ ἐστιν ἴση,	176 in vol. 1
40	ἡ δὲ ὑπὸ ΖΔΑ τῇ ὑπὸ ΖΒΑ, καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΒΑ ἐστιν ἴση, τουτέστι τῇ ὑπὸ ΒΖΔ. ἔστι δὲ καὶ παράλληλος ἡ ΔΕ τῇ ΛΗ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΕΖΑ τῇ ὑπὸ ΖΗΘ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΒ τῇ ὑπὸ ΖΘΗ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΖΗΘ τῇ ὑπὸ ΖΘΗ ἐστιν
45	ἴση, καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΖΘ ἐστιν ἴση. γεγράφθω δὴ περὶ τὴν ΘΗ κύκλος ὁ ΗΘΝ ὀρθὸς πρὸς τὸ ΘΗΖ τρίγωνον, καὶ νοείσθω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΗΘΝ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον· ἔσται δὴ ὁ κῶνος ὀρθὸς διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΗΖ τῇ ΖΘ. καὶ ἐπεὶ
1 . 56 (50)	ὁ ΗΘΝ κύκλος ὀρθός ἐστι πρὸς τὸ ΘΗΖ ἐπίπεδον, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον ὀρθὸν πρὸς τὸ διὰ τῶν ΗΘΖ ἐπίπεδον, καὶ ἡ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἄρα πρὸς τὸ διὰ τῶν ΗΘΖ ἐπίπεδον ὀρθὴ ἔσται. ἔστω δὴ ἡ κοινὴ τομὴ αὐτῶν ἡ ΚΜ· ἡ ΚΜ ἄρα ὀρθή
55	ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΑΚ, ΚΗ. καὶ ἐπεὶ κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΗΘΝ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Ζ σημεῖον, τέτμηται ἐπιπέδῳ διὰ τοῦ ἄξονος καὶ ποιεῖ τομὴν τὸ ΗΘΖ τρίγωνον, τέτμηται δὲ καὶ ἑτέρῳ ἐπιπέδῳ τῷ διὰ τῶν ΑΚ, ΚΜ, ὅ ἐστι τὸ ὑποκείμενον, κατ’ εὐ‐
60	θεῖαν τὴν ΚΜ πρὸς ὀρθὰς οὖσαν τῇ ΗΚ, καὶ τὸ ἐπίπεδον συμπίπτει ταῖς ΖΗ, ΖΘ πλευραῖς τοῦ κώνου,
60	ἡ ἄρα γινομένη τομὴ ἔλλειψίς ἐστιν, ἧς διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ, αἱ δὲ καταγόμεναι καταχθήσονται ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ· παράλληλοι γάρ εἰσι τῇ ΚΜ. καὶ ἐπεί	178 in vol. 1
65	ἐστιν, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΕΖ, τὸ ὑπὸ ΔΕΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΒΕΑ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΖ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΒΕ πρὸς ΕΖ καὶ τοῦ τῆς ΑΕ πρὸς ΕΖ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΘ, ὡς δὲ ἡ
70	ΑΕ πρὸς ΕΖ, ἡ ΑΚ πρὸς ΚΗ, τουτέστιν ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ, ἡ ΒΑ ἄρα πρὸς ΑΓ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΖΛ πρὸς ΛΗ καὶ τοῦ τῆς ΖΛ πρὸς ΛΘ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΖΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΛΘ· ὡς ἄρα ἡ ΒΑ πρὸς ΑΓ, τὸ ἀπὸ ΖΛ
75	πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΛΘ. ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ, ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά ἐστιν ἡ ΑΓ, ὡς δέδεικται ἐν τῷ ιγʹ θεωρήματι.
1 . 57	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω ἡ ΑΒ ἐλάσσων τῆς ΑΓ, καὶ δέον ἔστω περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ γράψαι ἔλλειψιν, ὥστε ὀρθίαν εἶναι τὴν ΑΓ. τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ
5	τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΕΔΖ, καὶ τῷ ὑπὸ ΒΑΓ ἴσον ἔστω τὸ ἀπὸ ΖΕ, ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΖΔ τῇ ΔΕ, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΖ τῆς ΖΗ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ
10	τὸ ὑπὸ ΓΑΒ τῷ ἀπὸ ΕΖ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ,
10	τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ. ὡς δὲ ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ· ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ, τὸ ἀπὸ ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ. τὸ δὲ ἀπὸ ΖΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΔΕ· ὡς	180 in vol. 1
15	ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ, τὸ ὑπὸ ΕΔΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ. δύο οὖν εὐθειῶν πεπερασμένων πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κειμένων καὶ μείζονος οὔσης τῆς ΕΖ γεγράφθω ἔλλειψις, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΕΖ, ὀρθία δὲ ἡ ΖΗ· ἥξει δὴ ἡ τομὴ διὰ τοῦ Α διὰ τὸ εἶναι ὡς τὸ ὑπὸ ΖΔΕ πρὸς
20	τὸ ἀπὸ ΔΑ, ἡ ΕΖ πρὸς ΖΗ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΔ τῇ ΔΒ· ἐλεύσεται οὖν καὶ διὰ τοῦ Β. γέγραπται οὖν ἔλλειψις περὶ τὴν ΑΒ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, τὸ ἀπὸ ΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ, τὸ δὲ ἀπὸ ΔΑ ἴσον τῷ ὑπὸ ΑΔΒ, ὡς ἄρα ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, τὸ
25	ἀπὸ ΔΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΔΒ. ὥστε ὀρθία ἐστὶν ἡ ΑΓ.
1 . 58	Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία ὀρθή, καὶ ἔστω αὐτῇ ἴση ἡ ὑπὸ ΒΑΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπὶ τῆς ΑΕ γεγράφθω ἡμικύκλιον τὸ ΑΖΕ, καὶ ἐν αὐτῷ τῇ ΑΔ παράλληλος ἤχθω ἡ
5	ΖΗ ποιοῦσα τὸν τοῦ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΕ λόγον τὸν αὐτὸν τῷ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΒ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ εἰ‐ λήφθω τῶν ΔΕΖ μέση ἀνάλογον ἡ ΕΘ, καὶ τῇ ΕΘ ἴση κείσθω ἡ ΕΚ, καὶ πεποιήσθω τῷ ἀπὸ ΑΖ ἴσον
10	τὸ ὑπὸ ΘΖΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ τῇ ΘΖ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΘΜΞ παράλληλος γινομένη τῇ ΑΖΛ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ζ. καὶ δύο δοθεισῶν
10	εὐθειῶν πεπερασμένων πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις τῶν ΚΘ, ΘΜ γεγράφθω ἔλλειψις, ἧς διάμετρος πλαγία ἡ	182 in vol. 1
15	ΚΘ, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΘΜ, αἱ δὲ κατ‐ αγόμεναι ἐπὶ τὴν ΘΚ ἐν ὀρθῇ γωνίᾳ καταχθήσονται· ἥξει δὴ ἡ τομὴ διὰ τοῦ Α διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ἀπὸ ΖΑ τῷ ὑπὸ ΘΖΛ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΘΕ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΑΕ τῇ ΕΒ, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Β ἡ τομή,
20	καὶ ἔσται κέντρον μὲν τὸ Ε, διάμετρος δὲ ἡ ΑΕΒ. καὶ ἐφάψεται τῆς τομῆς ἡ ΔΑ διὰ τὸ ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ ΔΕΖ τῷ ἀπὸ ΕΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΕ, ἀλλ’ ἡ μὲν ΓΑ πρὸς ΑΒ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς
25	ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΔΑ καὶ τοῦ τῆς διπλασίας τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΑΒ, τουτέστι τῆς ΔΑ πρὸς ΑΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΕ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΑ, ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΓΑ
30	πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΑΔ καὶ τοῦ τῆς ΔΑ πρὸς ΑΕ ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ ἐκ τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΕ καὶ τοῦ τῆς ΖΗ πρὸς ΗΑ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΔΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ· καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τούτου τοῦ λόγου ἔσται ὡς ἡ ΓΑ πρὸς τὴν διπλασίαν
35	τῆς ΑΔ, ἡ ΖΗ πρὸς ΗΑ, τουτέστιν ἡ ΞΑ πρὸς ΑΝ. ὅταν δὲ τοῦτο ᾖ, ὀρθία τοῦ εἴδους πλευρά ἐστιν ἡ ΑΓ.
1 . 59	Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις πε‐ περασμένων εὑρεῖν ἀντικειμένας, ὧν διάμετρός ἐστι μία τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν, κορυφὴ δὲ τὰ πέρατα τῆς
1 . 59	εὐθείας, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐν ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν ἐν	184 in vol. 1
5	τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ δυνήσονται τὰ παρὰ τὴν ἑτέραν παρακείμενα καὶ ὑπερβάλλοντα ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ τῶν δο‐ θεισῶν εὐθειῶν περιεχομένῳ. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι πρὸς ὀρθὰς ἀλλή‐ λαις πεπερασμέναι αἱ ΒΕ, ΒΘ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία
10	ἔστω ἡ Η· δεῖ δὴ γράψαι ἀντικειμένας περὶ μίαν τῶν ΒΕ, ΒΘ, ὥστε τὰς καταγομένας κατάγεσθαι ἐν γωνίᾳ τῇ Η. καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν ΒΕ, ΒΘ γεγράφθω ὑπερβολή, ἧς διάμετρος ἔσται πλαγία ἡ ΒΕ, ὀρθία δὲ
15	τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΘΒ, αἱ δὲ καταγόμεναι ἐπὶ τὴν ἐπ’ εὐθείας τῇ ΒΕ καταχθήσονται ἐν γωνίᾳ τῇ Η, καὶ ἔστω ἡ ΑΒΓ· τοῦτο γὰρ ὡς δεῖ γενέσθαι, προ‐ γέγραπται. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Ε τῇ ΒΕ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΚ ἴση οὖσα τῇ ΒΘ, καὶ γεγράφθω ὁμοίως ἄλλη
20	ὑπερβολὴ ἡ ΔΕΖ, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΒΕ, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΕΚ, αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῆς τομῆς τεταγμένως καταχθήσονται ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῇ Η. φανερὸν δή, ὅτι αἱ Β, Ε εἰσιν ἀντικείμεναι, διάμετρος δὲ αὐτῶν μία ἐστί, καὶ αἱ ὀρθίαι ἴσαι.
1 . 60	Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δίχα τεμνουσῶν ἀλλήλας γράψαι περὶ ἑκατέραν αὐτῶν ἀντικειμένας τομάς, ὥστε εἶναι αὐτῶν συζυγεῖς διαμέτρους τὰς εὐθείας, καὶ τὴν
1 . 60	τῶν δύο ἀντικειμένων διάμετρον τὸ τῶν ἑτέρων ἀντι‐	186 in vol. 1
5	κειμένων δύνασθαι εἶδος, ὁμοίως δὲ καὶ τὴν τῶν ἑτέ‐ ρων ἀντικειμένων διάμετρον τὸ τῶν ἑτέρων ἀντι‐ κειμένων δύνασθαι εἶδος. ἔστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι δίχα τέμνουσαι ἀλλήλας αἱ ΑΓ, ΔΕ· δεῖ δὴ περὶ ἑκατέραν αὐτῶν διά‐
10	μετρον γράψαι ἀντικειμένας, ἵνα ὦσιν αἱ ΑΓ, ΔΕ συζυγεῖς ἐν αὐταῖς, καὶ ἡ μὲν ΔΕ τὸ τῶν περὶ τῆς ΑΓ εἶδος δύνηται, ἡ δὲ ΑΓ τὸ τῶν περὶ τὴν ΔΕ. ἔστω τῷ ἀπὸ ΔΕ ἴσον τὸ ὑπὸ ΑΓΛ, πρὸς ὀρθὰς ἔστω ἡ ΛΓ τῇ ΓΑ. καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πρὸς
15	ὀρθὰς ἀλλήλαις τῶν ΑΓ, ΓΛ γεγράφθωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΖΑΗ, ΘΓΚ, ὧν διάμετρος μὲν ἔσται πλαγία ἡ ΓΑ, ὀρθία δὲ ἡ ΓΛ, αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν ἐπὶ τὴν ΓΑ καταχθήσονται ἐν τῇ γωνίᾳ τῇ δοθείσῃ ἔσται δὴ ἡ ΔΕ δευτέρα διάμετρος τῶν ἀντικειμένων
20	μέσον τε γὰρ λόγον ἔχει τῶν τοῦ εἴδους πλευρῶν παρὰ τεταγμένως κατηγμένην οὖσα δίχα τέτμηται καὶ τὸ Β. ἔστω δὴ πάλιν τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον τὸ ὑπὸ ΔΕ, ΔΖ πρὸς ὀρθὰς δὲ ἔστω ἡ ΔΖ τῇ ΔΕ. καὶ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κειμένων τῶν ΕΔ, ΔΖ
25	γεγράφθωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΜΔΝ, ΟΕΞ, ὧν διά‐ μετρος μὲν πλαγία ἡ ΔΕ, ὀρθία δὲ τοῦ εἴδους πλευρὰ ἡ ΔΖ, αἱ δὲ καταγόμεναι ἀπὸ τῶν τομῶν καταχθή‐ σονται ἐπὶ τὴν ΔΕ ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ· ἔσται
25	καὶ τῶν ΜΔΝ, ΞΕΟ δευτέρα διάμετρος ἡ ΑΓ. ὥστε	188 in vol. 1
30	ἡ μὲν ΑΓ τὰς τῇ ΔΕ παραλλήλους μεταξὺ τῶν ΖΑΗ, ΘΓΚ τομῶν δίχα τέμνει, ἡ δὲ ΔΕ τὰς τῇ ΑΓ ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.	188 in vol. 1
30	καλείσθωσαν δὲ αὗται αἱ τομαὶ συζυγεῖς.	190 in vol. 1
2 prol	Ἀπολλώνιος Εὐδήμῳ χαίρειν. Εἰ ὑγιαίνεις, ἔχοι ἂν καλῶς· καὶ αὐτὸς δὲ μετρίως ἔχω. Ἀπολλώνιον τὸν υἱόν μου πέπομφα πρός σε κομί‐
5	ζοντά σοι τὸ βʹ βιβλίον τῶν συντεταγμένων ἡμῖν κωνικῶν. δίελθε οὖν αὐτὸ ἐπιμελῶς καὶ τοῖς ἀξίοις τῶν τοιούτων κοινωνεῖν μεταδίδου· καὶ Φιλωνίδης δὲ ὁ γεωμέτρης, ὃν καὶ συνέστησά σοι ἐν Ἐφέσῳ, ἐάν ποτε ἐπιβάλῃ εἰς τοὺς κατὰ Πέργαμον τόπους, μετα‐
10	δὸς αὐτῷ, καὶ σεαυτοῦ ἐπιμελοῦ, ἵνα ὑγιαίνῃς. εὐτύχει.
2 . 1	Ἐὰν ὑπερβολῆς κατὰ κορυφὴν εὐθεῖα ἐφάπτηται, καὶ ἀπ’ αὐτῆς ἐφ’ ἑκάτερα τῆς διαμέτρου ἀποληφθῇ ἴση τῇ δυναμένῃ τὸ τέταρτον τοῦ εἴδους, αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς ἐπὶ τὰ ληφθέντα πέρατα τῆς ἐφ‐
5	απτομένης ἀγόμεναι εὐθεῖαι οὐ συμπεσοῦνται τῇ τομῇ. ἔστω ὑπερβολή, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, ὀρθία δὲ ἡ ΒΖ, καὶ ἐφαπτέσθω τῆς τομῆς κατὰ τὸ Β ἡ ΔΕ, καὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΑΒΖ εἴδους
5	ἴσον ἔστω τὸ ἀφ’ ἑκατέρας τῶν ΒΔ, ΒΕ, καὶ ἐπι‐	192 in vol. 1
10	ζευχθεῖσαι αἱ ΓΔ, ΓΕ ἐκβεβλήσθωσαν. λέγω, ὅτι οὐ συμπεσοῦνται τῇ τομῇ. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω ἡ ΓΔ τῇ τομῇ κατὰ τὸ Η, καὶ ἀπὸ τοῦ Η τεταγμένως κατήχθω ἡ ΗΘ· παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ΔΒ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ
15	ΑΒ πρὸς ΒΖ, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒΖ, ἀλλὰ τοῦ μὲν ἀπὸ ΑΒ τέταρτον μέρος τὸ ἀπὸ ΓΒ, τοῦ δὲ ὑπὸ ΑΒΖ τέταρτον τὸ ἀπὸ ΒΔ, ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ,
20	τὸ ὑπὸ ΑΘΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ, τὸ ὑπὸ ΑΘΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ. ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΘΒ τῷ ἀπὸ ΓΘ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ΓΔ συμπεσεῖται τῇ τομῇ. ὁμοίως δὴ δεί‐ ξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΓΕ· ἀσύμπτωτοι ἄρα εἰσὶ τῇ
25	τομῇ αἱ ΓΔ, ΓΕ.
2 . 2	Τῶν αὐτῶν ὄντων δεικτέον, ὅτι ἑτέρα ἀσύμπτωτος οὐκ ἔστι τέμνουσα τὴν περιεχομένην γωνίαν ὑπὸ τῶν ΔΓΕ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ ΓΘ, καὶ διὰ τοῦ Β τῇ
5	ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΒΘ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΘ κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἴση κείσθω ἡ ΔΗ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Κ, Λ, Μ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΒΘ, ΔΗ ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι, καὶ αἱ ΔΒ, ΗΘ ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ
10	δίχα τέμνεται κατὰ τὸ Γ, καὶ πρόσκειται αὐτῇ τις ἡ
10	ΒΛ, τὸ ὑπὸ ΑΛΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΛ. ὁμοίως δὴ ἐπειδὴ παράλληλός ἐστιν ἡ ΗΜ τῇ ΔΕ, καὶ ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΒΕ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΗΛ τῇ ΛΜ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῇ ΔΒ, μείζων	194 in vol. 1
15	ἄρα ἡ ΗΚ τῆς ΔΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΚΜ τῆς ΒΕ μείζων, ἐπεὶ καὶ ἡ ΛΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΜΚΗ μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΔΒΕ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΔΒ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς ΒΖ, τὸ ὑπὸ ΑΛΒ πρὸς
20	τὸ ἀπὸ ΛΚ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΗ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΗ, τὸ ὑπὸ ΑΛΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ὅλον τὸ ἀπὸ ΛΓ πρὸς ὅλον τὸ ἀπὸ ΛΗ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ὑπὸ ΑΛΒ πρὸς ἀφαιρεθὲν
25	τὸ ἀπὸ ΛΚ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΜΚΗ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΗ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΒ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΒ τῷ ὑπὸ ΜΚΗ· ὅπερ ἄτοπον· μεῖζον γὰρ αὐτοῦ δέδεικται. οὐκ ἄρα ἡ ΓΘ ἀσύμπτωτός ἐστι
30	τῇ τομῇ.
2 . 3	Ἐὰν ὑπερβολῆς εὐθεῖα ἐφάπτηται, συμπεσεῖται ἑκα‐ τέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων καὶ δίχα τμηθήσεται κατὰ τὴν ἁφήν, καὶ τὸ ἀφ’ ἑκατέρας τῶν τμημάτων αὐτῆς τετρά‐ γωνον ἴσον ἔσται τῷ τετάρτῳ τοῦ γινομένου εἴδους
5	πρὸς τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ, κέντρον δὲ αὐτῆς τὸ Ε
5	καὶ ἀσύμπτωτοι αἱ ΖΕ, ΕΗ, καὶ ἐφαπτέσθω τις αὐτῆς κατὰ τὸ Β ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι ἐκβαλλομένη ἡ ΘΚ συμ‐ πεσεῖται ταῖς ΖΕ, ΕΗ.	196 in vol. 1
10	εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ συμπιπτέτω, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΒ ἐκβεβλήσθω, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΔ διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ[Omitted graphic marker] ΒΔ. κείσθω δὴ τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ
15	ΒΔ εἴδους ἴσον τὸ ἀφ’ ἑκατέρας τῶν ΘΒ, ΒΚ, καὶ ἐπεζεύχθω‐ σαν αἱ ΕΘ, ΕΚ. ἀσύμπτωτοι ἄρα εἰσίν·
20	ὅπερ ἄτοπον· ὑπό‐ κεινται γὰρ αἱ ΖΕ, ΕΗ ἀσύμπτωτοι. ἡ ἄρα ΚΘ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ταῖς ΕΖ, ΕΗ ἀσυμπτώ‐ τοις κατὰ τὰ Ζ, Η.
25	λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ ἀφ’ ἑκατέρας τῶν ΒΖ, ΒΗ ἴσον ἔσται τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΒΔ εἴδους. μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω τῷ τετάρτῳ τοῦ εἴδους ἴσον τὸ ἀφ’ ἑκατέρας τῶν ΒΘ, ΒΚ. ἀσύμπτωτοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΘΕ, ΕΚ· ὅπερ ἄτοπον. τὸ ἄρα ἀφ’
30	ἑκατέρας τῶν ΖΒ, ΒΗ ἴσον ἔσται τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΒΔ εἴδους.
2 . 4	Δύο δοθεισῶν εὐθειῶν γωνίαν περιεχουσῶν καὶ σημείου ἐντὸς τῆς γωνίας γράψαι διὰ τοῦ σημείου κώνου τομὴν τὴν καλουμένην ὑπερβολήν, ὥστε ἀσυμ‐
2 . 4	πτώτους αὐτῆς εἶναι τὰς δοθείσας εὐθείας.	198 in vol. 1
5	ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιέχουσαι τὴν πρὸς τῷ Α, καὶ δεδόσθω σημεῖόν τι τὸ Δ, καὶ δέον ἔστω διὰ τοῦ Δ τὰς ΓΑΒ γράψαι εἰς ἀσυμπτώτους ὑπερβολήν. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ
10	κείσθω τῇ ΔΑ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΖ, καὶ κείσθω τῇ ΑΖ ἴση ἡ ΖΓ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΔ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Β, καὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἴσον γεγονέτω τὸ ὑπὸ ΔΕ, Η, καὶ ἐκ‐ βληθείσης τῆς ΑΔ γεγράφθω περὶ αὐτὴν διὰ τοῦ Δ
15	ὑπερβολή, ὥστε τὰς καταγομένας δύνασθαι τὰ παρὰ τὴν Η ὑπερβάλλοντα εἴδει ὁμοίῳ τῷ ὑπὸ ΔΕ, Η. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΒΑ, καὶ ἴση ἡ ΓΖ τῇ ΖΑ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΒ· ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΔ. καί ἐστι τὸ ἀπὸ
20	τῆς ΓΒ ἴσον τῷ ὑπὸ ΔΕ, Η· ἑκάτερον ἄρα τῶν ἀπὸ ΓΔ, ΔΒ τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ὑπὸ ΔΕ, Η εἴδους. αἱ ἄρα ΑΒ, ΑΓ ἀσύμπτωτοί εἰσι τῆς γραφείσης ὑπερ‐ βολῆς.
2 . 5	Ἐὰν παραβολῆς ἢ ὑπερβολῆς ἡ διάμετρος εὐθεῖάν τινα τέμνῃ δίχα, ἡ κατὰ τὸ πέρας τῆς διαμέτρου ἐπι‐ ψαύουσα τῆς τομῆς παράλληλος ἔσται τῇ δίχα τεμνο‐ μένῃ εὐθείᾳ.
5	ἔστω παραβολὴ ἢ ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἧς διάμετρος ἡ ΔΒΕ, καὶ ἐφαπτέσθω τῆς τομῆς ἡ ΖΒΗ, ἤχθω δέ τις εὐθεῖα ἐν τῇ τομῇ ἡ ΑΕΓ ἴσην ποιοῦσα τὴν ΑΕ
5	τῇ ΕΓ. λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΖΗ. εἰ γὰρ μή, ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΖΗ παράλληλος	200 in vol. 1
10	ἡ ΓΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ. ἐπεὶ οὖν παραβολὴ ἢ ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΑΒΓ, ἧς διάμετρος μὲν ἡ ΔΕ, ἐφ‐ απτομένη δὲ ἡ ΖΗ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἡ ΓΘ, ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΚΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΕ τῇ ΕΑ. ἡ ἄρα ΑΘ τῇ ΚΕ παράλληλός ἐστιν· ὅπερ ἀδύνατον· συμ‐
15	πίπτει γὰρ ἐκβαλλομένη τῇ ΒΔ.
2 . 6	Ἐὰν ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας ἡ διάμετρος εὐθεῖάν τινα δίχα τέμνῃ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν, ἡ κατὰ τὸ πέρας τῆς διαμέτρου ἐπιψαύουσα τῆς τομῆς παράλληλος ἔσται τῇ δίχα τεμνομένῃ εὐθείᾳ.
5	ἔστω ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἡ ΑΒ τὴν ΓΔ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαν δίχα τεμνέτω κατὰ τὸ Ε.[Omitted graphic marker] λέγω, ὅτι ἡ κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένη τῆς τομῆς
10	παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ. μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυ‐ νατόν, ἔστω τῇ κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένῃ παράλλη‐ λος ἡ ΔΖ· ἴση ἄρα
15	ἐστὶν ἡ ΔΗ τῇ ΖΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ ΗΕ· ὅπερ ἄτοπον. εἴτε γὰρ τὸ Η σημεῖον κέντρον ἐστὶ τῆς ΑΒ τομῆς, ἡ ΓΖ συμπεσεῖται τῇ ΑΒ, εἴτε μή ἐστιν, ὑποκείσθω τὸ Κ, καὶ ἐπιζευχ‐ θεῖσα ἡ ΔΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω
20	ἡ ΓΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΔΚ τῇ ΚΘ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΑΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΖ· ὅπερ ἄτοπον. ἡ ἄρα κατὰ τὸ Α ἐφ‐ απτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ.	202 in vol. 1
2 . 7	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖα ἐφάπτηται, καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ ἐν τῇ τομῇ καὶ δίχα τμηθῇ, ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὴν διχοτομίαν ἐπιζευχθεῖσα εὐθεῖα διάμετρος ἔσται τῆς τομῆς.
5	ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, ἐφαπτομένη δὲ αὐτῆς ἡ ΖΗ, καὶ τῇ ΖΗ παράλληλος ἡ ΑΓ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ. λέγω, ὅτι ἡ ΒΕ διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. μὴ γάρ, ἀλλά, εἰ δυνατόν, ἔστω διάμετρος τῆς
10	τομῆς ἡ ΒΘ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΘΓ· ὅπερ ἄτοπον· ἡ γὰρ ΑΕ τῇ ΕΓ ἴση ἐστίν. οὐκ ἄρα ἡ ΒΘ διάμετρος ἔσται τῆς τομῆς. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΒΕ.
2 . 8	Ἐὰν ὑπερβολῇ εὐθεῖα συμπίπτῃ κατὰ δύο σημεῖα, ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται ταῖς ἀσυμπτώτοις, καὶ αἱ ἀπολαμβανόμεναι ἀπ’ αὐτῆς ὑπὸ τῆς τομῆς πρὸς ταῖς ἀσυμπτώτοις ἴσαι ἔσονται.
5	ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΕΔ, ΔΖ, καὶ τῇ ΑΒΓ συμπιπτέτω τις ἡ ΑΓ. λέγω, ὅτι ἐκ‐ βαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται ταῖς ἀσυμπτώτοις.
5	τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΗ. διάμετρος ἄρα ἐστὶ τῆς τομῆς· ἡ ἄρα κατὰ	204 in vol. 1
10	τὸ Β ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΑΓ. ἔστω οὖν ἐφαπτομένη ἡ ΘΒΚ· συμπεσεῖται δὴ ταῖς ΕΔ, ΔΖ. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΚΘ, καὶ ἡ ΚΘ συμπίπτει ταῖς ΔΚ, ΔΘ, καὶ ἡ ΑΓ ἄρα συμπεσεῖται ταῖς ΔΕ, ΔΖ.
15	συμπιπτέτω κατὰ τὰ Ε, Ζ· καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΒ τῇ ΒΚ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΗΕ. ὥστε καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΑΕ.
2 . 9	Ἐὰν εὐθεῖα συμπίπτουσα ταῖς ἀσυμπτώτοις δίχα τέμνηται ὑπὸ τῆς ὑπερβολῆς, καθ’ ἓν μόνον σημεῖον ἅπτεται τῆς τομῆς. εὐθεῖα γὰρ ἡ ΓΔ συμπί‐[Omitted graphic marker]
5	πτουσα ταῖς ΓΑΔ ἀσυμπτώτοις δίχα τεμνέσθω ὑπὸ τῆς ὑπερ‐ βολῆς κατὰ τὸ Ε σημεῖον. λέγω, ὅτι κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐχ ἅπ‐ τεται τῆς τομῆς.
10	εἰ γὰρ δυνατόν, ἁπτέσθω κατὰ τὸ Β. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΒΔ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ ἴση. οὐκ ἄρα καθ’ ἕτερον σημεῖον ἅπτεται τῆς τομῆς.
2 . 10	Ἐὰν εὐθεῖά τις τέμνουσα τὴν τομὴν συμπίπτῃ ἑκατέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων εὐθειῶν μεταξὺ τῶν ἀσυμ‐
2 . 10	πτώτων καὶ τῆς τομῆς ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ γινο‐	206 in vol. 1
5	μένου εἴδους πρὸς τῇ διχοτομούσῃ διαμέτρῳ τὰς ἀγο‐ μένας παρὰ τὴν ἠγμένην εὐθεῖαν. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἀσύμπτωτοι δὲ αὐτῆς αἱ ΔΕ, ΕΖ, καὶ ἤχθω τις ἡ ΔΖ τέμνουσα τὴν τομὴν καὶ τὰς ἀσυμπτώτους, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ
10	τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΕ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση[Omitted graphic marker] ἡ ΕΘ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΘΕΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΜ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΘ, ὀρθία δὲ ἡ ΒΜ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΔΑΖ ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ ὑπὸ τῶν ΘΒΜ, ὁμοίως δὴ καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΔΓΖ.
15	ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΚΛ· παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ΔΖ. καὶ ἐπεὶ δέδεικται, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΜ, τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, τουτ‐ έστι τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, ὡς δὲ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΜ, τὸ ὑπὸ ΘΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ
20	ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, τὸ ὑπὸ ΘΗΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΑ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ὅλον τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς ὅλον τὸ ἀπὸ ΔΗ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ὑπὸ ΘΗΒ πρὸς ἀφ‐
20	αιρεθὲν τὸ ἀπὸ ΑΗ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΔΑΖ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ	208 in vol. 1
25	ἀπὸ ΗΔ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ. ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΑΔ τῷ ἀπὸ ΒΚ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ τὸ ὑπὸ ΔΓΖ τῷ ἀπὸ ΒΛ. ἴσον δὲ τὸ ἀπὸ ΚΒ τῷ ἀπὸ ΒΛ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΔ τῷ ὑπὸ ΖΓΔ.
2 . 11	Ἐὰν ἑκατέραν τῶν περιεχουσῶν τὴν ἐφεξῆς γωνίαν τῆς περιεχούσης τὴν ὑπερβολὴν τέμνῃ τις εὐθεῖα, συμ‐ πεσεῖται τῇ τομῇ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον, καὶ τὸ περι‐ εχόμενον ὑπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων εὐθειῶν μεταξὺ
5	τῶν περιεχουσῶν καὶ τῆς τομῆς ἴσον ἔσται τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τῆς ἠγμένης διαμέτρου παρὰ τὴν τέμνου‐ σαν εὐθεῖαν. ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμπτωτοι αἱ ΓΑ, ΑΔ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΔΑ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ διά τινος σημείου
10	τοῦ Ε διήχθω ἡ ΕΖ τέμνουσα τὰς ΕΑ, ΑΓ. ὅτι μὲν οὖν συμπίπτει τῇ τομῇ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον, φανερόν· ἡ γὰρ διὰ τοῦ Α τῇ ΕΖ παράλληλος ἀγομένη ὡς ἡ ΑΒ τεμεῖ τὴν ὑπὸ ΓΑΔ γωνίαν καὶ συμπεσεῖται τῇ τομῇ καὶ διάμετρος αὐτῆς ἔσται· ἡ ΕΖ
15	ἄρα συμπεσεῖται τῇ τομῇ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Η. λέγω δή, ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Η τεταγμένως ἡ ΘΗΛΚ· ἡ ἄρα
20	διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΗΘ. ἔστω ἡ ΓΔ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΔ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΓΒΔ, πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΑ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἐκ τοῦ τῆς ΓΒ πρὸς ΒΑ καὶ τοῦ τῆς ΔΒ πρὸς ΒΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΑ,	210 in vol. 1
25	ἡ ΘΗ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΔΒ πρὸς ΒΑ, ἡ ΗΚ πρὸς ΗΕ· ὁ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΑ λόγος σύγ‐ κειται ἐκ τοῦ τῆς ΘΗ πρὸς ΗΖ καὶ τῆς ΚΗ πρὸς ΗΕ. ἀλλὰ καὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΚΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΗΖ λόγος σύγκειται ἐκ τῶν αὐτῶν· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΗΘ
30	πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΗΖ, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΑ. ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ ΚΗΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΕΗΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΚΗΘ τῷ ἀπὸ ΓΒ ἐδείχθη· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΕΗΖ τῷ ἀπὸ ΑΒ.
2 . 12	Ἐὰν ἐπὶ τὰς ἀσυμπτώτους ἀπό τινος σημείου τῶν ἐπὶ τῆς τομῆς β εὐθεῖαι ἀχθῶσιν ἐν τυχούσαις γω‐ νίαις, καὶ ταύταις παράλλη‐[Omitted graphic marker] λοι ἀχθῶσιν ἀπό τινος ση‐
5	μείου τῶν ἐπὶ τῆς τομῆς, τὸ ὑπὸ τῶν παραλλήλων περι‐ εχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἔσται τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν, αἷς αἱ παράλληλοι ἤχ‐
10	θησαν. ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμ‐ πτωτοι αἱ ΑΒ, ΒΓ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Δ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ
10	ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΒΓ κατήχθωσαν αἱ ΔΕ, ΔΖ, εἰλήφθω	212 in vol. 1
15	δέ τι σημεῖον ἕτερον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Η, καὶ διὰ τοῦ Η ταῖς ΕΔ, ΔΖ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΗΘ, ΗΚ. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ τῷ ὑπὸ ΘΗΚ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΔΗ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Α, Γ. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΓ τῷ ὑπὸ ΑΗΓ, ἔστιν
20	ἄρα ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΑΔ, ἡ ΔΓ πρὸς ΓΗ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΗ πρὸς ΑΔ, ἡ ΗΘ πρὸς ΕΔ, ὡς δὲ ἡ ΔΓ πρὸς ΓΗ, ἡ ΔΖ πρὸς ΗΚ· ὡς ἄρα ἡ ΘΗ πρὸς ΔΕ, ἡ ΔΖ πρὸς ΗΚ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΕΔΖ τῷ ὑπὸ ΘΗΚ.
2 . 13	Ἐὰν ἐν τῷ ἀφοριζομένῳ τόπῳ ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώ‐ των καὶ τῆς τομῆς παράλληλος ἀχθῇ τις εὐθεῖα τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων, συμπεσεῖται τῇ τομῇ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον.
5	ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμπτωτοι αἱ ΓΑ, ΑΒ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Ε, καὶ δι’ αὐτοῦ τῇ ΑΒ παρ‐ άλληλος ἤχθω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι συμπεσεῖται τῇ τομῇ. εἰ γὰρ δυνατόν, μὴ συμπιπτέτω, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Η, καὶ διὰ τοῦ Η παρὰ
10	τὰς ΓΑ, ΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΗΓ, ΗΘ, καὶ τὸ ὑπὸ ΓΗΘ ἴσον ἔστω τῷ ὑπὸ ΑΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ καὶ ἐκβεβλήσθω· συμπεσεῖται δὴ τῇ τομῇ. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ παρὰ τὰς ΓΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΚΛ, ΚΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΗΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΚΔ.
15	ὑπόκειται δὲ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕΖ ἴσον· τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΚΛ,
15	τουτέστι τὸ ὑπὸ ΚΛΑ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΕΖ· ὅπερ ἀδύνατον· μείζων γάρ ἐστι καὶ ἡ ΚΛ τῆς ΕΖ καὶ ἡ ΛΑ τῆς ΑΕ. συμπεσεῖται ἄρα ἡ ΕΖ τῇ τομῇ. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Μ.	214 in vol. 1
20	λέγω δή, ὅτι κατ’ ἄλλο οὐ συμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω καὶ κατὰ τὸ Ν, καὶ διὰ τῶν Μ, Ν τῇ ΓΑ παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΜΞ, ΝΒ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΜΞ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΕΝΒ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα καθ’ ἕτερον σημεῖον συμπεσεῖται τῇ τομῇ.
2 . 14	Αἱ ἀσύμπτωτοι καὶ ἡ τομὴ εἰς ἄπειρον ἐκβαλλό‐ μεναι ἔγγιόν τε προσάγουσιν ἑαυταῖς καὶ παντὸς τοῦ δοθέντος διαστήματος εἰς ἔλαττον ἀφικνοῦνται διά‐ στημα.
5	ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμπτωτοι αἱ ΑΒ, ΑΓ, δοθὲν δὲ διάστημα τὸ Κ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΑΓ καὶ ἡ τομὴ ἐκβαλλόμεναι ἔγγιόν τε προσάγουσιν ἑαυταῖς καὶ εἰς ἔλασσον ἀφίξονται διάστημα τοῦ Κ. ἤχθωσαν γὰρ τῇ ἐφαπτομένῃ παράλληλοι αἱ ΕΘΖ,
10	ΓΗΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΓΗΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΘΕ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΔΗ πρὸς ΖΘ, ἡ ΘΕ πρὸς ΓΗ. μείζων δὲ ἡ ΔΗ τῆς ΖΘ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΓΗ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς ἐλάττονές
15	εἰσιν. εἰλήφθω δὴ τοῦ Κ διαστήματος ἔλαττον τὸ ΕΛ,
15	καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ ΑΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΝ· συμ‐ πεσεῖται ἄρα τῇ τομῇ. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν, καὶ διὰ τοῦ Ν τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΝΒ. ἡ ἄρα	216 in vol. 1
20	ΜΝ ἴση ἐστὶ τῇ ΕΛ καὶ διὰ τοῦτο ἐλάττων τῆς Κ. πόρισμ α . ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πασῶν τῶν ἀσυμπτώτων τῇ τομῇ ἔγγιόν εἰσιν αἱ ΑΒ, ΑΓ, καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ περιεχομένη γωνία ἐλάσσων ἐστὶ δηλαδὴ τῆς ὑπὸ ἑτέ‐
25	ρων ἀσυμπτώτων τῇ τομῇ περιεχομένης.
2 . 15	Τῶν ἀντικειμένων τομῶν κοιναί εἰσιν αἱ ἀσύμ‐ πτωτοι. ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαί, ὧν διάμετρος ἡ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ. λέγω, ὅτι τῶν Α, Β τομῶν κοιναί
5	εἰσιν αἱ ἀσύμπτωτοι. ἤχθωσαν διὰ τῶν Α, Β σημείων ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΔΑΕ, ΖΒΗ· παράλληλοι ἄρα εἰσίν. ἀπ‐ ειλήφθω δὴ ἑκάστη τῶν ΔΑ, ΑΕ, ΖΒ, ΒΗ ἴσον δυ‐ ναμένη τῷ τετάρτῳ τοῦ παρὰ τὴν ΑΒ εἴδους· ἴσαι
10	ἄρα αἱ ΔΑ, ΑΕ, ΖΒ, ΒΗ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ αἱ ΓΔ, ΓΕ, ΓΖ, ΓΗ. φανερὸν δή, ὅτι ἐπ’ εὐθείας ἐστὶν ἡ ΔΓ τῇ ΓΗ καὶ ἡ ΓΕ τῇ ΓΖ διὰ τὰς παραλλήλους. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν, ἧς διάμετρος ἡ ΑΒ, ἐφ‐ απτομένη δὲ ἡ ΔΕ, καὶ ἑκατέρα τῶν ΔΑ, ΑΕ δύναται
15	τὸ τέταρτον τοῦ παρὰ τὴν ΑΒ εἴδους, ἀσύμπτωτοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΔΓ, ΓΕ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῇ Β ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΖΓ, ΓΗ. τῶν ἀντικειμένων ἄρα
15	κοιναί εἰσιν ἀσύμπτωτοι.	218 in vol. 1
2 . 16	Ἐὰν ἐν ἀντικειμέναις ἀχθῇ τις εὐθεῖα τέμνουσα ἑκατέραν τῶν περιεχουσῶν τὴν ἐφεξῆς γωνίαν τῶν περιεχουσῶν τὰς τομάς, συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν ἀντι‐ κειμένων καθ’ ἓν μόνον σημεῖον, καὶ αἱ ἀπολαμβανό‐
5	μεναι ἀπ’ αὐτῆς ὑπὸ τῶν τομῶν πρὸς ταῖς ἀσυμπτώτοις ἴσαι ἔσονται. ἔστωσαν γὰρ ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, ὧν κέντρον μὲν τὸ Γ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΔΓΗ, ΕΓΖ, καὶ διήχθω τις εὐθεῖα τέμνουσα ἑκατέραν τῶν ΔΓ, ΓΖ ἡ ΘΚ. λέγω,
10	ὅτι ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν καθ’ ἓν σημεῖον μόνον. ἐπεὶ γὰρ τῆς Α τομῆς ἀσύμπτωτοί εἰσιν αἱ ΔΓ, ΓΕ, καὶ διῆκταί τις εὐθεῖα ἡ ΘΚ τέμνουσα ἑκατέραν τῶν περιεχουσῶν τὴν ἐφεξῆς γωνίαν τὴν ὑπὸ ΔΓΖ, ἡ ΚΘ
15	ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ. ὁμοίως δὴ καὶ τῇ Β. συμπιπτέτω κατὰ τὰ Λ, Μ. ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ΛΜ παράλληλος ἡ ΑΓΒ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ μὲν ὑπὸ ΚΛΘ τῷ ἀπὸ ΑΓ, τὸ δὲ ὑπὸ
20	ΘΜΚ τῷ ἀπὸ ΓΒ. ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΚΛΘ τῷ ὑπὸ ΘΜΚ ἐστιν ἴσον, καὶ ἡ ΛΘ τῇ ΚΜ.
2 . 17	Τῶν κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων κοιναί εἰσιν αἱ ἀσύμπτωτοι. ἔστωσαν συζυγεῖς ἀντικείμεναι, ὧν αἱ διάμετροι συζυγεῖς αἱ ΑΒ, ΓΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε. λέγω, ὅτι
5	κοιναὶ αὐτῶν εἰσιν αἱ ἀσύμπτωτοι. ἤχθωσαν γὰρ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν διὰ τῶν Α, Β, Γ, Δ σημείων αἱ ΖΑΗ, ΗΔΘ, ΘΒΚ, ΚΓΖ· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗΘΚ. ἐπεζεύχθωσαν οὖν αἱ ΖΕΘ, ΚΕΗ· εὐθεῖαι ἄρα εἰσὶ καὶ διάμετροι	220 in vol. 1
10	τοῦ παραλληλογράμμου, καὶ δίχα τέμνονται πᾶσαι κατὰ τὸ Ε σημεῖον. καὶ ἐπεὶ τὸ πρὸς τῇ ΑΒ εἶδος ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετραγώνῳ, ἴση δὲ ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ, ἕκαστον ἄρα τῶν ἀπὸ ΖΑ, ΑΗ, ΚΒ, ΒΘ τέταρτόν ἐστι τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους. ἀσύμπτωτοι
15	ἄρα εἰσὶ τῶν Α, Β τομῶν αἱ ΖΕΘ, ΚΕΗ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῶν Γ, Δ τομῶν αἱ αὐταί εἰσιν ἀσύμπτωτοι. τῶν ἄρα κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων κοιναί εἰσιν ἀσύμπτωτοι.
2 . 18	Ἐὰν μιᾷ τῶν κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων συμ‐ πίπτουσα εὐθεῖα ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πίπτῃ τῆς τομῆς, συμπεσεῖται ἑκα‐[Omitted graphic marker] τέρᾳ τῶν ἐφεξῆς τομῶν καθ’
5	ἓν μόνον σημεῖον. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τῇ Γ τις εὐθεῖα συμπιπτέτω ἡ ΕΖ καὶ ἐκ‐
10	βαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πιπτέτω τῆς τομῆς. λέγω, ὅτι συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν Α, Β τομῶν καθ’ ἓν μόνον σημεῖον.
10	ἔστωσαν γὰρ ἀσύμπτωτοι τῶν τομῶν αἱ ΗΘ, ΚΛ. ἡ ΕΖ ἄρα συμπίπτει ἑκατέρᾳ τῶν ΗΘ, ΚΛ. φανερὸν	222 in vol. 1
15	οὖν, ὡς καὶ ταῖς Α, Β τομαῖς συμπεσεῖται καθ’ ἓν μόνον σημεῖον.
2 . 19	Ἐὰν τῶν κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων ἀχθῇ τις εὐθεῖα ἐπιψαύουσα, ἧς ἔτυχε τῶν τομῶν, συμπεσεῖται ταῖς ἐφεξῆς τομαῖς καὶ δίχα[Omitted graphic marker] τμηθήσεται κατὰ τὴν ἁφήν.
5	ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τῆς Γ ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΓΖ. λέγω, ὅτι ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται
10	ταῖς Α, Β τομαῖς καὶ δίχα τμηθήσεται κατὰ τὸ Γ. ὅτι μὲν οὖν συμπεσεῖται ταῖς Α, Β τομαῖς, φανερόν· συμπιπτέτω κατὰ τὰ Η, Θ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ΓΘ.
15	ἤχθωσαν γὰρ αἱ ἀσύμπτωτοι τῶν τομῶν αἱ ΚΛ, ΜΝ. ἴση ἄρα ἡ ΕΗ τῇ ΖΘ καὶ ἡ ΓΕ τῇ ΓΖ, καὶ ὅλη ἡ ΓΗ τῇ ΓΘ ἐστιν ἴση.
2 . 20	Ἐὰν μιᾶς τῶν κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων εὐθεῖα ἐφάπτηται, καὶ διὰ τοῦ κέντρου αὐτῶν ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ μὲν διὰ τῆς ἁφῆς, ἡ δὲ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἕως οὗ συμπέσῃ μιᾷ τῶν ἐφεξῆς τομῶν,
5	ἡ κατὰ τὴν σύμπτωσιν ἐφαπτομένη τῆς τομῆς εὐθεῖα
5	παράλληλος ἔσται τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ τοῦ κέντρου ἠγμένῃ, αἱ δὲ διὰ τῶν ἁφῶν καὶ τοῦ κέντρου συζυγεῖς ἔσονται διάμετροι τῶν ἀντικειμένων. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι, ὧν διάμετροι	224 in vol. 1
10	συζυγεῖς αἱ ΑΒ, ΓΔ, κέντρον δὲ τὸ Χ, καὶ τῆς Α τομῆς ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΕΖ καὶ ἐκβληθεῖσα συμ‐ πιπτέτω τῇ ΓΧ κατὰ τὸ Τ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΧ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ διὰ τοῦ Χ τῇ ΕΖ παράλ‐ ληλος ἤχθω ἡ ΧΗ, καὶ διὰ τοῦ Η ἐφαπτομένη τῆς
15	τομῆς ἤχθω ἡ ΘΗ. λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΗ τῇ ΧΕ, αἱ δὲ ΗΟ, ΕΞ συζυγεῖς εἰσι διάμετροι. ἤχθωσαν γὰρ τεταγμένως αἱ ΚΕ, ΗΛ, ΓΡΠ, παρ’ ἃς δὲ δύνανται αἱ καταγόμεναι, ἔστωσαν αἱ ΑΜ, ΓΝ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΑ πρὸς ΑΜ, ἡ
20	ΝΓ πρὸς ΓΔ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΒΑ πρὸς ΑΜ, τὸ ὑπὸ ΧΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΕ, ὡς δὲ ἡ ΝΓ πρὸς ΓΔ, τὸ ἀπὸ ΗΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΛΘ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΧΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΚ, τὸ ἀπὸ ΗΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΛΘ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΧΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΕ τὸν
25	συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΧΚ πρὸς ΚΕ καὶ τοῦ τῆς ΖΚ πρὸς ΚΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΗΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΛΘ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΗΛ πρὸς ΛΧ, καὶ ἡ ΗΛ πρὸς ΛΘ· ὁ ἄρα συγ‐ κείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΧΚ πρὸς ΚΕ καὶ τῆς ΖΚ
30	πρὸς ΚΕ ὁ αὐτός ἐστι τῷ συγκειμένῳ λόγῳ ἐκ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς ΛΧ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς ΛΘ· ὧν ὁ τῆς ΖΚ πρὸς ΚΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΗΛ πρὸς ΛΧ λόγῳ· ἑκάστη γὰρ τῶν ΕΚ, ΚΖ, ΖΕ ἑκάστῃ τῶν ΧΛ, ΛΗ, ΗΧ
30	παράλληλός ἐστι. λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΧΚ πρὸς ΚΕ	226 in vol. 1
35	λόγος ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ΗΛ πρὸς ΛΘ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Κ, Λ ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΚΧ τρίγωνον τῷ ΗΘΛ καὶ ἴσας ἕξει τὰς γωνίας, ὑφ’ ἃς αἱ ὁμόλογοι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΧΚ
40	τῇ ὑπὸ ΛΗΘ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ ΚΧΗ τῇ ὑπὸ ΛΗΧ ἴση· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΧΗ τῇ ὑπὸ ΘΗΧ ἐστιν ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΧ τῇ ΗΘ. πεποιήσθω δή, ὡς ἡ ΠΗ πρὸς ΗΡ, οὕτως ἡ ΘΗ
45	πρὸς Σ· ἡ Σ ἄρα ἡμίσειά ἐστι τῆς παρ’ ἣν δύνανται αἱ ἐπὶ τὴν ΗΟ διάμετρον καταγόμεναι ἐν ταῖς Γ, Δ τομαῖς. καὶ ἐπεὶ τῶν Α, Β τομῶν δευτέρα διάμετρός ἐστιν ἡ ΓΔ, καὶ συμπίπτει αὐτῇ ἡ ΕΤ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς ΤΧ καὶ τῆς ΕΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΧ· ἐὰν γὰρ
2 . 20 (50)	ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΚΧ παράλληλον ἄγωμεν, τὸ ὑπὸ τῆς ΤΧ καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπὸ τῆς παραλλήλου ἴσον ἔσται τῷ ἀπὸ ΓΧ. διὰ δὲ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΤΧ πρὸς ΕΚ, τὸ ἀπὸ ΤΧ πρὸς τὸ ἀπὸ ΧΓ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΤΧ πρὸς ΕΚ, ἡ ΤΖ πρὸς ΖΕ, τουτέστι
55	τὸ ΤΧΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΕΖΧ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΤΧ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΧ, τὸ ΧΤΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΧΓΠ, τουτέστι πρὸς τὸ ΗΘΧ. ὡς ἄρα τὸ ΤΧΖ πρὸς τὸ ΕΖΧ, τὸ ΤΖΧ πρὸς τὸ ΧΗΘ. ἴσον ἄρα τὸ ΗΘΧ τρίγωνον τῷ ΧΕΖ. ἔχει δὲ καὶ τὴν ὑπὸ ΘΗΧ
60	γωνίαν τῇ ὑπὸ ΧΕΖ γωνίᾳ ἴσην· παράλληλος γάρ ἐστιν ἡ μὲν ΕΧ τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΗΧ. ἀντιπεπόνθασιν
60	ἄρα αἱ πλευραὶ αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΕΧ, ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΧ· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗΧ τῷ ὑπὸ ΧΕΖ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς	228 in vol. 1
65	ἡ Σ πρὸς τὴν ΘΗ, ἡ ΡΗ πρὸς ΗΠ, ὡς δὲ ἡ ΡΗ πρὸς ΗΠ, ἡ ΧΕ πρὸς ΕΖ· παράλληλοι γάρ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Σ πρὸς τὴν ΘΗ, ἡ ΧΕ πρὸς ΕΖ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ Σ πρὸς ΘΗ, τῆς ΧΗ κοινοῦ ὕψους λαμ‐ βανομένης τὸ ὑπὸ Σ, ΧΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗΧ, ὡς δὲ
70	ἡ ΧΕ πρὸς ΕΖ, τὸ ἀπὸ ΧΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΖ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ Σ, ΧΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗΧ, τὸ ἀπὸ ΧΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΖ. ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ Σ, ΗΧ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΧ, τὸ ὑπὸ ΘΗΧ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΕΧ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΘΗΧ τῷ ὑπὸ ΧΕΖ· ἴσον ἄρα καὶ
75	τὸ ὑπὸ Σ, ΗΧ τῷ ἀπὸ ΕΧ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ Σ, ΗΧ τέταρτον τοῦ παρὰ τὴν ΗΟ εἴδους· ἥ τε γὰρ ΗΧ τῆς ΗΟ ἐστιν ἡμίσεια, καὶ ἡ Σ τῆς παρ’ ἣν δύνανται· τὸ δὲ ἀπὸ ΕΧ τέταρτον τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΞ· ἴση γὰρ ἡ ΕΧ τῇ ΧΞ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΕΞ
80	ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸς τῇ ΗΟ εἴδει. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΗΟ δύναται τὸ παρὰ τὴν ΕΞ εἶδος. αἱ ἄρα ΕΞ, ΗΟ συζυγεῖς εἰσι διάμετροι τῶν Α, Β, Γ, Δ ἀντικειμένων.
2 . 21	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων δεικτέον, ὅτι ἡ σύμπτωσις τῶν ἐφαπτομένων πρὸς μίαν τῶν ἀσυμπτώτων ἐστίν. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαί, ὧν αἱ διάμετροι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν
5	αἱ ΑΕ, ΕΓ. λέγω, ὅτι τὸ Ε σημεῖον πρὸς τῇ ἀσυμ‐
5	πτώτῳ ἐστίν. ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ ΓΧ ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους, τῷ δὲ ἀπὸ ΓΧ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ, καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ μέρει	230 in vol. 1
10	τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους. ἐπεζεύχθω ἡ ΕΧ· ἀσύμ‐ πτωτος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΧ. τὸ ἄρα Ε σημεῖον πρὸς τῇ ἀσυμπτώτῳ ἐστίν.
2 . 22	Ἐὰν ἐν ταῖς κατὰ συζυγίαν ἀντικειμέναις ἐκ τοῦ κέντρου εὐθεῖα ἀχθῇ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν, καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ συμπίπτουσα μιᾷ τῶν ἐφεξῆς τομῶν καὶ ταῖς ἀσυμπτώτοις, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ
5	τῶν τῆς ἀχθείσης τμημάτων τῶν γινομένων μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῶν ἀσυμπτώτων ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τετραγώνῳ. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, Γ, Δ, ἀσύμπτωτοι δὲ τῶν τομῶν ἔστωσαν αἱ
10	ΧΕΖ, ΧΗΘ, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ Χ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΧΓΔ, καὶ παράλληλος αὐτῇ ἤχθω τέμνουσα τήν τε ἐφεξῆς τομὴν καὶ τὰς ἀσυμπτώτους ἡ ΘΕ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΕΚΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΧ. τετμήσθω δίχα ἡ ΚΛ κατὰ τὸ Μ, καὶ ἐπιζευχ‐
15	θεῖσα ἡ ΜΧ ἐκβεβλήσθω· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῶν Α, Β τομῶν. καὶ ἐπεὶ ἡ κατὰ τὸ Α ἐφαπ‐ τομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΕΘ, ἡ ἄρα ΕΘ ἐπὶ τὴν ΑΒ τεταγμένως ἐστὶ κατηγμένη. καὶ κέντρον τὸ Χ· αἱ ΑΒ, ΓΔ ἄρα συζυγεῖς εἰσι διάμετροι. τὸ ἄρα
20	ἀπὸ ΓΧ ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ παρὰ τὴν ΑΒ
20	εἴδους. τῷ δὲ τετάρτῳ μέρει τοῦ παρὰ τὴν ΑΒ εἴδους ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΘΚΕ· καὶ τὸ ὑπὸ ΘΚΕ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΧ.	232 in vol. 1
2 . 23	Ἐὰν ἐν ταῖς κατὰ συζυγίαν ἀντικειμέναις ἐκ τοῦ κέντρου τις ἀχθῇ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν, καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ συμπίπτουσα ταῖς ἐφεξῆς τρισὶ τομαῖς, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τῆς ἀχθείσης
5	τμημάτων τῶν γινομένων μεταξὺ τῶν τριῶν τομῶν διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τετραγώνου. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, Γ, Δ, κέντρον δὲ τῶν τομῶν ἔστω τὸ Χ, καὶ ἀπὸ τοῦ Χ πρὸς ὁποιανοῦν τῶν τομῶν προσπιπτέτω
10	τις εὐθεῖα ἡ ΓΧ, καὶ τῇ ΓΧ παράλληλος ἤχθω τέμ‐ νουσα τὰς ἐφεξῆς τρεῖς τομὰς ἡ ΚΛ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΚΜΛ διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΧ. ἤχθωσαν ἀσύμπτωτοι τῶν τομῶν αἱ ΕΖ, ΗΘ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΧ ἴσον ἐστὶν ἑκατέρῳ τῶν ὑπὸ ΘΜΕ, ΘΚΕ.
15	τὸ δὲ ὑπὸ ΘΜΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΘΚΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΛΜΚ διὰ τὸ τὰς ἄκρας ἴσας εἶναι. καὶ τὸ ὑπὸ ΛΜΚ ἄρα διπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ ΓΧ.
2 . 24	Ἐὰν παραβολῇ δύο εὐθεῖαι συμπίπτωσιν ἑκατέρα κατὰ δύο σημεῖα, μηδετέρας δὲ αὐτῶν ἡ σύμπτωσις ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας συμπτώσεων περιέχηται, συμπε‐ σοῦνται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι ἐκτὸς τῆς τομῆς.
5	ἔστω παραβολὴ ἡ ΑΒΓΔ, καὶ τῇ ΑΒΓΔ δύο εὐθεῖαι συμπιπτέτωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ, μηδετέρας δὲ
5	αὐτῶν ἡ σύμπτωσις ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας συμπτώσεων περιεχέσθω. λέγω, ὅτι ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις.	234 in vol. 1
10	ἤχθωσαν διὰ τῶν Β, Γ διάμετροι τῆς τομῆς αἱ ΕΒΖ, ΗΓΘ· παράλληλοι ἄρα εἰσὶ καὶ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον ἑκατέρα τὴν τομὴν τέμνει. ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΒΓ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΕΒΓ, ΒΓΗ γωνίαι δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, αἱ δὲ ΔΓ, ΒΑ ἐκβαλλόμεναι ἐλάττονας
15	ποιοῦσι δύο ὀρθῶν. συμπεσοῦνται ἄρα ἀλλήλαις ἐκτὸς τῆς τομῆς.
2 . 25	Ἐὰν ὑπερβολῇ δύο εὐθεῖαι συμπίπτωσιν ἑκατέρα κατὰ δύο σημεῖα, μηδετέρας δὲ αὐτῶν ἡ σύμπτωσις ὑπὸ τῶν τῆς ἑτέρας συμπτώσεων περιέχηται, συμπε‐ σοῦνται ἀλλήλαις αἱ εὐθεῖαι ἐκτὸς μὲν τῆς τομῆς, ἐντὸς
5	δὲ τῆς περιεχούσης τὴν τομὴν γωνίας. ἔστω ὑπερβολή, ἧς ἀσύμπτωτοι αἱ ΑΒ, ΑΓ, καὶ τεμνέτωσαν δύο εὐθεῖαι τὴν τομὴν αἱ ΕΖ, ΗΘ, καὶ μηδετέρας αὐτῶν ἡ[Omitted graphic marker] σύμπτωσις ὑπὸ τῶν
10	τῆς ἑτέρας περιεχέ‐ σθω. λέγω, ὅτι αἱ ΕΖ, ΗΘ ἐκβαλλό‐ μεναι συμπεσοῦνται ἐκτὸς μὲν τῆς τομῆς,
15	ἐντὸς δὲ τῆς ὑπὸ ΓΑΒ γωνίας. ἐπιζευχθεῖσαι γὰρ αἱ ΑΖ, ΑΘ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΘ. καὶ ἐπεὶ αἱ ΕΖ, ΗΘ ἐκβαλλόμεναι
15	τέμνουσι τὰς ὑπὸ ΑΖΘ, ΑΘΖ γωνίας, εἰσὶ δὲ αἱ	236 in vol. 1
20	εἰρημέναι γωνίαι δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες, αἱ ΕΖ, ΗΘ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται ἀλλήλαις ἐκτὸς μὲν τῆς τομῆς, ἐντὸς δὲ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ γωνίας. ὁμοίως δὴ δείξομεν, κἂν ἐφαπτόμεναι ὦσι τῶν τομῶν αἱ ΕΖ, ΗΘ.
2 . 26	Ἐὰν ἐν ἐλλείψει ἢ κύκλου περιφερείᾳ δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμ‐ νουσιν ἀλλήλας δίχα. εἰ γὰρ δυνατόν, ἐν ἐλλείψει ἢ κύκλου περιφερείᾳ
5	δύο εὐθεῖαι αἱ ΓΔ, ΕΖ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι τεμνέτωσαν ἀλλήλας δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ ἔστω κέν‐ τρον τῆς τομῆς τὸ Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΗΘ ἐκβε‐ βλήσθω ἐπὶ τὰ Α, Β. ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τὴν ΕΖ δίχα
10	τέμνουσα, ἡ ἄρα κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ τῇ ΓΔ. ὥστε καὶ ἡ ΕΖ παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ· ὅπερ ἀδύ‐ νατον. οὐκ ἄρα αἱ ΓΔ, ΕΖ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας.
2 . 27	Ἐὰν ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύωσιν, ἐὰν μὲν ἡ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα διὰ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς ᾖ, παράλληλοι ἔσονται αἱ ἐφαπτόμεναι, ἐὰν δὲ μή, συμπεσοῦνται ἐπὶ τὰ αὐτὰ
5	μέρη τοῦ κέντρου. ἔστω ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒ, καὶ
5	ἐφαπτέσθωσαν αὐτῆς αἱ ΓΑΔ, ΕΒΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἔστω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου. λέγω, ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ.	238 in vol. 1
10	ἐπεὶ γὰρ διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς τομῆς, καὶ ἐφάπτεται κατὰ τὸ Α ἡ ΓΔ, ἡ ΓΔ ἄρα παράλληλός ἐστι ταῖς ἐπὶ τὴν ΑΒ τεταγμένως κατηγμέναις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΖ παράλληλός ἐστι ταῖς αὐταῖς. καὶ ἡ ΓΔ ἄρα τῇ ΕΖ παράλληλός ἐστι.
15	μὴ ἐρχέσθω δὴ ἡ ΑΒ διὰ τοῦ κέντρου, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς, καὶ ἤχθω διάμετρος ἡ ΑΘ, καὶ διὰ τοῦ Θ ἐφαπτομένη ἡ ΚΘΛ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΓΔ. ἡ ἄρα ΕΖ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ ΓΔ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τοῦ κέντρου,
20	ἐν οἷς ἐστιν ἡ ΑΒ.
2 . 28	Ἐὰν ἐν κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ δύο παραλλήλους εὐθείας εὐθεῖά τις δίχα τέμνῃ, διάμετρος ἔσται τῆς τομῆς. ἐν γὰρ κώνου τομῇ δύο εὐθεῖαι[Omitted graphic marker]
5	παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΓΔ δίχα τετμή‐ σθωσαν κατὰ τὰ Ε, Ζ, καὶ ἐπιζευχ‐ θεῖσα ἡ ΕΖ ἐκβεβλήσθω. λέγω, ὅτι διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ
10	ΗΖΘ. ἡ ἄρα κατὰ τὸ Η ἐφαπτο‐ μένη παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ. ὥστε ἡ αὐτὴ παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ. καί ἐστι διάμετρος ἡ ΗΘ· ἴση ἄρα ἡ ΓΘ τῇ ΘΔ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπό‐
10	κειται γὰρ ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ ἴση. οὐκ ἄρα διάμετρός ἐστιν	240 in vol. 1
15	ἡ ΗΘ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΕΖ. ἡ ΕΖ ἄρα διάμετρος ἔσται τῆς τομῆς.
2 . 29	Ἐὰν ἐν κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσιν, ἀπὸ τῆς συμπτώ‐ σεως αὐτῶν ἐπὶ τὴν διχοτομίαν τῆς τὰς ἁφὰς ἐπι‐ ζευγνυούσης ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς.
5	ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια, ἧς ἐφ‐ απτόμεναι εὐθεῖαι ἤχθωσαν αἱ ΑΒ, ΑΓ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Α, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΓ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς.
10	εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω διάμετρος ἡ ΔΕ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΕΓ· τεμεῖ δὴ τὴν τομήν. τεμνέτω κατὰ τὸ Ζ, καὶ διὰ τοῦ Ζ τῇ ΓΔΒ[Omitted graphic marker] παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΚΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΒ,
15	ἴση καὶ ἡ ΖΘ τῇ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἡ κατὰ τὸ Λ ἐφαπτομένη παρ‐ άλληλός ἐστι τῇ ΒΓ, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΗ τῇ ΒΓ παράλληλος, καὶ ἡ ΖΗ ἄρα παράλληλός ἐστι
20	τῇ κατὰ τὸ Λ ἐφαπτομένῃ. ἴση ἄρα ἡ ΖΘ τῇ ΘΚ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα διά‐ μετρός ἐστιν ἡ ΔΕ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ
20	ἄλλη τις πλὴν τῆς ΑΔ.	242 in vol. 1
2 . 30	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσιν, ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἀγο‐ μένη διάμετρος δίχα τεμεῖ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν εὐθεῖαν.
5	ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθωσαν αὐτῆς δύο ἐφαπτόμεναι αἱ ΒΑ, ΑΓ συμ‐ πίπτουσαι κατὰ τὸ Α, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α διάμετρος τῆς τομῆς ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι ἐστὶν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΔΓ.
10	μὴ γάρ, ἀλλ’ εἰ δυνατόν, ἔστω ἴση ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ· ἡ ΑΕ ἄρα διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΔ· ὅπερ[Omitted graphic marker] ἄτοπον. εἴτε γὰρ ἔλλειψίς ἐστιν ἡ τομή, τὸ Α, καθ’ ὃ συμ‐
15	βάλλουσιν ἀλλήλαις αἱ διάμετροι, κέντρον ἔσται τῆς τομῆς ἐκτός· ὅπερ ἀδύνατον· εἴτε παραβολή ἐστιν ἡ τομή, συμπίπτουσιν ἀλλήλαις αἱ διάμετροι· εἴτε ὑπερβολή ἐστι, καὶ συμ‐
20	πίπτουσι τῇ τομῇ αἱ ΒΑ, ΑΓ μὴ περιέχουσαι τὰς ἑαυτῶν συμπτώσεις, ἐντός ἐστι τῆς περιεχούσης τὴν ὑπερβολὴν γωνίας· ἀλλὰ καὶ ἐπ’ αὐτῆς· κέντρον γὰρ ὑπόκειται διαμέτρων οὐσῶν τῶν ΔΑ, ΑΕ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ ἐστιν ἴση.
2 . 31	Ἐὰν ἑκατέρας τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφ‐
2 . 31	άπτωνται, ἐὰν μὲν ἡ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα διὰ τοῦ κέντρου πίπτῃ, παράλληλοι ἔσονται αἱ ἐφαπτόμεναι, ἐὰν δὲ μή, συμπεσοῦνται ἐπὶ ταὐτὰ τῷ κέντρῳ.	244 in vol. 1
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ ἐφαπτό‐ μεναι αὐτῶν ἔστωσαν αἱ ΓΑΔ, ΕΒΖ κατὰ τὰ Α, Β, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἐπιζευγνυμένη πιπτέτω πρότερον διὰ τοῦ κέντρου τῶν τομῶν. λέγω, ὅτι παρ‐ άλληλός ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ.
10	ἐπεὶ γὰρ ἀντικείμεναί εἰσι τομαί, ὧν διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ, καὶ μιᾶς αὐτῶν ἐφάπτεται ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Α, ἡ ἄρα διὰ τοῦ Β τῇ ΓΔ παράλληλος ἀγομένη ἐφάπτεται τῆς τομῆς. ἐφάπτεται δὲ καὶ ἡ ΕΖ· παρ‐ άλληλός ἐστιν ἄρα ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ.
15	μὴ ἔστω δὴ ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β διὰ τοῦ κέντρου τῶν τομῶν, καὶ ἤχθω διάμετρος τῶν τομῶν ἡ ΑΗ, καὶ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω ἡ ΘΚ· ἡ ΘΚ ἄρα παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ ὑπερβολῆς εὐθεῖαι ἐφάπτονται αἱ ΕΖ, ΘΚ, συμπεσοῦνται ἄρα. καί ἐστι
20	παράλληλος ἡ ΘΚ τῇ ΓΔ· καὶ αἱ ΓΔ, ΕΖ ἄρα ἐκ‐ βαλλόμεναι συμπεσοῦνται. καὶ φανερόν, ὅτι ἐπὶ ταὐτὰ τῷ κέντρῳ.
2 . 32	Ἐὰν ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖαι συμπίπτωσι καθ’ ἓν ἐφαπτόμεναι ἢ κατὰ δύο τέμνουσαι, ἐκβληθεῖσαι δὲ αἱ εὐθεῖαι συμπίπτωσιν, ἡ σύμπτωσις αὐτῶν ἔσται ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς περιεχούσης τὴν τομὴν γωνίας.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ καὶ τῶν ἀντικειμένων ἤτοι καθ’ ἓν ἐφαπτόμεναι ἤτοι κατὰ δύο τέμνουσαι
5	εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐκβαλλόμεναι συμπιπτέτωσαν. λέγω, ὅτι ἡ σύμπτωσις αὐτῶν ἔσται ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς περιεχούσης τὴν τομὴν γωνίας.[Omitted graphic marker]	246 in vol. 1
10	ἔστωσαν ἀσύμπτωτοι τῶν τομῶν αἱ ΖΗ, ΘΚ· ἡ ΑΒ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ταῖς ἀσυμπτώτοις. συμπιπτέτω κατὰ τὰ Θ, Η. καὶ ἐπεὶ ὑπόκεινται συμ‐ πίπτουσαι αἱ ΖΚ, ΘΗ, φανερόν, ὅτι ἤτοι ἐν τῷ ὑπὸ τὴν ΘΛΖ γωνίαν τόπῳ συμπεσοῦνται ἢ ἐν τῷ ὑπὸ
15	τὴν ΚΛΗ. ὁμοίως δὲ καί, ἐὰν ἐφάπτωνται.
2 . 33	Ἐὰν μιᾷ τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖα συμπίπτουσα ἐκβληθεῖσα ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πίπτῃ τῆς τομῆς, οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ τομῇ, ἀλλὰ πεσεῖται διὰ τῶν τριῶν τόπων, ὧν ἐστιν εἷς μὲν ὁ ὑπὸ τὴν περιέχουσαν γω‐
5	νίαν τὴν τομήν, δύο δὲ οἱ ὑπὸ τὰς γωνίας τὰς ἐφεξῆς τῆς περιεχούσης τὴν τομὴν γωνίας. ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ τὴν Α τεμνέτω τις εὐθεῖα ἡ ΓΔ καὶ ἐκβαλλομένη ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πιπτέτω τῆς τομῆς. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ οὐ συμ‐
10	πίπτει τῇ Β τομῇ.
10	ἤχθωσαν γὰρ ἀσύμπτωτοι τῶν τομῶν αἱ ΕΖ, ΗΘ· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ταῖς ἀσυμπτώτοις. οὐ συμπίπτει δὲ κατ’ ἄλλα ἢ τὰ Ε, Θ. ὥστε οὐ συμ‐ πεσεῖται οὐδὲ τῇ Β τομῇ.	248 in vol. 1
15	καὶ φανερόν, ὅτι διὰ τῶν τριῶν τόπων πεσεῖται. ἐὰν γὰρ ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμπίπτῃ τις εὐ‐ θεῖα, οὐδεμιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται κατὰ δύο σημεῖα. εἰ γὰρ συμπεσεῖται κατὰ δύο σημεῖα, διὰ τὸ προδεδειγμένον τῇ ἑτέρᾳ τομῇ οὐ συμπεσεῖται.
2 . 34	Ἐὰν μιᾶς τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖά τις ἐπιψαύῃ, καὶ ταύτῃ παράλληλος ἀχθῇ ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ, ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ μέσην τὴν παράλληλον ἀγομένη εὐθεῖα διάμετρος ἔσται τῶν ἀντικειμένων.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ μιᾶς αὐτῶν τῆς Α ἐφαπτέσθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΔ κατὰ τὸ Α, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἐν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΕΖ, καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. λέγω, ὅτι ἡ ΑΗ διάμετρός ἐστι τῶν ἀντικειμένων.
10	εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἡ ΑΘΚ. ἡ ἄρα κατὰ τὸ Θ ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΔ παράλληλός ἐστι τῇ ΕΖ· καὶ ἡ κατὰ τὸ Θ ἄρα ἐφ‐ απτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΕΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΚΖ· ὅπερ ἀδύνατον· ἡ γὰρ ΕΗ τῇ ΗΖ ἐστιν
15	ἴση. οὐκ ἄρα διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΘ τῶν ἀντικειμέ‐ νων. ἡ ΑΒ ἄρα.
2 . 35	Ἐὰν ἡ διάμετρος ἐν μιᾷ τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖάν
2 . 35	τινα δίχα τέμνῃ, ἡ ἐπιψαύουσα τῆς ἑτέρας τομῆς κατὰ τὸ πέρας τῆς διαμέτρου παράλληλος ἔσται τῇ δίχα τεμνομένῃ εὐθείᾳ.	250 in vol. 1
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, ἡ δὲ διά‐ μετρος αὐτῶν ἡ ΑΒ τεμνέτω ἐν τῇ Β τομῇ δίχα τὴν ΓΔ εὐθεῖαν κατὰ τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ κατὰ τὸ Α ἐφ‐ απτομένη τῆς τομῆς παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω τῇ κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένῃ
10	τῆς τομῆς παράλληλος ἡ ΔΖ· ἴση ἄρα ἡ ΔΗ τῇ ΗΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ ἴση. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ ΕΗ· ὅπερ ἀδύνατον· ἐκβαλλομένη γὰρ αὐτῇ συμπίπτει. οὐκ ἄρα παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένῃ τῆς τομῆς οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΓΔ.
2 . 36	Ἐὰν ἐν ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων εὐθεῖαι ἀχθῶσι παράλληλοι οὖσαι, ἡ τὰς διχοτομίας αὐτῶν ἐπι‐ ζευγνύουσα εὐθεῖα διάμετρος ἔσται τῶν ἀντικειμένων. ἔστωσαν ἀντικεί‐[Omitted graphic marker]
5	μεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ ἐν ἑκατέρᾳ αὐ‐ τῶν ἤχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΔ, ΕΖ, καὶ ἔστω‐ σαν παράλληλοι, καὶ
10	τετμήσθω ἑκατέρα αὐτῶν δίχα κατὰ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ. λέγω, ὅτι ἡ ΗΘ διάμετρός ἐστι τῶν ἀντικειμένων. εἰ γὰρ μή, ἔστω ἡ ΗΚ. ἡ ἄρα κατὰ τὸ Α ἐφ‐ απτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΓΔ· ὥστε καὶ τῇ ΕΖ.
15	ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΚ τῇ ΚΖ· ὅπερ ἀδύνατον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΕΘ τῇ ΘΖ ἐστιν ἴση. οὐκ ἄρα ἡ ΗΚ διάμετρός ἐστι τῶν ἀντικειμένων. ἡ ΗΘ ἄρα.	252 in vol. 1
2 . 37	Ἐὰν ἀντικειμένας εὐθεῖα τέμνῃ μὴ διὰ τοῦ κέντρου, ἡ ἀπὸ τῆς διχοτομίας αὐτῆς ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυ‐ μένη διάμετρός ἐστι τῶν ἀντικειμένων ἡ λεγομένη ὀρθία, πλαγία δὲ συζυγὴς αὐτῇ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου
5	ἀγομένη παράλληλος τῇ δίχα τεμνομένῃ. ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ τὰς Α, Β τεμνέτω τις εὐθεῖα ἡ ΓΔ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσα καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ[Omitted graphic marker] τὸ Ε, καὶ τὸ κέντρον τῶν
10	τομῶν ἔστω τὸ Χ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΧΕ, καὶ διὰ τοῦ Χ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΒ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΒ, ΕΧ συζυγεῖς εἰσι
15	διάμετροι τῶν τομῶν. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΔΧ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΧ τῇ ΧΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΔΕ τῇ ΕΓ ἴση· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΧ τῇ ΖΓ. ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ ἐπὶ τὸ Η. καὶ
20	ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΧ τῇ ΧΖ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΧ τῇ ΖΗ· ὥστε καὶ ἡ ΓΗ ἴση τῇ ΖΗ. ἡ ἄρα κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΓΖ· ὥστε καὶ τῇ ΕΧ. αἱ ΕΧ, ΑΒ ἄρα συζυγεῖς εἰσι διάμετροι.
2 . 38	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύωσι συμ‐
2 . 38	πίπτουσαι, ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπιζευγνυμένη ἐπὶ μέσην τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν διάμετρος ἔσται τῶν ἀντικειμένων ἡ λεγομένη ὀρθία, πλαγία δὲ συ‐	254 in vol. 1
5	ζυγὴς αὐτῇ ἡ διὰ τοῦ κέντρου ἀγομένη παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν. ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, ἐφαπτόμεναι δὲ τῶν τομῶν αἱ ΓΧ, ΧΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΧ. λέγω,
10	ὅτι ἡ ΕΧ διάμετρός ἐστιν ἡ λεγομένη ὀρθία, πλαγία δὲ συζυγὴς αὐτῇ ἡ διὰ τοῦ κέντρου τῇ ΓΔ παράλληλος ἀγομένη. ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, διάμετρος ἡ ΕΖ, καὶ εἰλήφθω τυχὸν σημεῖον τὸ Ζ· συμπεσεῖται ἄρα ἡ ΔΧ τῇ ΕΖ.
15	συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ· συμ‐ βαλεῖ ἄρα ἡ ΓΖ τῇ τομῇ. συμβαλέτω κατὰ τὸ Α, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΒ. ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΕΖ, καὶ τὴν ΓΔ δίχα τέμνει, καὶ τὰς παραλλήλους αὐτῇ δίχα τέμνει. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
20	ΑΗ τῇ ΗΒ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΕΔ, καί ἐστιν ἐν τριγώνῳ τῷ ΓΖΔ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΗ τῇ ΗΚ. ὥστε καὶ ἡ ΗΚ τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ΕΖ διάμετρος ἔσται.
2 . 39	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφάπτωνται συμπίπτουσαι, ἡ διὰ τοῦ κέντρου καὶ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἀγομένη δίχα τέμνει τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν εὐθεῖαν.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ τῶν Α, Β
5	δύο εὐθεῖαι ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΓΕ, ΕΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ, καὶ διάμετρος ἤχθω ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ ΖΔ. εἰ γὰρ μή, τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ	256 in vol. 1
10	ἐπεζεύχθω ἡ ΗΕ· ἡ ΗΕ ἄρα διάμετρός ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΖ· κέντρον ἄρα ἐστὶ τὸ Ε. ἡ ἄρα σύμ‐ πτωσις τῶν ἐφαπτομένων ἐπὶ τοῦ κέντρου ἐστὶ τῶν τομῶν· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἄνισός ἐστιν ἡ ΓΖ τῇ ΖΔ. ἴση ἄρα.
2 . 40	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ διὰ τῆς συμπτώσεως εὐθεῖα ἀχθῇ παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν συμπίπτουσα ταῖς τομαῖς, αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἀγόμεναι ἐπὶ μέσην
5	τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν ἐφάπτονται τῶν τομῶν. ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ τῶν Α, Β δύο εὐθεῖαι ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΓΕ, ΕΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ, καὶ[Omitted graphic marker] διὰ τοῦ Ε τῇ ΓΔ παρ‐
10	άλληλος ἤχθω ἡ ΖΕΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΖΘ, ΘΗ. λέγω, ὅτι αἱ ΖΘ, ΘΗ
15	ἐφάπτονται τῶν τομῶν. ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ ὀρθία, πλαγία δὲ συζυγὴς αὐτῇ ἡ διὰ τοῦ κέντρου τῇ ΓΔ
15	παράλληλος ἀγομένη. εἰλήφθω τὸ κέντρον τὸ Χ, καὶ τῇ ΓΔ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΧΒ· αἱ ΘΕ, ΑΒ ἄρα	258 in vol. 1
20	συζυγεῖς εἰσι διάμετροι. καὶ τεταγμένως ἦκται ἡ ΓΘ ἐπὶ τὴν δευτέραν διάμετρον, ἐφαπτομένη δὲ τῆς τομῆς ἡ ΓΕ συμπίπτουσα τῇ δευτέρᾳ διαμέτρῳ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΧΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς δευτέρας διαμέτρου, τουτέστι τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ παρὰ τὴν
25	ΑΒ εἴδους. καὶ ἐπεὶ τεταγμένως μὲν ἦκται ἡ ΖΕ, ἐπέζευκται δὲ ἡ ΖΘ, διὰ τοῦτο ἐφάπτεται ἡ ΖΘ τῆς Α τομῆς. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΗΘ ἐφάπτεται τῆς Β τομῆς. αἱ ΖΘ, ΘΗ ἄρα ἐφάπτονται τῶν Α, Β τομῶν.
2 . 41	Ἐὰν ἐν ταῖς ἀντικειμέναις δύο εὐθεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου, οὐ τέμνουσιν ἀλλή‐ λας δίχα. ἔστωσαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, καὶ ἐν ταῖς
5	Α, Β δύο εὐθεῖαι τεμνέτωσαν ἀλλήλας αἱ ΓΒ, ΑΔ κατὰ τὸ Ε μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι. λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα. εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν, καὶ τὸ κέντρον τῶν τομῶν ἔστω τὸ Χ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΧ· διάμετρος ἄρα
10	ἐστὶν ἡ ΕΧ. ἤχθω διὰ τοῦ Χ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ΧΖ· ἡ ΧΖ ἄρα διάμετρός ἐστι καὶ συζυγὴς τῇ ΕΧ. ἡ ἄρα κατὰ τὸ Ζ ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΕΧ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ παραλλήλου ἀχθείσης τῆς ΘΚ τῇ ΑΔ ἡ κατὰ τὸ Θ ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΕΧ· ὥστε καὶ ἡ
15	κατὰ τὸ Ζ ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ κατὰ τὸ
15	Θ ἐφαπτομένῃ· ὅπερ ἄτοπον· ἐδείχθη γὰρ καὶ συμ‐ πίπτουσα. οὐκ ἄρα αἱ ΓΒ, ΑΔ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι τέμνουσι ἀλλήλας δίχα.	260 in vol. 1
2 . 42	Ἐὰν ἐν ταῖς κατὰ συζυγίαν ἀντικειμέναις δύο εὐ‐ θεῖαι τέμνωσιν ἀλλήλας μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ
5	Α, Β, Γ, Δ, καὶ ἐν ταῖς Α, Β, Γ, Δ τομαῖς δύο εὐ‐ θεῖαι τεμνέτωσαν ἀλλήλας αἱ[Omitted graphic marker] ΕΖ, ΗΘ κατὰ τὸ Κ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι. λέγω, ὅτι οὐ τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
10	εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτωσαν, καὶ τὸ κέντρον τῶν τομῶν ἔστω τὸ Χ, καὶ τῇ μὲν ΕΖ ἤχθω παράλληλος ἡ ΑΒ, τῇ δὲ ΘΗ ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΧ· αἱ ΚΧ, ΑΒ ἄρα συ‐
15	ζυγεῖς εἰσι διάμετροι. ὁμοίως καὶ αἱ ΧΚ, ΓΔ συζυγεῖς εἰσι διάμετροι. ὥστε καὶ ἡ κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένη τῇ κατὰ τὸ Γ ἐφαπτομένῃ παράλληλός ἐστιν· ὅπερ ἀδύ‐ νατον· συμπίπτει γάρ, ἐπειδὴ ἡ μὲν κατὰ τὸ Γ ἐφ‐ απτομένη τέμνει τὰς Α, Β τομάς, ἡ δὲ κατὰ τὸ Α
20	τὰς Δ, Γ, καὶ φανερόν, ὅτι ἡ σύμπτωσις αὐτῶν ἐν τῷ ὑπὸ τὴν ΑΧΓ γωνίαν τόπῳ ἐστίν. οὐκ ἄρα αἱ ΕΖ, ΗΘ μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι τέμνουσιν ἀλλήλας δίχα.
2 . 43	Ἐὰν μίαν τῶν κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων εὐθεῖα
2 . 43	τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ κέντρου ἡ μὲν ἐπὶ μέσην τὴν τέμνουσαν ἀχθῇ, ἡ δὲ παρὰ τὴν τέμ‐ νουσαν, συζυγεῖς ἔσονται διάμετροι τῶν ἀντικειμένων.	262 in vol. 1
5	ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι τομαὶ αἱ Α, Β, Γ, Δ, καὶ τεμνέτω τὴν Α εὐθεῖά τις κατὰ δύο σημεῖα τὰ Ε, Ζ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΖΕ τῷ Η, καὶ ἔστω κέντρον τὸ Χ, καὶ ἐπε‐[Omitted graphic marker] ζεύχθω ἡ ΧΗ, παράλληλος δὲ
10	ἤχθω τῇ ΕΖ ἡ ΓΧ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΧ, ΧΓ συζυγεῖς εἰσι διά‐ μετροι. ἐπεὶ γὰρ διάμετρος ἡ ΑΧ, καὶ τὴν ΕΖ δίχα τέμνει, ἡ
15	κατὰ τὸ Α ἐφαπτομένη παράλληλός ἐστι τῇ ΕΖ· ὥστε καὶ τῇ ΓΧ. ἐπεὶ οὖν ἀντικείμεναί εἰσι τομαί, καὶ μιᾶς αὐτῶν τῆς Α ἦκται ἐφαπτομένη κατὰ τὸ Α, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τοῦ Χ ἡ μὲν ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἐπιζεύγνυται ἡ ΧΑ, ἡ δὲ παρὰ τὴν ἐφαπτομένην ἦκται ἡ ΓΧ,
20	αἱ ΧΑ, ΓΧ ἄρα συζυγεῖς εἰσι διάμετροι· τοῦτο γὰρ προδέδεικται.
2 . 44	Τῆς δοθείσης κώνου τομῆς τὴν διάμετρον εὑρεῖν. ἔστω ἡ δοθεῖσα κώνου τομή, ἐφ’ ἧς τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε σημεῖα. δεῖ δὴ αὐτῆς τὴν διάμετρον εὑρεῖν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΓΘ. ἀχθεισῶν δὴ τεταγ‐
5	μένως τῶν ΔΖ, ΕΘ καὶ ἐκβληθεισῶν ἔσται ἴση ἡ μὲν ΔΖ τῇ ΖΒ, ἡ δὲ ΕΘ τῇ ΘΑ. ἐὰν οὖν τάξωμεν τὰς ΒΔ, ΕΑ θέσει οὔσας παραλλήλους, ἔσται δοθέντα
5	τὰ Θ, Ζ σημεῖα. ὥστε θέσει ἔσται ἡ ΘΖΓ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ δοθεῖσα κώνου	264 in vol. 1
10	τομή, ἐφ’ ἧς τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε σημεῖα, καὶ ἤχθωσαν παράλληλοι αἱ ΒΔ, ΑΕ καὶ τετμήσθωσαν δίχα κατὰ τὰ Ζ, Θ. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΖΘ διάμετρος ἔσται τῆς τομῆς. τῷ δὲ αὐτῷ τρόπῳ καὶ ἀπείρους εὑρήσομεν διαμέτρους.
2 . 45	Τῆς δοθείσης ἐλλείψεως ἢ ὑπερβολῆς τὸ κέντρον εὑρεῖν. τοῦτο δὲ φανερόν· ἐὰν γὰρ διαχθῶσι δύο διά‐ μετροι τῆς τομῆς αἱ ΑΒ, ΓΔ, καθ’ ὃ τέμνουσιν ἀλ‐
5	λήλας, ἔσται τῆς τομῆς τὸ κέντρον, ὡς ὑπόκειται.
2 . 46	Τῆς δοθείσης κώνου τομῆς τὸν ἄξονα εὑρεῖν. ἔστω ἡ δοθεῖσα κώνου τομὴ πρότερον παραβολή, ἐφ’ ἧς τὰ Ζ, Γ, Ε. δεῖ δὴ αὐτῆς τὸν ἄξονα εὑρεῖν. ἤχθω γὰρ αὐτῆς διάμετρος ἡ ΑΒ. εἰ μὲν οὖν ἡ
5	ΑΒ ἄξων ἐστί, γεγονὸς ἂν εἴη τὸ ἐπιταχθέν· εἰ δὲ οὔ, γεγονέτω, καὶ ἔστω ἄξων ὁ ΓΔ· ὁ ΓΔ ἄρα ἄξων παράλληλός ἐστι τῇ ΑΒ καὶ τὰς ἀγομένας ἐπ’ αὐτὴν καθέτους δίχα τέμνει. αἱ δὲ ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετοι καὶ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετοί εἰσιν· ὥστε ἡ ΓΔ τὰς ἐπὶ
10	τὴν ΑΒ καθέτους δίχα τέμνει. ἐὰν οὖν τάξω τὴν ΕΖ κάθετον ἐπὶ τὴν ΑΒ, ἔσται θέσει, καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἐστὶν ἡ ΕΔ τῇ ΔΖ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Δ. διὰ δεδομένου ἄρα τοῦ Δ παρὰ θέσει τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΓΔ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ.
15	συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ δοθεῖσα παρα‐ βολή, ἐφ’ ἧς τὰ Ζ, Ε, Α, καὶ ἤχθω αὐτῆς διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΒΕ καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΒΖ, φανερόν, ὅτι ἡ ΑΒ ἄξων[Omitted graphic marker]	266 in vol. 1
20	ἐστίν· εἰ δὲ οὔ, τετμήσθω ἡ ΕΖ δίχα τῷ Δ, καὶ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΔ. φα‐ νερὸν δή, ὅτι ἡ ΓΔ ἄξων ἐστὶ τῆς τομῆς· παράλληλος γὰρ
25	οὖσα τῇ διαμέτρῳ, τουτέστι διάμετρος οὖσα, τὴν ΕΖ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει. τῆς ἄρα δοθείσης παραβολῆς ὁ ἄξων ηὕρηται ὁ ΓΔ. καὶ φανερόν, ὅτι εἷς ἄξων ἐστὶ τῆς παραβολῆς. εἰ
30	γὰρ ἄλλος ἔσται ὡς ὁ ΑΒ, ἔσται τῇ ΓΔ παράλληλος. καὶ τὴν ΕΖ τέμνει· ὥστε καὶ δίχα. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΒΖ· ὅπερ ἄτοπον.
2 . 47	Τῆς δοθείσης ὑπερβολῆς ἢ ἐλλείψεως τὸν ἄξονα εὑρεῖν. ἔστω ὑπερβολὴ ἢ ἔλλειψις ἡ ΑΒΓ· δεῖ δὴ αὐτῆς τὸν ἄξονα εὑρεῖν.
5	εὑρήσθω καὶ ἔστω ὁ ΚΔ, κέντρον δὲ τῆς τομῆς τὸ Κ· ἡ ἄρα ΚΔ τὰς ἐπ’ αὐτὴν τεταγμένως κατα‐ γομένας δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει. ἤχθω κάθετος ἡ ΓΔΑ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΑ, ΚΓ.
5	ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ΚΑ.	268 in vol. 1
10	ἐὰν οὖν τάξωμεν δοθὲν τὸ Γ, ἔσται δοθεῖσα ἡ ΓΚ. ὥστε ὁ κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ ΚΓ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τοῦ Α καὶ ἔσται θέσει δε‐ δομένος. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ τομὴ δοθεῖσα θέσει· δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἔστι δὲ καὶ τὸ Γ δοθέν· θέσει
15	ἄρα ἡ ΓΑ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ· δοθὲν ἄρα τὸ Δ. ἀλλὰ καὶ τὸ Κ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα τῇ θέσει ἡ ΔΚ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ δοθεῖσα ὑπερ‐ βολὴ ἢ ἔλλειψις ἡ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω αὐτῆς κέντρον
20	τὸ Κ· εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς τομῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ κέντρῳ τῷ Κ, δια‐[Omitted graphic marker] στήματι δὲ τῷ ΚΓ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΕΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ καὶ δίχα
25	τετμήσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΚΓ, ΚΔ, ΚΑ, καὶ διήχθω ἡ ΚΔ ἐπὶ τὸ Β. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, κοινὴ δὲ ἡ
30	ΔΚ, δύο ἄρα αἱ ΓΔΚ δύο ταῖς ΑΔΚ ἴσαι εἰσί, καὶ βάσις ἡ ΚΑ τῇ ΚΓ ἴση. ἡ ἄρα ΚΒΔ τὴν ΑΔΓ δίχα τε καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει. ἄξων ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΔ. ἤχθω διὰ τοῦ Κ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΜΚΝ· ἡ ἄρα ΜΝ ἄξων ἐστὶ τῆς τομῆς συζυγὴς τῇ ΒΚ.
2 . 48	Δεδειγμένων δὴ τούτων ἑξῆς ἔστω δεῖξαι, ὅτι ἄλ‐
2 . 48	λοι ἄξονες τῶν αὐτῶν τομῶν οὐκ εἰσίν. εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω καὶ ἕτερος ἄξων ὁ ΚΗ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν ἀχθείσης καθέτου	270 in vol. 1
5	τῆς ΑΘ ἴση ἔσται ἡ ΑΘ τῇ ΘΛ· ὥστε καὶ ἡ ΑΚ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ τῇ ΚΓ· ἴση ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΚΓ· ὅπερ ἄτοπον. ὅτι μὲν οὖν καὶ ὁ ΑΕΓ κύκλος κατ’ ἄλλο σημεῖον μεταξὺ τῶν Α, Β, Γ οὐ συμβάλλει τῇ τομῇ, ἐπὶ μὲν
10	τῆς ὑπερβολῆς φανερόν· ἐπὶ δὲ τῆς ἐλλείψεως κάθε‐ τοι ἤχθωσαν αἱ ΓΡ, ΛΣ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΚΓ τῇ ΚΛ· ἐκ κέντρου γάρ· ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ ΓΚ τῷ ἀπὸ ΚΛ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΚ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ ΓΡ, ΡΚ, τῷ δὲ ἀπὸ ΛΚ ἴσα τὰ ἀπὸ ΚΣ, ΣΛ· τὰ
15	ἄρα ἀπὸ ΓΡ, ΡΚ τοῖς ἀπὸ ΛΣ, ΣΚ ἐστιν ἴσα. ᾧ ἄρα διαφέρει τὸ ἀπὸ ΓΡ τοῦ ἀπὸ ΛΣ, τούτῳ δια‐ φέρει τὸ ἀπὸ ΣΚ τοῦ ἀπὸ ΚΡ. πάλιν ἐπειδὴ τὸ ὑπὸ ΜΡΝ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΡΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΚΜ, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΜΣΝ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΣΚ ἴσον
20	τῷ ἀπὸ ΚΜ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΜΡΝ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΡΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΜΣΝ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΣΚ. ᾧ ἄρα διαφέρει τὸ ἀπὸ ΣΚ τοῦ ἀπὸ ΚΡ, τούτῳ διαφέρει τὸ ὑπὸ ΜΡΝ τοῦ ὑπὸ ΜΣΝ. ἐδείχθη δέ, ὅτι, ᾧ διαφέρει τὸ ἀπὸ ΣΚ τοῦ ἀπὸ ΚΡ, τούτῳ διαφέρει
25	τὸ ἀπὸ ΓΡ τοῦ ἀπὸ ΛΣ· ᾧ ἄρα διαφέρει τὸ ἀπὸ ΓΡ τοῦ ἀπὸ ΣΛ, τούτῳ διαφέρει τὸ ὑπὸ ΜΡΝ τοῦ ὑπὸ ΜΣΝ. καὶ ἐπεὶ κατηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΡ, ΛΣ, ἔστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΡ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΡΝ, τὸ ἀπὸ ΛΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΣΝ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἐν ἀμφοτέροις
30	ἡ αὐτὴ ὑπεροχή· ἴσον ἄρα τὸ μὲν ἀπὸ ΓΡ τῷ ὑπὸ ΜΡΝ, τὸ δὲ ἀπὸ ΛΣ τῷ ὑπὸ ΜΣΝ. κύκλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΓΜ γραμμή· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἔλλειψις.	272 in vol. 1
2 . 49	Κώνου τομῆς δοθείσης καὶ σημείου μὴ ἐντὸς τῆς τομῆς ἀγαγεῖν ἀπὸ τοῦ σημείου εὐθεῖαν καθ’ ἓν ἐπι‐ ψαύουσαν τῆς τομῆς. ἔστω ἡ δοθεῖσα κώνου τομὴ πρότερον παραβολή,
5	ἧς ἄξων ὁ ΒΔ. δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐντὸς τῆς τομῆς, ἀγαγεῖν εὐθεῖαν, ὡς πρόκειται. τὸ δὴ δοθὲν σημεῖον ἤτοι ἐπὶ τῆς γραμμῆς ἐστιν ἢ ἐπὶ τοῦ ἄξονος ἢ ἐν τῷ λοιπῷ ἐκτὸς τόπῳ.
10	ἔστω οὖν ἐπὶ τῆς γραμμῆς, καὶ ἔστω τὸ Α, καὶ γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΔ· ἔσται δὴ θέσει. καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ[Omitted graphic marker] τῇ ΒΔ· καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΕ. καί ἐστι
15	τὸ Β δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. ἀλλὰ καὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἡ ΑΕ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῇ ΒΔ ἴση ἡ ΒΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ.
20	φανερὸν δή, ὅτι ἐφάπτεται τῆς τομῆς. ἔστω πάλιν τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τοῦ ἄξονος τὸ Ε, καὶ γεγονέτω, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΑΕ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΔ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΒΔ. καὶ δοθεῖσα ἡ ΒΕ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΔ. καί ἐστι
25	δοθὲν τὸ Β· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Δ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ΔΑ· θέσει ἄρα ἡ ΔΑ. δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Ε· θέσει ἄρα ἡ ΑΕ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΒΔ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ τῇ ΕΔ ὀρθὴ ἡ ΔΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ	274 in vol. 1
30	ΑΕ. φανερὸν δή, ὅτι ἐφάπτεται ἡ ΑΕ. φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ἐὰν τὸ δοθὲν σημεῖον τὸ αὐτὸ ᾖ τῷ Β, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β ὀρθὴ ἀγομένη ἐφάπτεται τῆς τομῆς. ἔστω δὴ τὸ δοθὲν σημεῖον τὸ Γ, καὶ γεγονέτω,
35	καὶ ἔστω ἡ ΓΑ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῷ ἄξονι, τουτέστι τῇ ΒΔ, παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΖ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ. καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΖ τεταγμένως ἤχθω ἡ ΑΖ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ΓΗ τῇ ΖΗ. καί ἐστι δοθὲν τὸ Η· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ. καὶ ἀνῆκται ἡ ΖΑ
40	τεταγμένως, τουτέστι παράλληλος τῇ κατὰ τὸ Η ἐφαπ‐ τομένῃ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΑ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Α· ἀλλὰ καὶ τὸ Γ. θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ. συντεθήσεται οὕτως· ἤχθω διὰ τοῦ Γ παράλληλος τῇ ΒΔ ἡ ΓΖ, καὶ κείσθω τῇ ΓΗ ἡ ΖΗ ἴση, καὶ τῇ
45	κατὰ τὸ Η ἐφαπτομένῃ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΑ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΑΓ. φανερὸν δή, ὅτι ποιήσει τὸ πρόβλημα. Ἔστω πάλιν ὑπερβολή, ἧς ἄξων ὁ ΔΒΓ, κέντρον δὲ τὸ Θ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΘΕ, ΘΖ. τὸ δὴ διδόμενον σημεῖον ἤτοι ἐπὶ τῆς τομῆς δοθήσεται ἢ ἐπὶ τοῦ ἄξονος
2 . 49 (50)	ἢ ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν ΕΘΖ γωνίας ἢ ἐν τῷ ἐφεξῆς τόπῳ ἢ ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων τῶν περιεχουσῶν τὴν τομὴν ἢ ἐν τῷ μεταξὺ τῶν περιεχουσῶν τὴν κατὰ
2 . 49 (50)	κορυφὴν τῆς ὑπὸ ΖΘΕ γωνίας. ἔστω πρότερον ἐπὶ τῆς τομῆς ὡς τὸ Α, καὶ γεγο‐	276 in vol. 1
55	νέτω, καὶ ἔστω ἐφαπτομένη ἡ ΑΗ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ, πλαγία δὲ τοῦ[Omitted graphic marker] εἴδους πλευρὰ ἔστω ἡ ΒΓ· ἔσται δή, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΗ
60	πρὸς ΗΒ. λόγος δὲ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΒ δοθείς· δο‐ θεῖσα γὰρ ἑκατέρα· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΗ πρὸς ΗΒ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Η. ἀλλὰ καὶ τὸ Α· θέσει ἄρα
65	ἡ ΑΗ. συντεθήσεται οὕτως· ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α κάθετος ἡ ΑΔ, καὶ τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΒ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΓΗ πρὸς ΗΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΗ ἐφάπτεται τῆς τομῆς.
70	πάλιν δὴ ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τοῦ ἄξονος τὸ Η, καὶ γεγονέτω, καὶ ἤχθω ἡ ΑΗ ἐφαπτομένη, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΑΔ. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἔσται, ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ, οὕτως ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ. καί ἐστι δο‐ θεῖσα ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Δ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ
75	ΔΑ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑ. θέσει δὲ καὶ ἡ τομή· δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Η· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ὑποκείσθω τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά, καὶ τῷ τῆς ΓΗ πρὸς ΗΒ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΒ, καὶ ὀρθὴ ἤχθω ἡ ΔΑ,
80	καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΗ ποιεῖ τὸ πρόβλημα, καὶ ὅτι ἀπὸ τοῦ Η ἀχθήσεται ἑτέρα ἐφαπ‐
80	τομένη τῆς τομῆς ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐν τῷ ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν ΕΘΖ γωνίας τόπῳ τὸ Κ,	278 in vol. 1
85	καὶ δέον ἔστω ἀπὸ τοῦ Κ ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΚΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΘ ἐκβεβλήσθω, καὶ κείσθω τῇ ΛΘ ἴση ἡ ΘΝ· πάντα ἄρα δοθέντα. ἔσται δὴ καὶ ἡ ΛΝ δοθεῖσα. ἤχθω δὴ τεταγμένως ἡ ΑΜ ἐπὶ τὴν ΜΝ· ἔσται δὴ
90	καί, ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΜΝ πρὸς ΜΛ. λόγος δὲ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΛ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΝΜ πρὸς ΜΛ δοθείς. καί ἐστι δοθὲν τὸ Λ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Μ. καὶ [παρατεταγμένως] ἀνῆκται ἡ ΜΑ τῇ κατὰ τὸ Λ ἐφαπτομένῃ παράλληλος· θέσει
95	ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΑ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΑΛΒ τομή· δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Κ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἡ ΑΚ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ὑποκείσθω τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτὰ καὶ τὸ δοθὲν σημεῖον τὸ Κ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΘ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ ΘΛ ἴση κείσθω ἡ ΘΝ,
2 . 49 (100)	καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ, καὶ τῇ κατὰ τὸ Λ ἐφαπτομένῃ παράλληλος ἤχθω ἡ ΜΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΑ· ἡ ΚΑ ἄρα ἐφάπ‐ τεται τῆς τομῆς. καὶ φανερόν, ὅτι καὶ ἑτέρα ἀχθήσεται ἀπὸ τοῦ Κ
105	ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη. τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων τῶν περιεχουσῶν τὴν τομὴν τὸ Ζ, καὶ δέον ἔστω ἀγαγεῖν ἀπὸ τοῦ Ζ ἐφαπτομένην
105	τῆς τομῆς. καὶ γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΖΑΕ, καὶ διὰ	280 in vol. 1
110	τοῦ Α τῇ ΕΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΔ· ἔσται δὴ ἴση ἡ ΔΘ τῇ ΔΖ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΑΕ ἴση ἐστί. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΖΘ· δοθὲν ἄρα τὸ Δ. καὶ διὰ δεδομένου τοῦ Δ παρὰ θέσει τὴν ΕΘ παράλληλος ἦκται ἡ ΔΑ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΑ. θέσει δὲ καὶ
115	ἡ τομή· δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Ζ· θέσει ἄρα ἡ ΖΑΕ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ τομὴ ἡ ΑΒ, καὶ αἱ ΕΘ, ΘΖ ἀσύμπτωτοι, καὶ τὸ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων τῶν περιεχουσῶν τὴν τομὴν τὸ
120	Ζ, καὶ τετμήσθω ἡ ΖΘ δίχα κατὰ τὸ Δ, καὶ διὰ τοῦ Δ τῇ ΘΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΑ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΖΔ τῇ ΔΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΖΑ τῇ ΑΕ. ὥστε διὰ τὰ προδεδειγμένα ἡ ΖΑΕ ἐφάπτεται τῆς τομῆς.
125	τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω τὸ δοθὲν σημεῖον ἐν τῷ ὑπὸ τὴν γωνίαν τὴν ἑξῆς τόπῳ τῶν περιεχου‐ σῶν τὴν τομήν, καὶ ἔστω τὸ Κ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Κ ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς. καὶ γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΚΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΘ ἐκβεβλήσθω·
130	ἔσται δὴ θέσει. ἐὰν δὴ ἐπὶ τῆς τομῆς ληφθῇ δοθὲν σημεῖον τὸ Γ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΚΘ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἔσται θέσει. καὶ ἐὰν τμηθῇ ἡ ΓΔ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΕ ἐκβληθῇ, ἔσται θέσει διάμετρος οὖσα συζυγὴς τῇ ΚΘ. κείσθω δὴ
135	τῇ ΒΘ ἴση ἡ ΘΗ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ΒΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ· ἔσται δὴ διὰ τὸ εἶναι τὰς ΚΛ, ΒΗ συζυγεῖς διαμέτρους καὶ ἐφαπτομένην τὴν ΑΚ καὶ
135	τὴν ΑΛ ἀχθεῖσαν παρὰ τὴν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘΛ ἴσον τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ πρὸς τῇ ΒΗ εἴδους. δοθὲν	282 in vol. 1
140	ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΘΛ. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΚΘ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΛ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ Θ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Λ. καὶ διὰ τοῦ Λ παρὰ θέσει τὴν ΒΗ ἦκται ἡ ΛΑ· θέσει ἄρα ἡ ΛΑ. θέσει δὲ καὶ ἡ τομή· δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Κ·
145	θέσει ἄρα ἡ ΑΚ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ὑποκείσθω τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον τὸ Κ ἐν τῷ προειρη‐ μένῳ τόπῳ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΘ ἐκβεβλήσθω, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον τὸ Γ, καὶ τῇ ΚΘ παράλληλος
2 . 49 (150)	ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ τετμήσθω ἡ ΓΔ δίχα τῷ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΘ ἐκβεβλήσθω, καὶ τῇ ΒΘ ἴση κείσθω ἡ ΘΗ· ἡ ἄρα ΗΒ πλαγία διάμετρός ἐστι συζυγὴς τῇ ΚΘΛ. κείσθω δὴ τῷ τετάρτῳ τοῦ παρὰ τὴν ΒΗ εἴδους ἴσον τὸ ὑπὸ ΚΘΛ, καὶ διὰ τοῦ Λ
155	τῇ ΒΗ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΑ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΑ· φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΚΑ ἐφάπτεται τῆς τομῆς διὰ τὴν ἀντιστροφὴν τοῦ θεωρήματος. ἐὰν δὲ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν ΖΘΠ δοθῇ, ἀδύ‐ νατον ἔσται τὸ πρόβλημα. ἡ γὰρ ἐφαπτομένη τεμεῖ
160	τὴν ΗΘ. ὥστε συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν ΖΘΠ· ὅπερ ἀδύνατον διὰ τὰ δεδειγμένα ἐν τῷ λαʹ τοῦ πρώτου καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τούτου τοῦ βιβλίου. Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω ἡ τομὴ ἔλλειψις, τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Α, καὶ δέον ἔστω
165	ἀπὸ τοῦ Α ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΑΗ, καὶ τεταγμένως ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸν
165	ΒΓ ἄξονα ἤχθω ἡ ΑΔ· ἔσται δὴ δοθὲν τὸ Δ, καὶ ἔσται, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΒ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΒ. καί ἐστι λόγος τῆς ΓΔ πρὸς ΔΒ δοθείς· λόγος ἄρα	284 in vol. 1
170	καὶ τῆς ΓΗ πρὸς ΗΒ δοθείς. δοθὲν ἄρα τὸ Η. ἀλλὰ καὶ τὸ Α· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΗ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἤχθω κάθετος ἡ ΑΔ, καὶ τῷ τῆς ΓΔ πρὸς ΔΒ λόγῳ ὁ αὐτὸς ἔστω ὁ τῆς ΓΗ πρὸς ΗΒ, καὶ[Omitted graphic marker]
175	ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΗ ἐφάπτεται, ὥσπερ καὶ ἐπὶ τῆς ὑπερβολῆς.
180	ἔστω δὴ πάλιν τὸ δοθὲν σημεῖον τὸ Κ, καὶ δέον ἔστω ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΚΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΛΘ ἐπὶ τὸ Θ κέντρον ἐκ‐ βεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ν· ἔσται δὴ θέσει. καὶ ἐὰν ἀχθῇ ἡ ΑΜ τεταγμένως, ἔσται ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΛ, οὕτως
185	ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ. λόγος δὲ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΛ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΜΝ πρὸς ΛΜ δοθείς. δοθὲν ἄρα τὸ Μ. καὶ ἀνῆκται ἡ ΜΑ· παράλλη‐ λος γάρ ἐστι τῇ κατὰ τὸ Λ ἐφαπτομένῃ· θέσει ἄρα ἡ ΜΑ. δοθὲν ἄρα τὸ Α. ἀλλὰ καὶ τὸ Κ· θέσει
190	ἄρα ἡ ΚΑ. ἡ δὲ σύνθεσις ἡ αὐτὴ τῇ πρὸ αὐτοῦ.
2 . 50	Τῆς δοθείσης κώνου τομῆς ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν, ἥτις πρὸς τῷ ἄξονι γωνίαν ποιήσει ἐπὶ ταὐτὰ τῇ τομῇ
2 . 50	ἴσην τῇ δοθείσῃ ὀξείᾳ γωνίᾳ. ἔστω κώνου τομὴ πρότερον παραβολή, ἧς ἄξων ὁ	286 in vol. 1
5	ΑΒ· δεῖ δὴ ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην τῆς τομῆς, ἥτις πρὸς τῷ ΑΒ ἄξονι γωνίαν ποιήσει ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῇ τομῇ ἴσην τῇ δοθείσῃ ὀξείᾳ. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΓΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΔΓ γωνία. ἤχθω κάθετος ἡ ΒΓ· ἔστι δὴ καὶ
10	ἡ πρὸς τῷ Β δοθεῖσα. λόγος ἄρα τῆς ΔΒ πρὸς ΒΓ δοθείς. τῆς δὲ ΒΔ πρὸς ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ πρὸς τῷ Β γωνία· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. καί ἐστι πρὸς θέσει τῇ ΒΑ καὶ δοθέντι τῷ
15	Α· θέσει ἄρα ἡ ΓΑ. θέσει δὲ καὶ ἡ τομή· δοθὲν ἄρα τὸ Γ. καὶ ἐφάπτεται ἡ ΓΔ· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ. συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω ἡ δοθεῖσα κώνου τομὴ πρότερον παραβολή, ἧς ἄξων ὁ
20	ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΕΖΗ, καὶ εἰ‐ λήφθω σημεῖον ἐπὶ τῆς ΕΖ τὸ Ε, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΕΗ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΖΗ τῷ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΕ, καὶ τῇ ὑπὸ τῶν ΗΘΕ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΒΓ, καὶ τῇ
25	ΒΑ ἴση κείσθω ἡ ΑΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ. ἐφαπ‐ τομένη ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΔ τῆς τομῆς. λέγω δή, ὅτι ἡ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΗ ἐστιν ἴση. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, οὕτως ἡ ΔΒ
30	πρὸς ΒΑ, ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΘΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς ΒΓ, δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς
30	ΗΕ, οὕτως ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΓ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Η, Β γωνίαι· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Ζ γωνία τῇ Δ γωνίᾳ.	288 in vol. 1
35	Ἔστω ἡ τομὴ ὑπερβολή, καὶ γεγονέτω, καὶ ἔστω ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τῆς τομῆς τὸ Χ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΧ καὶ κάθετος ἡ ΓΕ· λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ τῶν ΧΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ δοθείς· ὁ αὐτὸς γάρ ἐστι τῷ τῆς πλαγίας πρὸς τὴν ὀρθίαν.
40	τοῦ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς· δοθεῖσα γὰρ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΔΕ, ΔΕΓ. λόγος ἄρα καὶ τοῦ ὑπὸ ΧΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΔ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΧΕ πρὸς ΕΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ δοθεῖσα ἡ πρὸς τῷ Ε· δοθεῖσα ἄρα καὶ
45	ἡ πρὸς τῷ Χ. πρὸς δὴ θέσει εὐθείᾳ τῇ ΧΕ καὶ δοθέντι τῷ Χ διῆκταί τις ἡ ΓΧ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ· θέσει ἄρα ἡ ΓΧ. θέσει δὲ καὶ ἡ τομή· δοθὲν ἄρα τὸ Γ. καὶ διῆκται ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ· θέσει ἄρα ἡ ΓΔ.
2 . 50 (50)	ἤχθω ἀσύμπτωτος τῆς τομῆς ἡ ΖΧ· ἡ ΓΔ ἄρα ἐκβληθεῖσα συμπεσεῖται τῇ ἀσυμπτώτῳ. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ζ. μείζων ἄρα ἔσται ἡ ὑπὸ ΖΔΕ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΧΔ. δεήσει ἄρα εἰς τὴν σύνθεσιν τὴν δεδομένην ὀξεῖαν γωνίαν μείζονα εἶναι τῆς ἡμισείας
55	τῆς περιεχομένης ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων. συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα ὑπερβολή, ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, ἀσύμπτωτος δὲ ἡ ΧΖ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία ὀξεῖα μείζων οὖσα τῆς ὑπὸ τῶν ΑΧΖ ἡ ὑπὸ ΚΘΗ, καὶ ἔστω τῇ ὑπὸ τῶν ΑΧΖ
60	ἴση ἡ ὑπὸ ΚΘΛ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς
60	ὀρθὰς ἡ ΑΖ, εἰλήφθω δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΗΘ τὸ Η, καὶ ἤχθω ἀπ’ αὐτοῦ ἐπὶ τὴν ΘΚ κάθετος ἡ ΗΚ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΧΑ τῇ ὑπὸ ΛΘΚ, εἰσὶ δὲ καὶ αἱ πρὸς τοῖς Α, Κ γωνίαι ὀρθαί, ἔστιν ἄρα,	290 in vol. 1
65	ὡς ἡ ΧΑ πρὸς ΑΖ, ἡ ΘΚ πρὸς ΚΛ. ἡ δὲ ΘΚ πρὸς ΚΛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν ΗΚ· καὶ ἡ ΧΑ πρὸς ΑΖ ἄρα μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΚ πρὸς ΚΗ. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ ΧΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΖ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. ὡς
70	δὲ τὸ ἀπὸ ΧΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΖ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν· καὶ ἡ πλαγία ἄρα πρὸς τὴν ὀρθίαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. ἐὰν δὴ ποιήσωμεν, ὡς τὸ ἀπὸ ΧΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΖ, οὕτως ἄλλο τι πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ, μεῖζον ἔσται τοῦ ἀπὸ ΘΚ.
75	ἔστω τὸ ὑπὸ ΜΚΘ· καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΜ. ἐπεὶ οὖν μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ ΜΚ τοῦ ὑπὸ ΜΚΘ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΜΚΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΧΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΖ. καὶ ἐὰν ποιήσωμεν, ὡς τὸ ἀπὸ
80	ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΧΑ πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς ἔλαττον τοῦ ἀπὸ ΑΖ· καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Χ ἐπὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ὅμοια ποιήσει τὰ τρίγωνα, καὶ διὰ τοῦτο μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΧΑ τῆς ὑπὸ ΗΜΚ. κείσθω δὴ τῇ ὑπὸ ΗΜΚ
85	ἴση ἡ ὑπὸ ΑΧΓ· ἡ ἄρα ΧΓ τεμεῖ τὴν τομήν. τεμ‐ νέτω κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω ἡ ΓΔ, καὶ κάθετος ἡ ΓΕ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΓΧΕ τρίγωνον τῷ ΗΜΚ. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ
85	ἀπὸ ΧΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΜΚ πρὸς τὸ ἀπὸ	292 in vol. 1
90	ΚΗ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, τό τε ὑπὸ ΧΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ καὶ τὸ ὑπὸ ΜΚΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΗ. καὶ ἀνάπαλιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΔ, τὸ ἀπὸ ΗΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΚΘ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΧΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΔ, τὸ ἀπὸ
95	ΜΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΚΘ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΧΕ πρὸς ΕΔ, ἡ ΜΚ πρὸς ΚΘ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ΓΕ πρὸς ΕΧ, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΜ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΓΕ πρὸς ΕΔ, ἡ ΗΚ πρὸς ΚΘ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ε, Κ γωνίαι· ἴση ἄρα ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία τῇ
2 . 50 (100)	ὑπὸ ΗΘΚ. Ἔστω ἡ τομὴ ἔλλειψις, ἧς ἄξων ὁ ΑΒ. δεῖ δὴ ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν τῆς τομῆς, ἥτις πρὸς τῷ ἄξονι ἐπὶ ταὐτὰ τῇ τομῇ ἴσην γωνίαν περιέξει τῇ δοθείσῃ ὀξείᾳ γωνίᾳ.
105	γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ ΓΔ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΔΑ γωνία. ἤχθω κάθετος ἡ ΓΕ· λόγος[Omitted graphic marker] ἄρα τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ δοθείς. ἔστω κέντρον τῆς τομῆς τὸ Χ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΧ. τοῦ δὴ ἀπὸ τῆς ΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΧ λόγος ἐστὶ
110	δοθείς· ὁ γὰρ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ὀρθίας πρὸς τὴν πλαγίαν· καὶ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΧ
110	λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΔΕ ἄρα πρὸς ΕΧ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΔΕ πρὸς ΕΓ· καὶ τῆς ΓΕ ἄρα πρὸς ΕΧ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ πρὸς	294 in vol. 1
115	τῷ Ε· δοθεῖσα ἄρα ἡ πρὸς τῷ Χ γωνία. καί ἐστι πρὸς θέσει καὶ δοθέντι σημείῳ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Γ σημεῖον. καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ· θέσει ἄρα ἡ ΓΔ. συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως· ἔστω ἡ μὲν
120	δοθεῖσα γωνία ὀξεῖα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΗΘ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΖΗ τὸ Ζ, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ΖΘ, καὶ πε‐ ποιήσθω, ὡς ἡ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν, τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΗΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΖ, καὶ ἔστω κέντρον τῆς τομῆς τὸ Χ, καὶ τῇ ὑπὸ τῶν
125	ΗΚΖ γωνίᾳ ἴση συνεστάτω ἡ ὑπὸ τῶν ΑΧΓ, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΓΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΔ ποιεῖ τὸ πρόβλημα, τουτέστιν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΔΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΖΗΘ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΧΕ πρὸς ΕΓ, οὕτως ἡ ΚΘ
130	πρὸς ΖΘ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΧΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ. ἔστι δὲ καί, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΓΕ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΕΧ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΚΘΗ· ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός ἐστι τῷ τῆς ὀρθίας πρὸς τὴν
135	πλαγίαν. καὶ δι’ ἴσου· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΧΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΧΕΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΚΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΘΚ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΧΕ πρὸς τὴν ΕΔ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΧΕ πρὸς ΓΕ, ἡ ΚΘ πρὸς ΖΘ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΕΓ,
140	οὕτως ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΖΘ. καὶ περὶ ὀρθὰς γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογον· ἡ ἄρα ὑπὸ ΓΔΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΖΗΘ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση. ἡ ΓΔ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.	296 in vol. 1
2 . 51	Τῆς δοθείσης κώνου τομῆς ἀγαγεῖν ἐφαπτομένην, ἥτις πρὸς τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἠγμένῃ διαμέτρῳ ἴσην περι‐ έξει γωνίαν τῇ δοθείσῃ ὀξείᾳ. ἔστω ἡ δοθεῖσα κώνου τομὴ πρότερον παραβολή,
5	ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία ἡ Θ· δεῖ δὴ ἀγαγεῖν τῆς παραβολῆς ἐφαπτομένην, ἥτις μετὰ τῆς ἀπὸ τῆς ἁφῆς διαμέτρου ἴσην περιέξει γωνίαν τῇ πρὸς τῷ Θ. γεγονέτω, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ ποιοῦσα
10	πρὸς τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἠγμένῃ διαμέτρῳ τῇ ΕΓ τὴν ὑπὸ ΕΓΔ γωνίαν ἴσην τῇ Θ, καὶ συμπιπτέτω ἡ ΓΔ τῷ ἄξονι κατὰ τὸ Δ. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΔ τῇ ΕΓ, ἡ ὑπὸ ΑΔΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΔ ἴση ἐστί. δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ ΕΓΔ· ἴση γάρ ἐστι τῇ Θ·
15	δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΔΓ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω παραβολή, ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία ἡ Θ. ἤχθω ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΓΔ ποιοῦσα πρὸς τῷ ἄξονι τὴν ὑπὸ τῶν ΑΔΓ γωνίαν ἴσην τῇ Θ, καὶ διὰ τοῦ Γ τῇ ΑΒ παρ‐
20	άλληλος ἤχθω ἡ ΕΓ. ἐπεὶ οὖν ἡ Θ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΔΓ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΔΓ ἴση τῇ ὑπὸ ΕΓΔ, καὶ ἡ Θ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΓΔ. Ἔστω ἡ τομὴ ὑπερβολή, ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, κέντρον
20	δὲ τὸ Ε, ἀσύμπτωτος δὲ ἡ ΕΤ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία	298 in vol. 1
25	ὀξεῖα ἡ Ω, καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ ποιοῦσα τὸ πρόβλημα, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΗ. δοθεὶς ἄρα λόγος ἐστὶ τῆς πλαγίας πρὸς τὴν ὀρθίαν· ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ ΕΗΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ. ἐκκείσθω δή τις εὐθεῖα δεδομένη ἡ[Omitted graphic marker]
30	ΖΘ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς γεγράφ‐ θω κύκλου τμῆμα δεχόμε‐ νον γωνίαν ἴσην τῇ Ω· ἔσται ἄρα μεῖζον ἡμικυκλίου. καὶ ἀπό τινος σημείου τῶν ἐπὶ
35	τῆς περιφερείας τοῦ Κ ἤχθω κάθετος ἡ ΚΛ ποι‐ οῦσα τὸν τοῦ ὑπὸ ΖΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ λόγον τὸν αὐτὸν τῷ τῆς πλαγίας πρὸς τὴν ὀρθίαν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ, ΚΘ. ἐπεὶ
40	οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΚΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΕΓΔ, ἀλλὰ καί ἐστιν, ὡς ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, τό τε ὑπὸ ΕΗΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, ὅμοιον ἄρα τὸ ΚΖΛ τρίγωνον τῷ ΕΓΗ τριγώνῳ καὶ τὸ ΖΘΚ τῷ ΕΓΔ. ὥστε ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ
45	ΘΖΚ γωνία [τουτέστιν ἡ Ω] τῇ ὑπὸ ΓΕΔ. συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα ὑπερβολὴ ἡ ΑΓ, ἄξων δὲ ὁ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Ε, ἡ δὲ δοθεῖσα ὀξεῖα γωνία ἡ Ω, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος τῆς πλαγίας πρὸς τὴν ὀρθίαν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΧΨ
2 . 51 (50)	πρὸς ΧΦ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΨΦ κατὰ τὸ Υ, καὶ
2 . 51 (50)	ἐκκείσθω δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΖΘ, καὶ ἐπ’ αὐτῆς γε‐ γράφθω τμῆμα κύκλου μεῖζον ἡμικυκλίου δεχόμενον γωνίαν τῇ Ω ἴσην, καὶ ἔστω τὸ ΖΚΘ, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ν, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν	300 in vol. 1
55	ΖΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΝΟ, καὶ τετμήσθω ἡ ΝΟ εἰς τὸν τῆς ΥΦ πρὸς ΦΧ λόγον κατὰ τὸ Π, καὶ διὰ τοῦ[Omitted graphic marker] Π τῇ ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΠΚ, καὶ ἀπὸ τοῦ Κ κάθετος ἤχθω ἡ ΚΛ ἐπὶ τὴν ΖΘ ἐκβληθεῖσαν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΚ, ΚΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΛΚ
60	ἐπὶ τὸ Μ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ν ἐπ’ αὐτὴν κάθετος ἤχθω ἡ ΝΞ· παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ΖΘ. καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ ΝΠ πρὸς ΠΟ, τουτέστιν ἡ ΥΦ πρὸς ΦΧ, ἡ ΞΚ πρὸς ΚΛ. καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ δι‐ πλάσια, ὡς ἡ ΨΦ πρὸς ΦΧ, ἡ ΜΚ πρὸς ΚΛ· συν‐
65	θέντι, ὡς ἡ ΨΧ πρὸς ΧΦ, ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΛ πρὸς ΛΚ, τὸ ὑπὸ ΜΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ· ὡς ἄρα ἡ ΨΧ πρὸς ΧΦ, τὸ ὑπὸ ΜΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΖΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ.
65	ἀλλ’ ὡς ἡ ΨΧ πρὸς ΧΦ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν·	302 in vol. 1
70	καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΤ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΤ, ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, τὸ ὑπὸ ΖΛΘ πρὸς τὸ
75	ἀπὸ ΛΚ, τὸ δὲ ἀπὸ ΖΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ὑπὸ ΖΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, καὶ τὸ ἀπὸ ΖΛ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΤ. καί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Α, Λ γωνίαι ὀρθαί· ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν ἡ
80	Ζ γωνία τῆς Ε. συνεστάτω οὖν τῇ ὑπὸ ΛΖΚ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΕΓ· συμπεσεῖται ἄρα ἡ ΕΓ τῇ τομῇ. συμπιπτέτω κατὰ τὸ Γ. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπ‐ τομένη ἡ ΓΔ, κάθετος δὲ ἡ ΓΗ· ἔσται δή, ὡς ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΗΔ πρὸς
85	τὸ ἀπὸ ΓΗ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ, τὸ ὑπὸ ΕΗΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΓ· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΛ τρίγωνον τῷ ΕΓΗ τριγώνῳ καὶ τὸ ΚΘΛ τῷ ΓΗΔ καὶ τὸ ΚΖΘ τῷ ΓΕΔ. ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΓΔ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΖΚΘ, τουτέστι τῇ Ω.
90	ἐὰν δὲ ὁ τῆς πλαγίας πρὸς τὴν ὀρθίαν λόγος ἴσος ᾖ πρὸς ἴσον, ἡ ΚΛ ἐφάπτεται τοῦ ΖΚΘ κύκλου, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένη παράλ‐ ληλος ἔσται τῇ ΖΘ καὶ αὐτὴ ποιήσει τὸ πρόβλημα.
2 . 52	Ἐὰν ἐλλείψεως εὐθεῖα ἐπιψαύῃ, ἣν ποιεῖ γωνίαν πρὸς τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ, οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐφεξῆς τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τῶν πρὸς μέσην
2 . 52	τὴν τομὴν κλωμένων εὐθειῶν.	304 in vol. 1
5	ἔστω ἔλλειψις, ἧς ἄξονες μὲν οἱ ΑΒ, ΓΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, μείζων δὲ ἔστω τῶν ἀξόνων ἡ ΑΒ, καὶ ἐφαπτέσθω τῆς τομῆς ἡ ΗΖΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ, ΖΕ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΓ ἐπὶ τὸ Λ. λέγω, ὅτι οὐκ ἐλάσσων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΖΕ γωνία τῆς
10	ὑπὸ ΛΓΑ. ἡ γὰρ ΖΕ τῇ ΛΒ ἤτοι παράλληλός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον παράλληλος· καί ἐστιν ἴση ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΓ. καί ἐστι διά‐ μετρος ἡ ΖΕ· ἡ ἄρα κατὰ τὸ Ζ ἐφαπτομένη παράλ‐
15	ληλός ἐστι τῇ ΑΓ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΕ τῇ ΛΒ παρ‐ άλληλος· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΘΓΛ, καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΖΘ τῇ ὑπὸ ΛΓΘ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΕΒ τῆς ΕΓ, ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ὀξεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ
20	ΛΓΑ. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΛΖΕ. καὶ διὰ τοῦτο ἀμβλεῖά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΖΕ. μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΖ τῇ ΛΒ παράλληλος, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΖΚ· οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΛΒΕ τῇ ὑπὸ ΖΕΑ. ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Ε ὀρθῇ τῇ πρὸς τῷ
25	Κ ἐστιν ἴση [οὐκ ἄρα ὅμοιόν ἐστι τὸ ΓΕΒ τρίγωνον τῷ ΖΕΚ]· οὐκ ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τὸ ἀπὸ ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τὸ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ καὶ ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν καὶ τὸ ὑπὸ ΗΚΕ
30	πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ. οὐκ ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΗΚΕ
30	πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ, τὸ ἀπὸ ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ. οὐκ ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ΗΚ τῇ ΚΕ. ἐκκείσθω κύκλου τμῆ‐ μα τὸ ΜΥΝ δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ὑπὸ ΑΓΒ· ἀμβλεῖα δὲ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ἔλασσον ἄρα ἡμικυκλίου	306 in vol. 1
35	τμῆμά ἐστι τὸ ΜΥΝ. πεποιήσθω δή, ὡς ἡ ΗΚ πρὸς ΚΕ, ἡ ΝΞ πρὸς ΞΜ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ξ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΥΞΧ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΥ, ΥΜ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΜΝ κατὰ τὸ Τ, καὶ πρὸς ὀρθὰς[Omitted graphic marker] ἤχθω ἡ ΟΤΠ· διάμετρος ἄρα ἐστίν. ἔστω κέντρον
40	τὸ Ρ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ κάθετος ἡ ΡΣ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΟΝ, ΟΜ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΜΟΝ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΓΒ, καὶ δίχα τέτμηται ἑκατέρα τῶν ΑΒ, ΜΝ κατὰ τὰ Ε, Τ, καὶ ὀρθαί εἰσιν αἱ πρὸς τοῖς Ε, Τ γωνίαι, ὅμοια ἄρα τὰ ΟΤΝ, ΒΕΓ τρίγωνα. ἔστιν
45	ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΤΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΟ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΤΡ τῇ ΣΞ, μείζων δὲ ἡ ΡΟ τῆς ΣΥ, ἡ ΡΟ ἄρα πρὸς ΡΤ μείζονα ἔχει λόγον ἤπερ ἡ ΥΣ πρὸς ΣΞ· καὶ ἀνα‐ στρέψαντι ἡ ΡΟ πρὸς ΟΤ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ
2 . 52 (50)	ἡ ΣΥ πρὸς ΥΞ. καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια· ἡ ἄρα ΠΟ πρὸς ΤΟ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ
2 . 52 (50)	ΧΥ πρὸς ΥΞ. καὶ διελόντι ἡ ΠΤ πρὸς ΤΟ ἐλάσ‐ σονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΧΞ πρὸς ΥΞ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΠΤ πρὸς ΤΟ, τὸ ἀπὸ ΤΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΟ καὶ	308 in vol. 1
55	τὸ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ καὶ ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν καὶ τὸ ὑπὸ ΗΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΗΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΧΞ πρὸς ΞΥ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΧΞΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΥ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΝΞΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΥ.
60	ἐὰν ἄρα ποιήσωμεν, ὡς τὸ ὑπὸ ΗΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΜΞΝ πρὸς ἄλλο τι, ἔσται πρὸς μεῖζον τοῦ ἀπὸ ΞΥ. ἔστω πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΦ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΚ πρὸς ΚΕ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς ΞΜ, καὶ πρὸς ὀρθάς εἰσιν αἱ ΚΖ, ΞΦ, καί ἐστιν,
65	ὡς τὸ ὑπὸ ΗΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ, τὸ ὑπὸ ΜΞΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΦ, διὰ ταῦτα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΜΦΝ. μείζων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΥΝ, τουτέστιν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ, τῆς ὑπὸ ΗΖΕ γωνίας, ἡ δὲ ἐφεξῆς ἡ ὑπὸ ΛΖΘ μείζων ἐστὶ τῆς ὑπὸ ΛΓΘ.
70	οὐκ ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΛΖΘ τῆς ὑπὸ ΛΓΘ.
2 . 53	Τῆς δοθείσης ἐλλείψεως ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν, ἥτις πρὸς τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ γωνίαν ποιήσει ἴσην τῇ δοθείσῃ ὀξείᾳ· δεῖ δὴ τὴν διδομένην ὀξεῖαν γωνίαν μὴ ἐλάσσονα εἶναι τῆς ἐφεξῆς τῇ περι‐
5	εχομένῃ ὑπὸ τῶν πρὸς μέσην τὴν τομὴν κλωμένων εὐθειῶν. ἔστω ἡ δοθεῖσα ἔλλειψις, ἧς μείζων μὲν ἄξων ὁ ΑΒ, ἐλάσσων δὲ ὁ ΓΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐπε‐
5	ζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία ἔστω ἡ	310 in vol. 1
10	Υ οὐκ ἐλάσσων τῆς ὑπὸ ΑΓΗ· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ οὐκ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς Χ. ἡ Υ ἄρα τῆς ὑπὸ ΑΓΗ ἢ μείζων ἐστὶν ἢ ἴση. ἔστω πρότερον ἴση· καὶ διὰ τοῦ Ε τῇ ΒΓ παρ‐ άλληλος ἤχθω ἡ ΕΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ ἐφαπτομένη τῆς
15	τομῆς ἤχθω ἡ ΚΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, ἡ ΑΖ πρὸς ΖΓ, ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΓΖ. καί ἐστι διάμετρος ἡ ΚΕ· ἡ ἄρα κατὰ τὸ Κ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς, τουτέστιν ἡ ΘΚΗ, παράλληλός ἐστι τῇ ΓΑ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΚ
20	τῇ ΗΒ παράλληλος· παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΖΓΗ· καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΚΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΓΖ γωνίᾳ. ἡ δὲ ὑπὸ ΗΓΖ τῇ δοθείσῃ, τουτέστι τῇ Υ, ἴση ἐστί· καὶ ἡ ὑπὸ ΗΚΕ ἄρα ἐστὶν ἴση τῇ Υ.
25	ἔστω δὴ μείζων ἡ Υ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΗ· ἀνά‐ παλιν δὴ ἡ Χ τῆς ὑπὸ ΑΓΒ ἐλάσσων ἐστίν. ἐκκείσθω κύκλος, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπ’ αὐτοῦ τμῆμα, καὶ ἔστω τὸ ΜΝΠ, δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ Χ, καὶ τετμήσθω ἡ ΜΠ δίχα κατὰ τὸ Ο, καὶ ἀπὸ τοῦ Ο τῇ
30	ΜΠ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΝΟΡ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΝΜ, ΝΠ· ἡ ἄρα ὑπὸ ΜΝΠ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΓΒ ἐλάσσων ἐστίν. ἀλλὰ τῆς μὲν ὑπὸ ΜΝΠ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΜΝΟ, τῆς δὲ ὑπὸ ΑΓΒ ἡ ὑπὸ ΑΓΕ· ἐλάσσων ἄρα ἡ ὑπὸ ΜΝΟ τῆς ὑπὸ ΑΓΕ. καὶ ὀρ‐
35	θαὶ αἱ πρὸς τοῖς Ε, Ο· ἡ ἄρα ΑΕ πρὸς ΕΓ μείζονα
35	λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΟΜ πρὸς ΟΝ. ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΓ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΜΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΟ. ἀλλὰ τὸ μὲν ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, τὸ δὲ ἀπὸ ΜΟ ἴσον τῷ ὑπὸ[Omitted graphic marker]	312 in vol. 1
40	ΜΟΠ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΝΟΡ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΓ, τουτέστιν ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΡΟ πρὸς ΟΝ. γενέσθω δή, ὡς ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ἡ ΩΑʹ πρὸς Αʹϛ, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ Ωϛ κατὰ τὸ ϙ. ἐπεὶ οὖν ἡ
45	πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΡΟ πρὸς ΟΝ, καὶ ἡ ΩΑʹ πρὸς Αʹϛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΡΟ πρὸς ΟΝ. καὶ συνθέντι ἡ Ωϛ πρὸς τὴν ϛΑʹ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΡΝ πρὸς ΝΟ. ἔστω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Φ· ὥστε καὶ ἡ ϙϛ
2 . 53 (50)	πρὸς ϛΑʹ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΝ πρὸς ΝΟ. καὶ διελόντι ἡ Αʹϙ πρὸς Αʹϛ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΦΟ πρὸς ΟΝ. γινέσθω δή, ὡς ἡ Αʹϙ πρὸς Αʹϛ, οὕτως ἡ ΦΟ πρὸς ἐλάττονα τῆς ΟΝ, οἷον τὴν ΙΟ, καὶ παράλληλος ἤχθω ἡ ΙΞ καὶ ἡ ΞΤ καὶ ἡ ΦΨ. ἔσται
55	ἄρα, ὡς ἡ Αʹϙ πρὸς Αʹϛ, ἡ ΦΟ πρὸς ΟΙ καὶ ἡ ΨΣ πρὸς ΣΞ· καὶ συνθέντι, ὡς ἡ ϙϛ πρὸς ϛΑʹ, ἡ ΨΞ πρὸς ΞΣ. καὶ τῶν ἡγουμένων τὰ διπλάσια, ὡς ἡ Ωϛ πρὸς ϛΑʹ, ἡ ΤΞ πρὸς ΞΣ. καὶ διελόντι, ὡς ἡ ΩΑʹ πρὸς Αʹϛ, τουτέστιν ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν,	314 in vol. 1
60	ἡ ΤΣ πρὸς ΣΞ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ αἱ ΜΞ, ΞΠ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΑΕ εὐθείᾳ καὶ τῷ Ε σημείῳ τῇ ὑπὸ ΜΠΞ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΑΕΚ, καὶ διὰ τοῦ Κ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἤχθω ἡ ΚΘ, καὶ τεταγμένως κατήχθω ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΜΠΞ
65	γωνία τῇ ὑπὸ ΑΕΚ, ὀρθὴ δὲ ἡ πρὸς τῷ Σ ὀρθῇ τῇ πρὸς τῷ Λ ἴση, ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΞΣΠ τῷ ΚΕΛ τριγώνῳ. καί ἐστιν, ὡς ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ἡ ΤΣ πρὸς ΣΞ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΤΣΞ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΣΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΣ·
70	ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛΕ τρίγωνον τῷ ΣΞΠ τριγώνῳ καὶ τῷ ΚΘΕ τὸ ΜΞΠ, καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΜΞΠ γωνία τῇ ὑπὸ ΘΚΕ. ἡ δὲ ὑπὸ ΜΞΠ τῇ ὑπὸ ΜΝΠ ἐστιν ἴση, τουτέστι τῇ Χ· καὶ ἡ ὑπὸ ΘΚΕ ἄρα τῇ Χ ἐστιν ἴση. καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ
75	ΗΚΕ τῇ ἐφεξῆς τῇ Υ ἐστιν ἴση. διῆκται ἄρα τῆς τομῆς ἐφαπτομένη ἡ ΗΘ πρὸς τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ διαμέτρῳ τῇ ΚΕ γωνίαν ποι‐ οῦσα τὴν ὑπὸ ΗΚΕ ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ Υ· ὅπερ
75	ἔδει ποιῆσαι.	316 in vol. 1
3 . 1	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσιν, ἀχθῶσι δὲ διὰ τῶν ἁφῶν διάμετροι συμπίπτουσαι ταῖς ἐφαπτομέναις, ἴσα ἔσται τὰ γινόμενα κατὰ κορυφὴν τρίγωνα.
5	ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒ, καὶ τῆς ΑΒ ἐφαπτέσθωσαν ἥ τε ΑΓ καὶ ἡ ΒΔ συμπί‐ πτουσαι κατὰ τὸ Ε, καὶ ἤχθω‐[Omitted graphic marker] σαν διὰ τῶν Α, Β διάμετροι τῆς τομῆς αἱ ΓΒ, ΔΑ συμ‐
10	πίπτουσαι ταῖς ἐφαπτομέναις κατὰ τὰ Γ, Δ. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΔΕ τρίγωνον τῷ ΕΒΓ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τὴν ΒΔ ἡ ΑΖ· τε‐ ταγμένως ἄρα κατῆκται. ἔσται δὴ ἐπὶ μὲν τῆς παρα‐
15	βολῆς ἴσον τὸ ΑΔΒΖ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΓΖ τριγώνῳ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΕΒΖ λοιπὸν τὸ ΑΔΕ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ. ἐπὶ δὲ τῶν λοιπῶν συμπιπτέτωσαν αἱ διάμετροι
15	κατὰ τὸ Η κέντρον.	318 in vol. 1
20	ἐπεὶ οὖν κατῆκται ἡ ΑΖ, καὶ ἐφάπτεται ἡ ΑΓ, τὸ ὑπὸ ΖΗΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΗ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ[Omitted graphic marker] ΖΗ πρὸς ΗΓ, τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΒ, τὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ
25	ΔΗΒ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς ΗΓ, τὸ ΑΗΖ πρὸς ΑΗΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΗΖ πρὸς τὸ ΑΗΓ, τὸ ΑΗΖ πρὸς ΔΗΒ. ἴσον ἄρα τὸ ΑΗΓ τῷ ΔΗΒ. κοινὸν ἀφῃ‐ ρήσθω τὸ ΔΗΓΕ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΕΔ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΕΒ.
3 . 2	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἐπὶ τῆς τομῆς ἢ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας ληφθῇ τι σημεῖον, καὶ δι’ αὐτοῦ παράλληλοι ἀχθῶσι[Omitted graphic marker] ταῖς ἐφαπτομέναις ἕως τῶν
5	διαμέτρων, τὸ γινόμενον τετράπλευρον πρός τε μιᾷ τῶν ἐφαπτομένων καὶ μιᾷ τῶν διαμέτρων ἴσον ἔσται τῷ γινομένῳ τριγώνῳ πρός τε τῇ αὐτῇ ἐφαπτομένῃ καὶ
10	τῇ ἑτέρᾳ τῶν διαμέτρων.
10	ἔστω γὰρ κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΕΓ, ΒΕΔ, διάμετροι δὲ αἱ ΑΔ, ΒΓ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν παρὰ τὰς ἐφαπτομένας αἱ ΗΚΛ, ΗΜΖ.	320 in vol. 1
15	λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΙΜ τρίγωνον τῷ ΓΛΗΙ τε‐ τραπλεύρῳ. ἐπεὶ γὰρ δέδεικται τὸ ΗΚΜ τρίγωνον τῷ ΑΛ τετραπλεύρῳ ἴσον, κοινὸν προσκείσθω ἢ ἀφῃρήσθω τὸ ΙΚ τετράπλευρον, καὶ γίνεται τὸ ΑΙΜ τρίγωνον
20	ἴσον τῷ ΓΗ τετραπλεύρῳ.
3 . 3	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἐπὶ τῆς τομῆς ἢ τῆς περιφερείας β σημεῖα ληφθῇ, καὶ δι’ αὐτῶν παράλ‐ ληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις ἕως τῶν διαμέτρων, τὰ γινόμενα ὑπὸ τῶν ἀχθεισῶν τετράπλευρα, βεβηκότα
5	δὲ ἐπὶ τῶν διαμέτρων, ἴσα ἔσται ἀλλήλοις. ἔστω γὰρ ἡ τομὴ καὶ αἱ ἐφαπτόμεναι καὶ αἱ διά‐ μετροι, ὡς προείρηται, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τομῆς δύο τυχόντα σημεῖα τὰ Ζ, Η, καὶ διὰ μὲν τοῦ Ζ ταῖς ἐφαπτομέναις παράλληλοι ἤχθωσαν ἥ τε ΖΘΚΛ καὶ[Omitted graphic marker]
10	ἡ ΝΖΙΜ, διὰ δὲ τοῦ Η ἥ τε ΗΞΟ καὶ ἡ ΘΠΡ. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ μὲν ΛΗ τετράπλευρον τῷ ΜΘ,
10	τὸ δὲ ΛΝ τῷ ΡΝ. ἐπεὶ γὰρ προδέδεικται ἴσον τὸ ΡΠΑ τρίγωνον τῷ ΓΗ τετραπλεύρῳ, τὸ δὲ ΑΜΙ τῷ ΓΖ, τὸ δὲ	322 in vol. 1
15	ΑΡΠ τοῦ ΑΜΙ μεῖζόν ἐστι τῷ ΠΜ τετραπλεύρῳ, καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τοῦ ΓΖ μεῖζόν ἐστι τῷ ΜΠ τετρα‐ πλεύρῳ· ὥστε τὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΓΖ καὶ τῷ ΠΜ, τουτέστι τῷ ΓΘ καὶ τῷ ΡΖ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΓΘ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΛΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΜ. καὶ ὅλον
20	ἄρα τὸ ΛΝ τῷ ΡΝ ἴσον ἐστίν.
3 . 4	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσιν ἀλλήλαις, ἀχθῶσι δὲ διὰ τῶν ἁφῶν διά‐ μετροι συμπίπτουσαι ταῖς ἐφαπτομέναις, ἴσα ἔσται τὰ πρὸς ταῖς ἐφαπτομέναις τρίγωνα.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, αἱ δὲ ἐφαπτόμεναι αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΒΓ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Γ, κέντρον δὲ ἔστω τῶν τομῶν τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἡ ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΔΑ, ΒΔ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ, Η.
10	λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΗΔ τρίγωνον τῷ ΒΔΖ, τὸ δὲ ΑΓΖ τῷ ΒΓΗ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Θ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΘΛ· παράλληλος ἄρα ἐστὶ τῇ ΑΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΘ, ἴσον ἂν εἴη τὸ ΑΗΔ τρίγωνον
15	τῷ ΘΛΔ. ἀλλὰ τὸ ΔΘΛ τῷ ΒΔΖ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΑΗΔ ἄρα τῷ ΒΔΖ ἐστιν ἴσον. ὥστε καὶ τὸ ΑΓΖ
15	τῷ ΒΓΗ ἴσον.	324 in vol. 1
3 . 5	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσι, καὶ ληφθῇ ἐφ’ ὁποτέρας τῶν τομῶν ση‐ μεῖόν τι, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι, ἡ μὲν παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς
5	ἐπιζευγνύουσαν, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν τρίγωνον πρὸς τῇ διὰ τῆς συμπτώσεως ἠγμένῃ διαμέτρῳ τοῦ ἀπολαμβανομένου τριγώνου πρὸς τῇ συμπτώσει τῶν ἐφαπτομένων διαφέρει τῷ ἀπολαμβανομένῳ τριγώνῳ πρός τε τῇ ἐφαπτομένῃ καὶ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἀγομένῃ
10	διαμέτρῳ. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, ὧν κέντρον τὸ Γ, καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΕΔ, ΔΖ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἡ ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ αἱ ΖΓ, ΕΓ ἐπιζευχθεῖσαι ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ
15	εἰλήφθω τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Η, καὶ δι’ αὐτοῦ ἤχθω παρὰ μὲν τὴν ΕΖ ἡ ΘΗΚΛ, παρὰ δὲ τὴν ΔΖ ἡ ΗΜ. λέγω, ὅτι τὸ ΗΘΜ τρίγωνον τοῦ ΚΘΔ δια‐ φέρει τῷ ΚΛΖ. ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἡ ΓΔ διάμετρος τῶν ἀντικει‐
20	μένων, ἡ δὲ ΕΖ τεταγμένως ἐπ’ αὐτὴν κατηγμένη, καὶ ἡ μὲν ΗΘ παρὰ τὴν ΕΖ, ἡ δὲ ΜΗ παρὰ τὴν ΔΖ, τὸ ἄρα ΜΗΘ τρίγωνον τοῦ ΓΛΘ τριγώνου διαφέρει τῷ ΓΔΖ. ὥστε τὸ ΜΗΘ τοῦ ΚΘΔ τριγώνου δια‐ φέρει τῷ ΚΖΛ.
25	καὶ φανερόν, ὅτι ἴσον γίνεται τὸ ΚΖΛ τρίγωνον
25	τῷ ΜΗΚΔ τετραπλεύρῳ.	326 in vol. 1
3 . 6	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀντι‐ κειμένων ληφθῇ τι σημεῖον, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις συμπίπτουσαι ταῖς τε ἐφαπ‐ τομέναις καὶ ταῖς διαμέτροις, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν
5	τετράπλευρον πρὸς τῇ μιᾷ τῶν ἐφαπτομένων καὶ τῇ μιᾷ τῶν διαμέτρων ἴσον ἔσται τῷ γινομένῳ τριγώνῳ πρός τε τῇ αὐτῇ ἐφαπτομένῃ καὶ τῇ ἑτέρᾳ τῶν διαμέτρων. ἔστωσαν ἀντικείμεναι, ὧν διάμετροι αἱ ΑΕΓ, ΒΕΔ, καὶ τῆς ΑΒ τομῆς ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΖ, ΒΗ συμ‐
10	πίπτουσαι ἀλλήλαις κατὰ τὸ Θ, εἰλήφθω δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς τομῆς τὸ Κ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ταῖς ἐφαπτομέναις παράλληλοι ἤχθωσαν αἱ ΚΜΛ, ΚΝΞ. λέγω, ὅτι τὸ ΚΖ τετράπλευρον τῷ ΑΙΝ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον. ἐπεὶ οὖν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ τῆς ΑΒ
15	ἐφάπτεται ἡ ΑΖ συμπίπτουσα τῇ ΒΔ, καὶ παρὰ τὴν ΑΖ ἦκται ἡ ΚΛ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΙΝ τρίγωνον τῷ ΚΖ τετραπλεύρῳ.
3 . 7	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἐφ’ ἑκατέρας τῶν τομῶν σημεῖά τινα ληφθῇ, καὶ ἀπ’ αὐτῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις συμπίπτουσαι ταῖς τε ἐφαπ‐ τομέναις καὶ ταῖς διαμέτροις, τὰ γινόμενα ὑπὸ τῶν
5	ἀχθεισῶν τετράπλευρα, βεβηκότα δὲ ἐπὶ τῶν διαμέτρων, ἴσα ἔσται ἀλλήλοις. ὑποκείσθω γὰρ τὰ προειρημένα, καὶ εἰλήφθω ἐφ’
5	ἑκατέρας τῶν τομῶν σημεῖα τὰ Κ, Λ, καὶ δι’ αὐτῶν παρὰ μὲν τὴν ΑΖ ἤχθωσαν ἡ ΜΚΠΡΧ καὶ ἡ ΝΣΤΛΩ,	328 in vol. 1
10	παρὰ δὲ τὴν ΒΗ ἡ ΝΙΟΚΞ καὶ ἡ ΧΦΥΛΨ. λέγω, ὅτι ἔσται τὰ τῆς προτάσεως.[Omitted graphic marker] ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΟΙ τρί‐ γωνον τῷ ΡΟ τετραπλεύρῳ ἐστὶν ἴσον, κοινὸν προσ‐
15	κείσθω τὸ ΕΟ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΕΖ τρίγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΕ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΒΕΗ τρίγωνον ἴσον τῷ ΛΕ τετραπλεύρῳ, καί ἐστι τὸ ΑΕΖ τρίγωνον ἴσον τῷ ΒΗΕ· καὶ τὸ ΛΕ ἄρα
20	ἴσον ἐστὶ τῷ ΙΚΡΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΝΕ· ὅλον ἄρα τὸ ΤΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΙΛ, καὶ τὸ ΚΥ τῷ ΡΛ.
3 . 8	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων εἰλήφθω ἀντὶ τῶν Κ, Λ τὰ Γ, Δ, καθ’ ἃ συμβάλλουσιν αἱ διάμετροι ταῖς τομαῖς, καὶ δι’ αὐτῶν ἤχθωσαν αἱ παράλληλοι ταῖς ἐφαπ‐ τομέναις.
5	λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΔΗ τετράπλευρον τῷ ΖΓ καὶ τὸ ΞΙ τῷ ΟΤ. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐδείχθη τὸ ΑΗΘ τρίγωνον τῷ ΘΒΖ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β παράλληλος τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὸ Ζ, ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς
10	ΕΗ, ἡ ΒΕ πρὸς ΕΖ· καὶ ἀναστρέψαντι, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΗ, ἡ ΕΒ πρὸς ΒΖ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ· ἑκατέρα γὰρ ἑκατέρας
10	διπλῆ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΗ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΖ. καί ἐστιν ὅμοια τὰ τρίγωνα διὰ τὰς παρ‐	330 in vol. 1
15	αλλήλους· ὡς ἄρα τὸ ΓΤΑ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΘΗ, τὸ ΞΒΔ πρὸς τὸ ΘΒΖ. καὶ ἐναλλάξ· ἴσον δὲ τὸ ΑΗΘ τῷ ΘΖΒ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ΤΑΓ τῷ ΔΒΞ. ὧν τὸ ΑΗΘ ἴσον ἐδείχθη τῷ ΒΘΖ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΔΘ τετράπλευρον ἴσον τῷ ΓΘ. ὥστε καὶ τὸ ΔΗ
20	τῷ ΓΖ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΓΟ τῇ ΑΖ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΟΕ τρίγωνον τῷ ΑΕΖ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ΔΕΙ τῷ ΒΕΗ. ἀλλὰ τὸ ΒΕΗ τῷ ΑΕΖ ἴσον· καὶ τὸ ΓΟΕ ἄρα ἴσον τῷ ΔΕΙ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΗΔ τε‐
25	τράπλευρον ἴσον τῷ ΖΓ. ὅλον ἄρα τὸ ΞΙ ἴσον ἐστὶ τῷ ΟΤ.
3 . 9	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν τὸ μὲν ἕτερον τῶν σημείων μεταξὺ ᾖ τῶν διαμέτρων, οἷον τὸ Κ, τὸ δὲ ἕτερον ἑνὶ τῶν Γ, Δ ταὐτόν, οἷον τὸ Γ, καὶ ἀχθῶσιν αἱ παράλληλοι, λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΟ τρίγωνον
5	τῷ ΚΕ τετραπλεύρῳ καὶ τὸ ΛΟ τῷ ΛΜ. τοῦτο δὲ φανερόν. ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐδείχθη τὸ ΓΕΟ τρίγωνον τῷ ΑΕΖ, τὸ δὲ ΑΕΖ ἴσον τῷ ΚΕ τε‐ τραπλεύρῳ, καὶ τὸ ΓΕΟ ἄρα ἴσον τῷ ΚΕ τετραπλεύρῳ. ὥστε καὶ τὸ ΓΡΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ΚΟ, καὶ τὸ ΚΓ ἴσον
10	τῷ ΛΟ.
3 . 10	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων εἰλήφθω τὰ Κ, Λ σημεῖα μὴ καθ’ ὃ συμβάλλουσιν αἱ διάμετροι ταῖς τομαῖς. δεικτέον δή, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΛΤΡΧ τετράπλευρον
3 . 10	τῷ ΩΧΚΙ τετραπλεύρῳ.	332 in vol. 1
5	ἐπεὶ γὰρ ἐφάπτονται αἱ ΑΖ, ΒΗ, καὶ διὰ τῶν ἁφῶν διάμετροί εἰσιν αἱ ΑΕ, ΒΕ, καὶ παρὰ τὰς ἐφαπτομένας εἰσὶν αἱ ΛΤ,[Omitted graphic marker] ΚΙ, μεῖζόν ἐστι τὸ ΤΥΕ τρίγωνον τοῦ ΥΩΛ τῷ
10	ΕΖΑ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ΞΕΙ τοῦ ΞΡΚ μεῖζόν ἐστι τῷ ΒΕΗ. ἴσον δὲ τὸ ΑΕΖ τῷ ΒΕΗ· τῷ αὐτῷ ἄρα ὑπερέχει τό τε ΤΕΥ τοῦ
15	ΥΩΛ καὶ τὸ ΞΕΙ τοῦ ΞΡΚ. τὸ ΤΥΕ ἄρα μετὰ τοῦ ΞΡΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΞΕΙ μετὰ τοῦ ΥΩΛ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΞΕΥΛΧ· τὸ ΛΤΡΧ ἄρα τετράπλευρον ἴσον ἐστὶ τῷ ΩΧΚΙ
20	τετραπλεύρῳ.
3 . 11	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἐφ’ ὁποτέρας τῶν τομῶν σημεῖόν τι ληφθῇ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ παράλληλοι ἀχθῶσιν ἡ μὲν παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν
5	τρίγωνον πρὸς τῇ διὰ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἠγμένῃ διαμέτρῳ διαφέρει τοῦ ἀπολαμβανομένου τρι‐ γώνου πρός τε τῇ ἐφαπτομένῃ καὶ τῇ διὰ τῆς ἁφῆς ἠγμένῃ διαμέτρῳ τῷ ἀπολαμβανομένῳ τριγώνῳ πρὸς τῇ συμπτώσει τῶν ἐφαπτομένων.
10	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ, καὶ ἐφαπτόμεναι
10	αἱ ΑΕ, ΔΕ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω κέντρον τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἥ τε ΑΔ καὶ ἡ ΕΘΗ, εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ τομῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Β, καὶ δι’ αὐτοῦ ἤχθωσαν παρὰ μὲν τὴν ΑΗ ἡ	334 in vol. 1
15	ΒΖΛ, παρὰ δὲ τὴν ΑΕ ἡ ΒΜ. λέγω, ὅτι τὸ ΒΖΜ τρίγωνον τοῦ ΑΚΛ διαφέρει τῷ ΚΕΖ. ὅτι μὲν γὰρ ἡ ΑΔ δίχα τέμνεται ὑπὸ τῆς ΕΘ, φανερόν, καὶ ὅτι ἡ ΕΘ διάμετρός ἐστι συζυγὴς τῇ διὰ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΑΔ ἀγομένῃ· ὥστε κατηγμένη
20	ἐστὶν ἡ ΑΗ ἐπὶ τὴν ΕΗ. ἐπεὶ οὖν διάμετρός ἐστιν ἡ ΗΕ, καὶ ἐφάπτεται μὲν ἡ ΑΕ, κατηγμένη δὲ ἡ ΑΗ, ληφθέντος δὲ ἐπὶ τῆς τομῆς τοῦ Β σημείου κατήχθησαν ἐπὶ τὴν ΕΗ ἡ μὲν ΒΖ παρὰ τὴν ΑΗ, ἡ δὲ ΒΜ παρὰ τὴν ΑΕ,
25	δῆλον, ὅτι τὸ ΒΜΖ τρίγωνον τοῦ ΛΘΖ διαφέρει τῷ ΘΑΕ. ὥστε καὶ τὸ ΒΖΜ τοῦ ΑΚΛ διαφέρει τῷ ΚΖΕ. καὶ συναποδέδεικται, ὅτι τὸ ΒΚΕΜ τετράπλευρον ἴσον ἐστὶ τῷ ΛΚΑ τριγώνῳ.
3 . 12	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἐπὶ μιᾶς τῶν τομῶν β ση‐ μεῖα ληφθῇ, καὶ ἀφ’ ἑκατέρου παράλληλοι ἀχθῶσιν, ὁμοίως ἴσα ἔσται τὰ γινόμενα ὑπ’ αὐτῶν τετράπλευρα. ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ
5	τῆς ΑΒ τομῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Β, Κ, καὶ δι’ αὐτῶν ἤχθωσαν παράλληλοι τῇ ΑΔ αἱ ΛΒΜΝ, ΚΞΟΥΠ, τῇ δὲ ΑΕ αἱ ΒΞΡ, ΛΚΣ. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ
5	ΒΠ τῷ ΚΡ. ἐπεὶ γὰρ δέδεικται ἴσον τὸ μὲν ΑΟΠ τρίγωνον	336 in vol. 1
10	τῷ ΚΟΕΣ τετραπλεύρῳ, τὸ δὲ ΑΜΝ τῷ ΒΜΕΡ, λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΡ λιπὸν ἢ προσλαβὸν τὸ ΒΟ ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΠ. καὶ κοινοῦ προστεθέντος ἢ ἀφαιρου‐ μένου τοῦ ΒΟ τὸ ΒΠ ἴσον ἐστὶ τῷ ΞΣ.
3 . 13	Ἐὰν ἐν ταῖς κατὰ συζυγίαν ἀντικειμέναις τῶν ἐφεξῆς τομῶν εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ διὰ τῶν ἁφῶν διάμετροι ἀχθῶσιν, ἴσα ἔσται τὰ τρί‐ γωνα, ὧν κορυφὴ κοινὴ τὸ κέντρον ἐστὶ τῶν ἀντι‐
5	κειμένων. ἔστωσαν συζυγεῖς ἀντικείμεναι, ἐφ’ ὧν τὰ Α, Β, Γ, Δ σημεῖα, καὶ τῶν Α, Β τομῶν ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΒΕ, ΑΕ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Ε, καὶ ἔστω κέν‐ τρον τὸ Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΑΘ, ΒΘ ἐκβεβλή‐
10	σθωσαν ἐπὶ τὰ Δ, Γ. λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΖΘ τρίγωνον τῷ ΑΗΘ τριγώνῳ. ἤχθωσαν γὰρ διὰ τῶν Α, Θ παρὰ τὴν ΒΕ αἱ ΑΚ, ΛΘΜ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται τῆς Β τομῆς ἡ ΒΖΕ, καὶ διὰ τῆς ἁφῆς διάμετρός ἐστιν ἡ ΔΘΒ, καὶ παρὰ
15	τὴν ΒΕ ἐστιν ἡ ΛΜ, συζυγής ἐστιν ἡ ΛΜ διάμετρος τῇ ΒΔ διαμέτρῳ ἡ καλουμένη δευτέρα διάμετρος· διὰ δὲ τοῦτο κατῆκται ἡ ΑΚ τεταγμένως ἐπὶ τὴν ΒΔ. καὶ ἐφάπτεται ἡ ΑΗ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΚΘΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΘ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΒ, ἡ
20	ΒΘ πρὸς ΗΘ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΒ, ἡ ΚΑ πρὸς ΒΖ καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΘΖ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΘ πρὸς ΖΘ, ἡ ΒΘ πρὸς ΗΘ. καί εἰσιν αἱ ὑπὸ ΒΘΖ, ΗΘΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ἴσον ἄρα τὸ ΑΗΘ τρίγωνον τῷ ΒΘΖ τριγώνῳ.	338 in vol. 1
3 . 14	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἐφ’ ὁποτέρας τῶν τομῶν σημεῖόν τι ληφθῇ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις ἕως τῶν διαμέτρων, τὸ γινόμενον πρὸς τῷ κέντρῳ τρίγωνον τοῦ γινομένου
5	περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τριγώνου διοίσει τριγώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἐφαπτομένην, κορυφὴν δὲ τὸ κέντρον. ἔστω τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτά, εἰλήφθω δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς Β τομῆς τὸ Ξ, καὶ δι’ αὐτοῦ παρὰ μὲν τὴν
10	ΑΗ ἤχθωσαν ἡ ΞΡΣ, παρὰ δὲ τὴν ΒΕ ἡ ΞΤΟ. λέγω, ὅτι τὸ ΟΘΤ τρίγωνον τοῦ ΞΣΤ διαφέρει τῷ ΘΒΖ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τὴν ΒΖ ἡ ΑΥ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον τῆς ΑΛ τομῆς διά‐
15	μετρος μέν ἐστιν ἡ ΛΘΜ, συζυγὴς δὲ αὐτῇ καὶ δευ‐ τέρα διάμετρος ἡ ΔΘΒ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐφάπτεται ἡ ΑΗ, κατῆκται δὲ παρὰ τὴν ΛΜ ἡ ΑΥ, ἕξει ἡ ΑΥ πρὸς τὴν ΥΗ τὸν συγκείμενον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΥ πρὸς ΥΑ καὶ ἐκ τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ
20	πρὸς τῇ ΛΜ εἴδους πλαγία πλευρὰ πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἀλλ’ ὡς ἡ ΑΥ πρὸς ΥΗ, ἡ ΞΤ πρὸς ΤΣ, ὡς δὲ ἡ
20	ΘΥ πρὸς ΥΑ, ἡ ΘΤ πρὸς ΤΟ καὶ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ, ὡς δὲ ἡ τοῦ πρὸς τῇ ΛΜ εἴδους πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν, ἡ τοῦ πρὸς τῇ ΒΔ ὀρθία πρὸς τὴν πλαγίαν.	340 in vol. 1
25	ἕξει ἄρα ἡ ΞΤ πρὸς ΤΣ τὸν συνημμένον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς ΒΖ, τουτέστιν ἡ ΘΤ πρὸς ΤΟ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ τοῦ πρὸς τῇ ΒΔ εἴδους ὀρθία πλευρὰ πρὸς τὴν πλαγίαν. καὶ διὰ τὰ δεδειγ‐ μένα ἐν τῷ μαʹ τοῦ αʹ βιβλίου τὸ ΤΘΟ τρίγωνον
30	τοῦ ΞΤΣ διαφέρει τῷ ΒΖΘ. ὥστε καὶ τῷ ΑΗΘ.
3 . 15	Ἐὰν μιᾶς τῶν κατὰ συζυγίαν ἀντικειμένων εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσι, καὶ διὰ τῶν ἁφῶν διάμετροι ἀχθῶσι, ληφθῇ δέ τι σημεῖον ἐφ’ ὁποτέρας τῶν συ‐ ζυγῶν τομῶν, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς
5	ἐφαπτομέναις ἕως τῶν διαμέτρων, τὸ γινόμενον ὑπ’ αὐτῶν πρὸς τῇ τομῇ τρίγωνον τοῦ γινομένου τρι‐ γώνου πρὸς τῷ κέντρῳ μεῖζόν ἐστι τριγώνῳ τῷ βάσιν μὲν ἔχοντι τὴν ἐφαπτομένην, κορυφὴν δὲ τὸ κέντρον τῶν ἀντικειμένων.
10	ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΗΣ, Τ, Ξ, ὧν κέντρον τὸ Θ, καὶ τῆς ΑΒ τομῆς ἐφαπτέ‐ σθωσαν αἱ ΑΔΕ, ΒΔΓ, καὶ διὰ τῶν Α, Β ἁφῶν ἤχθωσαν διάμετροι αἱ ΑΘΖΦ, ΒΘΤ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΗΣ τομῆς σημεῖόν τι τὸ Σ, καὶ δι’ αὐτοῦ
15	ἤχθω παρὰ μὲν τὴν ΒΓ ἡ ΣΖΛ, παρὰ δὲ τὴν ΑΕ ἡ ΣΥ. λέγω, ὅτι τὸ ΣΛΥ τρίγωνον τοῦ ΘΛΖ τρι‐ γώνου μεῖζόν ἐστι τῷ ΘΓΒ.
15	ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΒΓ ἡ ΞΘΗ, παρὰ δὲ τὴν ΑΕ διὰ τοῦ Η ἡ ΚΙΗ, παρὰ δὲ τὴν ΒΤ ἡ	342 in vol. 1
20	ΣΟ· φανερὸν δή, ὅτι συζυγής ἐστι διάμετρος ἡ ΞΗ τῇ ΒΤ, καὶ ὅτι ἡ ΣΟ παράλληλος οὖσα τῇ ΒΤ κατῆκται τεταγμένως ἐπὶ τὴν ΘΗΟ, καὶ ὅτι παραλ‐ ληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΣΛΘΟ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΒΓ, καὶ διὰ τῆς ἁφῆς ἐστιν
25	ἡ ΒΘ, καὶ ἑτέρα ἐφαπτομένη ἐστὶν ἡ ΑΕ, γεγονέτω ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΜΝ πρὸς τὴν διπλασίαν τῆς ΒΓ· ἡ ἄρα ΜΝ ἐστιν ἡ καλουμένη ὀρθία τοῦ παρὰ τὴν ΒΤ εἴδους. δίχα τετμήσθω ἡ ΜΝ κατὰ τὸ Π· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΜΠ πρὸς ΒΓ.
30	πεποιήσθω δή, ὡς ἡ ΞΗ πρὸς ΤΒ, ἡ ΤΒ πρὸς Ρ· ἔσται δὴ καὶ ἡ Ρ ἡ καλουμένη ὀρθία τοῦ παρὰ τὴν ΞΗ εἴδους. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, ἡ ΜΠ πρὸς ΓΒ, ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΒΕ, ὡς δὲ ἡ ΜΠ πρὸς ΓΒ, τὸ
35	ὑπὸ ΜΠ, ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΘ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΒΕ, τὸ ὑπὸ ΠΜ, ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΘ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΜΠ, ΒΘ τῷ ἀπὸ ΘΗ, διότι τὸ μὲν ἀπὸ ΞΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΤΒ, ΜΝ, καὶ τὸ μὲν ὑπὸ ΜΠ, ΒΘ τέταρτον τοῦ ὑπὸ ΤΒ, ΜΝ,
40	τὸ δὲ ἀπὸ ΗΘ τέταρτον τοῦ ἀπὸ ΗΞ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΒΕ, τὸ ἀπὸ ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΘ. ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΘ, τὸ ὑπὸ ΔΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΘ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΗ, τὸ ΔΒΕ τρίγωνον
45	πρὸς τὸ ΗΘΙ· ὅμοια γάρ· ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΔΒΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒΘ, τὸ ΔΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΓΒΘ· ὡς
45	ἄρα τὸ ΔΒΕ τρίγωνον πρὸς τὸ ΗΘΙ, τὸ ΔΒΕ πρὸς τὸ ΓΒΘ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΗΘΙ τῷ ΓΒΘ [τὸ ἄρα ΗΘΚ τρίγωνον τοῦ ΘΙΚ διαφέρει τῷ ΙΘΗ, τουτ‐	344 in vol. 1
3 . 15 (50)	έστι τῷ ΓΒΘ]. πάλιν ἐπεὶ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ τὸν συν‐ ημμένον ἔχει λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς ΜΠ καὶ ἡ ΠΜ πρὸς ΒΓ, ἀλλ’ ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΜΠ, ἡ ΤΒ πρὸς ΜΝ καὶ ἡ Ρ πρὸς ΞΗ, ὡς δὲ ἡ ΜΠ πρὸς ΒΓ, ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, ἕξει ἄρα ἡ ΘΒ πρὸς ΒΓ
55	τὸν συγκείμενον λόγον ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ καὶ ἡ Ρ πρὸς ΞΗ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΒΓ τῇ ΣΛ, καὶ ὅμοιον τὸ ΘΓΒ τρίγωνον τῷ ΘΛΖ, καί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΓΒ, ἡ ΘΛ πρὸς ΛΖ, ἕξει ἄρα ἡ ΘΛ πρὸς ΛΖ τὸν συνημμένον λόγον
60	ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ Ρ πρὸς ΞΗ καὶ ἡ ΔΒ πρὸς ΒΕ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΘΙ. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΗΣ διάμετρον ἔχουσα τὴν ΞΗ, ὀρθίαν δὲ τὴν Ρ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ Σ κατῆκται ἡ ΣΟ, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ΘΗ
65	εἶδος τὸ ΘΙΗ, ἀπὸ δὲ τῆς κατηγμένης τῆς ΣΟ ἤτοι τῆς ΘΛ ἴσης αὐτῇ τὸ ΘΛΖ, ἀπὸ δὲ τῆς ΘΟ μεταξὺ τοῦ κέντρου καὶ τῆς κατηγμένης ἤτοι τῆς ΣΛ ἴσης αὐτῇ τὸ ΣΛΥ εἶδος ὅμοιον τῷ ἀπὸ τῆς ἐκ τοῦ κέν‐ τρου τῷ ΘΙΗ, καὶ ἔχει τοὺς συγκειμένους λόγους, ὡς
70	εἴρηται, τὸ ΣΛΥ τρίγωνον τοῦ ΘΛΖ μεῖζόν ἐστι τῷ ΘΓΒ.
3 . 16	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας δύο εὐ‐
3 . 16	θεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσιν, ἀπὸ δέ τινος σημείου τῶν ἐπὶ τῆς τομῆς ἀχθῇ εὐθεῖα παρά τινα τῶν ἐφαπ‐ τομένων τέμνουσα τὴν τομὴν καὶ τὴν ἑτέραν τῶν	346 in vol. 1
5	ἐφαπτομένων, ἔσται, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ἐφαπτομένων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, οὕτως τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς ἐφαπτο‐ μένης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς[Omitted graphic marker] ἀπολαμβανομένης πρὸς τῇ
10	ἁφῇ τετράγωνον. ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒ, καὶ ἐφαπτέσθωσαν αὐτῆς αἱ ΑΓ, ΓΒ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Γ, καὶ εἰλήφθω τι
15	σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΒ τομῆς τὸ Δ, καὶ δι’ αὐτοῦ ἤχθω παρὰ τὴν ΓΒ ἡ ΕΔΖ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ. ἤχθωσαν γὰρ διὰ τῶν Α, Β διάμετροι ἥ τε ΑΗΘ καὶ ἡ ΚΒΛ, διὰ δὲ τοῦ Δ τῇ ΑΛ παράλληλος ἡ
20	ΔΜΝ· φανερὸν αὐτόθεν, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΔΚ τῇ ΚΖ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΛΔ τετραπλεύρῳ καὶ τὸ ΒΛΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΘ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΖΚ τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση, καὶ πρόσκειται ἡ ΔΕ, τὸ ὑπὸ ΖΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΚ ἴσον ἐστὶ
25	τῷ ἀπὸ ΚΕ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΛΚ τρίγωνον τῷ ΔΝΚ, ἔστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΔ, οὕτως τὸ ΕΚΛ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΝΚ. καὶ ἐναλ‐ λάξ· καὶ ὡς ὅλον τὸ ἀπὸ ΕΚ πρὸς ὅλον τὸ ΕΛΚ τρίγωνον, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ἀπὸ ΔΚ πρὸς ἀφαι‐
30	ρεθὲν τὸ ΔΝΚ τρίγωνον· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ
30	ΖΕΔ πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΛ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΕΛΚ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΕΚ πρὸς τὸ ΕΛΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΛΓΒ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ΛΔ τετράπλευρον, τὸ ἀπὸ ΓΒ	348 in vol. 1
35	πρὸς τὸ ΛΓΒ τρίγωνον. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΔΛ τῷ ΑΕΗ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΛΓΒ τῷ ΑΘΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΑΘΓ. ἐναλλάξ, ὡς τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ΑΕΗ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΘΓ. ὡς δὲ
40	τὸ ΑΗΕ πρὸς τὸ ΑΘΓ, τὸ ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ. καὶ ἐναλλάξ.
3 . 17	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας δύο εὐ‐ θεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσι, ληφθῇ δὲ ἐπὶ τῆς τομῆς δύο τυχόντα σημεῖα, καὶ ἀπ’ αὐτῶν ἀχθῶσιν ἐν τῇ τομῇ παρὰ τὰς ἐφαπτομένας τέμνουσαι ἀλλήλας
5	τε καὶ τὴν γραμμήν, ἔσται, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ἐφαπτο‐ μένων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν ὁμοίως λαμβανομένων εὐθειῶν. ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒ, καὶ τῆς ΑΒ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΓ, ΓΒ συμπίπτουσαι κατὰ
10	τὸ Γ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς τομῆς τυχόντα σημεῖα τὰ Δ, Ε, καὶ δι’ αὐτῶν παρὰ τὰς ΑΓ, ΓΒ ἤχθωσαν αἱ ΕΖΙΚ, ΔΖΗΘ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖΔ. ἤχθωσαν γὰρ διὰ τῶν Α, Β διάμετροι αἱ ΑΛΜΝ,
15	ΒΟΞΠ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἵ τε ἐφαπτόμεναι καὶ αἱ
15	παράλληλοι μέχρι τῶν διαμέτρων, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Δ, Ε παρὰ τὰς ἐφαπτομένας αἱ ΔΞ, ΕΜ· φα‐ νερὸν δή, ὅτι ἡ ΚΙ τῇ ΙΕ ἐστιν ἴση καὶ ἡ ΘΗ τῇ ΗΔ.	350 in vol. 1
20	ἐπεὶ οὖν ἡ ΚΕ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ι, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ζ, τὸ ὑπὸ ΚΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΙ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΙ. καὶ ἐπεὶ ὅμοιά ἐστι τὰ τρίγωνα διὰ τὰς παραλλήλους, ἔστιν, ὡς ὅλον τὸ ἀπὸ ΕΙ πρὸς ὅλον τὸ ΙΜΕ τρίγωνον, οὕτως ἀφαιρεθὲν
25	τὸ ἀπὸ ΙΖ πρὸς[Omitted graphic marker] ἀφαιρεθὲν τὸ ΖΙΛ τρίγωνον. καὶ λοι‐ πὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς λοιπὸν
30	τὸ ΖΜ τετρά‐ πλευρόν ἐστιν, ὡς ὅλον τὸ ἀπὸ ΕΙ πρὸς ὅλον τὸ ΜΕΙ τρίγωνον. ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΕΙ πρὸς τὸ ΙΜΕ τρί‐
35	γωνον, τὸ ἀπὸ ΓΑ πρὸς τὸ ΓΑΝ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ΖΜ τετράπλευρον, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΑΝ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΓΝ τῷ ΓΠΒ, τὸ δὲ ΖΜ τῷ ΖΞ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ΖΞ, τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ΓΒΠ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται
40	καί, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΖΔ πρὸς τὸ ΞΖ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΓΒ πρὸς τὸ ΓΠΒ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ΖΞ τετράπλευρον, τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς ΓΠΒ, διὰ δὲ τὸ ἀνάπαλιν, ὡς τὸ ΖΞ τετράπλευρον πρὸς τὸ
40	ὑπὸ ΘΖΔ, τὸ ΓΠΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, δι’ ἴσου ἄρα,	352 in vol. 1
45	ὡς τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, τὸ ὑπὸ ΚΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΖΔ.
3 . 18	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐπιψαύουσαι συμπίπτωσι, καὶ ληφθῇ τι σημεῖον ἐφ’ ὁποτερασοῦν τῶν τομῶν, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἀχθῇ τις εὐθεῖα παρά τινα τῶν ἐφαπτομένων τέμνουσα τὴν τομὴν καὶ τὴν ἑτέραν
5	ἐφαπτομένην, ἔσται, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ἐφαπτομένων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, οὕτως τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς ἐφαπτομένης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἀπολαμβανομένης πρὸς τῇ ἁφῇ τετράγωνον. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΜΝ καὶ ἐφαπτόμεναι
10	αἱ ΑΓΛ, ΒΓΘ καὶ διὰ τῶν ἁφῶν διάμετροι αἱ ΑΜ, ΒΝ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΜΝ τομῆς τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ δι’ αὐτοῦ ἤχθω παρὰ τὴν ΒΘ ἡ ΕΔΖ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ.
15	ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Δ τῇ ΑΕ παράλληλος ἡ ΔΞ. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΑΒ καὶ διάμετρος αὐτῆς ἡ ΒΝ καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΒΘ καὶ τῇ ΒΘ παράλληλος ἡ ΔΖ, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΟ τῇ ΟΔ. καὶ πρόσκειται ἡ ΕΔ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΕΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΟ ἴσον
20	ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΟ. καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΕΛ τῇ ΔΞ, ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΟΛ τρίγωνον τῷ ΔΞΟ. ἔστιν ἄρα, ὡς ὅλον τὸ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ΕΟΛ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ἀπὸ ΔΟ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΞΔΟ τρί‐ γωνον· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΕΖ πρὸς τὸ ΔΛ
25	τετράπλευρόν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΟ πρὸς τὸ ΕΟΛ.
25	ἀλλ’ ὡς τὸ ἀπὸ ΟΕ πρὸς τὸ ΟΕΛ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΓΛ τρίγωνον· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ΔΛ τετράπλευρον, τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΓΛ τρίγωνον. ἴσον δὲ τὸ ΔΛ τετράπλευρον	354 in vol. 1
30	τῷ ΑΕΗ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΒΛΓ τῷ ΑΓΘ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς τὸ ΑΕΗ, τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ΑΓΘ. ἔστι δὲ καὶ ὡς τὸ ΑΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, οὕτως τὸ ΑΓΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ, τὸ ὑπὸ ΖΕΔ πρὸς
35	τὸ ἀπὸ ΕΑ.
3 . 19	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσιν, ἀχθῶσι δὲ παράλληλοι ταῖς ἐφαπτο‐ μέναις ἀλλήλας τέμνουσαι καὶ τὴν τομήν, ἔσται, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ἐφαπτομένων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, οὕτως
5	τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς συμπτώσεως τῶν εὐθειῶν πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ὁμοίως λαμβανομένων εὐθειῶν. ἔστωσαν ἀντικείμεναι, ὧν διάμετροι αἱ ΑΓ, ΒΔ, κέντρον δὲ τὸ Ε, καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΖ, ΖΔ συμ‐
10	πιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπό τινων σημείων ἤχθω‐ σαν παρὰ τὰς ΑΖΔ αἱ ΗΘΙΚΛ, ΜΝΞΟΛ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, τὸ ὑπὸ ΗΛΙ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΛΞ. ἤχθωσαν παρὰ τὰς ΑΖΔ διὰ τῶν Ξ, Ι αἱ ΙΠ,
15	ΞΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖΣ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΘΛ πρὸς τὸ ΘΛΟ καὶ τὸ ἀπὸ ΘΙ πρὸς τὸ ΘΙΠ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΗΛΙ πρὸς
15	λοιπὸν τὸ ΙΠΟΛ τετράπλευρόν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖΣ τρίγωνον. ἴσον δὲ τὸ ΑΖΣ τῷ ΔΖΤ	356 in vol. 1
20	καὶ τὸ ΠΟΛΙ τῷ ΚΡΞΛ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ΔΤΖ, τὸ ὑπὸ ΗΛΙ πρὸς τὸ ΡΞΛΚ. ὡς δὲ τὸ ΔΤΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, τὸ ΡΞΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΛΞ· καὶ δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΔ, τὸ ὑπὸ ΗΛΙ πρὸς τὸ ὑπὸ ΜΛΞ.
3 . 20	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ διὰ τῆς συμπτώσεως ἀχθῇ τις εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν συμπίπτουσα ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν, ἀχθῇ δέ τις ἑτέρα εὐθεῖα παρὰ τὴν αὐτὴν
5	τέμνουσα τάς τε τομὰς καὶ τὰς ἐφαπτομένας, ἔσται, ὡς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ταῖς τομαῖς προσπιπτουσῶν εὐθειῶν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετράγωνον, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῶν τομῶν καὶ τῆς ἐφαπτομένης εὐθειῶν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς
10	ἀπολαμβανομένης πρὸς τῇ ἁφῇ τετράγωνον. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ὧν κέντρον τὸ Ε, ἐφαπτόμεναι δὲ αἱ ΑΖ, ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ αἱ ΕΖ, ΑΕ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ΑΓ ἡ ΒΖΘ, καὶ εἰλήφθω, ὃ
15	ἔτυχε, σημεῖον τὸ Κ, καὶ δι’ αὐτοῦ παρὰ τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΚΛΣΜΝΞ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ, τὸ ὑπὸ ΚΛΞ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΛ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Κ, Β παρὰ τὴν ΑΖ αἱ
20	ΚΠ, ΒΡ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ΒΖΡ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΚΣ πρὸς τὸ ΚΣΠ καὶ τὸ ἀπὸ ΛΣ πρὸς τὸ ΛΣΖ, καὶ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΚΛΞ πρὸς τὸ ΚΛΖΠ τετράπλευρον, ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ ΒΖ τῷ ὑπὸ ΒΖΔ, τὸ δὲ ΒΡΖ τρίγωνον τῷ	358 in vol. 1
25	ΑΖΘ, τὸ δὲ ΚΛΖΠ τετράπλευρον τῷ ΑΛΝ τρι‐ γώνῳ, ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΔ πρὸς τὸ ΑΖΘ τρίγωνον, τὸ ὑπὸ ΚΛΞ πρὸς τὸ ΑΛΝ. ὡς δὲ τὸ ΑΖΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΖ, τὸ ΑΛΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΛ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ, τὸ
30	ὑπὸ ΚΛΞ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΛ.
3 . 21	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἐπὶ τῆς τομῆς δύο σημεῖα ληφθῇ, καὶ δι’ αὐτῶν ἀχθῶσιν εὐθεῖαι ἡ μὲν παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν, τέμνουσαι ἀλλήλας τε καὶ τὰς τομάς,
5	ἔσται, ὡς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀπὸ τῆς συμπτώ‐ σεως ταῖς τομαῖς προσπιπτουσῶν πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐφαπτομένης τετράγωνον, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῶν τομῶν καὶ τῆς συμπτώσεως πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς συμ‐
10	πτώσεως εὐθειῶν. ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, εἰλήφθω δὲ τὰ Η, Κ σημεῖα, καὶ δι’ αὐτῶν ἤχθωσαν παρὰ μὲν τὴν
10	ΑΖ αἱ ΝΞΗΟΠΡ, ΚΣΤ, παρὰ δὲ τὴν ΑΓ αἱ ΗΛΜ, ΚΟΦΙΧΨΩ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ	360 in vol. 1
15	ΒΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΚΟΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΟΗ. ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖΘ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΑΛ πρὸς τὸ ΑΛΜ καὶ τὸ ἀπὸ ΞΟ πρὸς τὸ ΞΟΨ καὶ τὸ ἀπὸ ΞΗ πρὸς τὸ ΞΗΜ, ὡς ἄρα
20	ὅλον τὸ ἀπὸ ΞΟ πρὸς ὅλον τὸ ΞΟΨ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ἀπὸ ΞΗ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ΞΗΜ. καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΝΟΗ πρὸς λοιπὸν τὸ ΗΟΨΜ τετράπλευρόν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ΑΖΘ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΑΖΘ τῷ ΒΥΖ, τὸ δὲ ΗΟΨΜ τῷ ΚΟΡΤ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ
25	ΑΖ πρὸς τὸ ΒΖΥ, τὸ ὑπὸ ΝΟΗ πρὸς τὸ ΚΟΡΤ. ὡς δὲ τὸ ΒΥΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΒΖΔ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ΚΟΡΤ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΟΩ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖΔ, τὸ ὑπὸ ΝΟΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΟΩ. καὶ ἀνάπαλιν,
30	ὡς τὸ ὑπὸ ΒΖΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΑ, τὸ ὑπὸ ΚΟΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΟΗ.
3 . 22	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι παράλληλοι ἐπιψαύωσιν, ἀχθῶσι δέ τινες εὐθεῖαι τέμνουσαι ἀλ‐ λήλας καὶ τὰς τομάς, ἡ μὲν παρὰ τὴν ἐφαπτομένην, ἡ δὲ παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν, ἔσται, ὡς
5	ἡ τοῦ πρὸς τῇ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσῃ εἴδους πλαγία πλευρὰ πρὸς τὴν ὀρθίαν, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῶν τομῶν καὶ τῆς συμπτώσεως πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς συμ‐
5	πτώσεως.	362 in vol. 1
10	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, ἐφαπτόμεναι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΓ, ΒΔ παράλληλοι ἔστωσαν, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ. διήχθωσαν δὴ ἡ μὲν ΕΞΗ παρὰ τὴν ΑΒ, ἡ δὲ ΚΕΛΜ παρὰ τὴν ΑΓ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ὀρθίαν τοῦ εἴδους πλευράν, τὸ ὑπὸ
15	ΗΕΞ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΕΜ. ἤχθωσαν διὰ τῶν Η, Ξ παρὰ τὴν ΑΓ αἱ ΞΝ, ΗΖ. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΔ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν παράλληλοί εἰσι, διάμετρος μὲν ἡ ΑΒ, τεταγμένως δὲ ἐπ’ αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΚΛ, ΞΝ, ΗΖ· ἔσται
20	οὖν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ὀρθίαν πλευράν, τό τε ὑπὸ ΒΛΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΝΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΞ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΛΕ. ἔστιν ἄρα, ὡς ὅλον τὸ ὑπὸ ΒΛΑ πρὸς ὅλον τὸ ἀπὸ ΚΛ, οὕτως ἀφαι‐ ρεθὲν τὸ ὑπὸ ΒΝΑ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΖΑΝ· ἴση
25	γὰρ ἡ ΝΑ τῇ ΒΖ· πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ἀπὸ ΛΕ· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΖΛΝ πρὸς λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΚΕΜ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΖΛΝ τῷ ὑπὸ ΗΕΞ· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ τοῦ εἴδους πλαγία πλευρὰ πρὸς τὴν ὀρθίαν, τὸ ὑπὸ ΗΕΞ
30	πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΕΜ.
3 . 23	Ἐὰν ἐν ταῖς κατὰ συζυγίαν ἀντικειμέναις δύο εὐθεῖαι τῶν κατ’ ἐναντίον τομῶν ἐπιψαύουσαι συμ‐ πίπτωσιν ἐπὶ μιᾶς, ἧς ἔτυχον, τομῆς, ἀχθῶσι δέ τινες παρὰ τὰς ἐφαπτομένας τέμνουσαι ἀλλήλας καὶ τὰς
5	ἑτέρας ἀντικειμένας, ἔσται, ὡς τὰ ἀπὸ τῶν ἐφαπτομένων τετράγωνα πρὸς ἄλληλα, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν μεταξὺ τῶν τομῶν καὶ τῆς συμπτώσεως εὐθειῶν πρὸς τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ὁμοίως λαμβανομένων εὐθειῶν.	364 in vol. 1
10	ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ, κέντρον δὲ αὐτῶν τὸ Κ, καὶ τῶν ΑΒ, ΕΖ τομῶν ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΦΓΛ, ΕΧΔΛ συμπιπτέτω‐ σαν κατὰ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΚ, ΕΚ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Β, Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Η παρὰ
15	τὴν ΑΛ ἤχθω ἡ ΗΜΝΞΟ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΕΛ ἡ ΘΠΡΞΣ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΑ, τὸ ὑπὸ ΘΞΣ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΞΟ. ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Σ παρὰ μὲν τὴν ΑΛ ἡ ΣΤ,
20	παρὰ δὲ τὴν ΕΛ ἀπὸ τοῦ Ο ἡ ΟΥ. ἐπεὶ οὖν συ‐ ζυγῶν ἀντικειμένων τῶν ΑΒ, ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ διάμετρός ἐστιν ἡ ΒΕ, καὶ ἐφάπτεται τῆς τομῆς ἡ ΕΛ, καὶ παρ’ αὐτὴν ἦκται ἡ ΘΣ, ἴση ἐστὶν ἡ ΘΠ τῇ ΠΣ, καὶ διὰ τὰ αὐτὰ ἡ ΗΜ τῇ ΜΟ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς
25	τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ΕΦΛ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΠΣ πρὸς τὸ ΠΤΣ καὶ τὸ ἀπὸ ΠΞ πρὸς τὸ ΠΝΞ, καὶ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΘΞΣ πρὸς τὸ ΤΝΞΣ τετράπλευρόν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ΦΛΕ τρίγωνον. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΦΛ τρίγωνον τῷ ΑΛΧ, τὸ δὲ ΤΝΞΣ
30	τετράπλευρον τῷ ΞΡΥΟ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ΑΛΧ, τὸ ὑπὸ ΘΞΣ πρὸς τὸ ΞΟΥΡ τε‐ τράπλευρον. ἔστι δέ, ὡς τὸ ΑΧΛ τρίγωνον πρὸς τὸ
30	ἀπὸ ΑΛ, τὸ ΞΡΥΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΞΟ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΛ, τὸ ὑπὸ ΘΞΣ	366 in vol. 1
35	πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΞΟ.
3 . 24	Ἐὰν ἐν ταῖς κατὰ συζυγίαν ἀντικειμέναις ἀπὸ τοῦ κέντρου διαχθῶσι πρὸς τὰς τομὰς δύο εὐθεῖαι, καὶ λέγηται αὐτῶν ἡ μὲν πλαγία διάμετρος, ἡ δὲ ὀρθία, ἀχθῶσι δέ τινες παρὰ τὰς δύο διαμέτρους συμπίπτου‐
5	σαι ἀλλήλαις καὶ ταῖς τομαῖς, ἡ δὲ σύμπτωσις ᾖ τῶν εὐθειῶν ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν τεσσάρων τομῶν, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς παραλλήλου τῇ πλαγίᾳ μετὰ τοῦ πρὸς ὃ λόγον ἔχει τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς παραλλήλου τῇ ὀρθίᾳ, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς
10	ὀρθίας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς πλαγίας τετράγωνον, ἴσον ἔσται τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς πλαγίας τετραγώνῳ. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, Γ, Δ, ὧν κέντρον τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε διήχθωσαν ἥ τε ΑΕΓ πλαγία καὶ ἡ ΔΕΒ ὀρθία, καὶ παρὰ τὰς ΑΓ,
15	ΔΒ ἤχθωσαν αἱ ΖΗΘΙΚΛ, ΜΝΞΟΠΡ συμπίπτου‐ σαι ἀλλήλαις κατὰ τὸ Ξ· ἔστω δὲ πρότερον τὸ Ξ ἐντὸς τῆς ὑπὸ ΣΕΦ γωνίας ἢ τῆς ὑπὸ ΥΕΤ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΞΛ μετὰ τοῦ πρὸς ὃ λόγον ἔχει τὸ ὑπὸ ΜΞΡ, ὃν τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ, ἴσον
20	ἐστὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΑΕ. ἤχθωσαν γὰρ ἀσύμπτωτοι τῶν τομῶν αἱ ΣΕΤ, ΥΕΦ, καὶ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΣΗΑΦ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΣΑΦ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΔΕ, ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΣΑΦ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ,
25	οὕτως τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ. τὸ δὲ ὑπὸ ΣΑΦ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ λόγον ἔχει τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ τῆς ΣΑ πρὸς ΑΕ καὶ τοῦ τῆς ΦΑ πρὸς ΑΕ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΣΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΝΞ πρὸς ΞΘ, ὡς δὲ ἡ ΦΑ πρὸς ΑΕ, ἡ ΠΞ πρὸς ΞΚ· ὁ ἄρα	368 in vol. 1
30	τοῦ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς ΝΞ πρὸς ΞΘ καὶ τοῦ τῆς ΠΞ πρὸς ΞΚ. σύγκειται δὲ ἐκ τῶν αὐτῶν ὁ τοῦ ὑπὸ ΠΞΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΞΘ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ, τὸ ὑπὸ ΠΞΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΞΘ. καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ
35	πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ, τὸ ἀπὸ ΔΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΠΞΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΞΘ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ ΔΕ τῷ ὑπὸ ΠΜΝ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΡΝΜ, τὸ δὲ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΚΖΘ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΛΘΖ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ὑπὸ ΠΞΝ
40	μετὰ τοῦ ὑπὸ ΡΝΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΞΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΛΘΖ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΠΞΝ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΡΝΜ τῷ ὑπὸ ΡΞΜ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ὑπὸ ΡΞΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΞΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΚΖΘ. δεικτέον οὖν, ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΞΛ μετὰ τοῦ
45	ὑπὸ ΚΞΘ καὶ τοῦ ὑπὸ ΚΖΘ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΕΑ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΑΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΚΖΘ· λοιπὸν ἄρα δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ ΚΞΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΛΞΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΕ. ἔστι δέ· τὸ γὰρ ὑπὸ ΚΞΘ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΛΞΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ
3 . 24 (50)	ΛΘΖ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΚΖΘ, τουτέστι τῷ ἀπὸ ΑΕ. συμπιπτέτωσαν δὴ αἱ ΖΛ, ΜΡ ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων κατὰ τὸ Θ. ἴσον δή ἐστι τὸ ὑπὸ ΖΘΛ
3 . 24 (50)	τῷ ἀπὸ ΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΜΘΡ τῷ ἀπὸ ΔΕ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ὑπὸ ΜΘΡ	370 in vol. 1
55	πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΘΛ. ὥστε τὸ δὶς ὑπὸ ΖΘΛ ἴσον ζη‐ τοῦμεν τῷ δὶς ἀπὸ ΑΕ. ἔστι δέ. ἔστω δὲ τὸ Ξ ἐντὸς τῆς ὑπὸ ΣΕΚ γωνίας ἢ τῆς ὑπὸ ΦΕΤ. ἔσται δὴ ὁμοίως διὰ τὴν συναφὴν τῶν λόγων, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ὑπὸ
60	ΠΞΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΞΘ. τῷ δὲ ἀπὸ ΔΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΠΜΝ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΡΝΜ, τῷ δὲ ἀπὸ ΑΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΛΘΖ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΡΝΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΘΖ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ὑπὸ ΠΞΝ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ὑπὸ ΚΞΘ. καὶ λοιπὸν
65	ἄρα τὸ ὑπὸ ΡΞΜ πρὸς λοιπὴν τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΚΞΘ. δεικτέον ἄρα, ὅτι τὸ ὑπὸ ΖΞΛ προσλαβὸν τὴν ὑπεροχήν, ᾗ ὑπερ‐ έχει τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΚΞΘ, ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΑΕ, τουτέστι τὸ ὑπὸ
70	ΖΘΛ· λοιπὸν ἄρα δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ ΚΞΘ μετὰ τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει τὸ ἀπὸ ΑΕ τοῦ ὑπὸ ΚΞΘ, ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΕ. ἔστι δέ· τὸ γὰρ ἔλασσον τὸ ὑπὸ ΚΞΘ προσλαβὸν τὴν ὑπεροχὴν ἴσον ἐστὶ τῷ μείζονι τῷ ἀπὸ ΑΕ.
3 . 25	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἔστω ἡ σύμπτωσις τῶν παραλλήλων ταῖς ΑΓ, ΒΔ ἐντὸς μιᾶς τῶν Δ, Β το‐ μῶν, ὡς ὑπόκειται, κατὰ τὸ Ξ. λέγω, ὅτι τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς
5	παραλλήλου τῇ πλαγίᾳ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΟΞΝ, τοῦ
5	πρὸς ὃ λόγον ἔχει τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τμημά‐ των τῆς παραλλήλου τῇ ὀρθίᾳ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΡΞΜ, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ὀρθίας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς πλαγίας, μεῖζον ἔσται τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς πλαγίας τετραγώνῳ.	372 in vol. 1
10	διὰ γὰρ τὰ αὐτά ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ὑπὸ ΠΞΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΣΞΛ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ ΔΕ τῷ ὑπὸ ΠΜΘ,[Omitted graphic marker] τὸ δὲ ἀπὸ ΑΕ τῷ ὑπὸ ΛΟΣ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς
15	τὸ ἀπὸ ΑΕ, τὸ ὑπὸ ΠΜΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΟΣ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ὅλον τὸ ὑπὸ ΠΞΘ πρὸς ὅλον τὸ ὑπὸ ΛΞΣ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ ὑπὸ ΠΜΘ πρὸς ἀφαιρεθὲν
20	τὸ ὑπὸ ΛΟΣ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΣΤΛ, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ΡΞΜ πρὸς λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΤΞΚ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΕ. δεικτέον ἄρα, ὅτι τὸ ὑπὸ ΟΞΝ τοῦ ὑπὸ ΤΞΚ μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς ἀπὸ ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ὑπὸ ΤΞΚ· λοιπὸν ἄρα
25	δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ ΟΤΝ ἴσον ἐστὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΑΕ. ἔστι δέ.
3 . 26	Ἐὰν δὲ ἡ κατὰ τὸ Ξ σύμπτωσις τῶν παραλλήλων ἐντὸς ᾖ μιᾶς τῶν Α, Γ τομῶν, ὡς ὑπόκειται, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς παραλλήλου τῇ πλαγίᾳ, τουτ‐ έστι τὸ ὑπὸ ΛΞΖ, τοῦ πρὸς ὃ λόγον ἔχει τὸ ὑπὸ τῆς
5	ἑτέρας τῶν τμημάτων, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΡΞΗ, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ὀρθίας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς πλαγίας, ἔλασσον ἔσται τῷ δὶς ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς πλαγίας τετραγώνῳ.
5	ἐπεὶ γὰρ διὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερόν ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΑ, τὸ ὑπὸ ΦΞΣ πρὸς τὸ	374 in vol. 1
10	ὑπὸ ΚΞΘ, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΡΞΗ λόγον ἔχει τὸν τοῦ ἀπὸ τῆς ὀρθίας πρὸς τὸ ἀπὸ[Omitted graphic marker] τῆς πλαγίας πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΞΘ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ. δεικτέον ἄρα, ὅτι τὸ ὑπὸ ΛΞΖ τοῦ ὑπὸ ΚΞΘ
15	μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἔλασσόν ἐστι τῷ δὶς ἀπὸ ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΑΕ· λοιπὸν ἄρα δεικτέον, ὅτι τὸ ὑπὸ ΛΞΖ τοῦ ὑπὸ ΚΞΘ ἔλασσόν ἐστι τῷ ἀπὸ ΑΕ, τουτ‐
20	έστι τῷ ὑπὸ ΛΘΖ. ἔστι δέ· τὸ γὰρ ὑπὸ ΛΘΖ μετὰ τοῦ ὑπὸ ΛΞΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΚΞΘ.
3 . 27	Ἐὰν ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας συζυγεῖς διά‐ μετροι ἀχθῶσι, καὶ λέγηται αὐτῶν ἡ μὲν ὀρθία, ἡ δὲ πλαγία, καὶ παρ’ αὐτὰς ἀχθῶσι δύο εὐθεῖαι συμ‐ πίπτουσαι ἀλλήλαις καὶ τῇ γραμμῇ, τὰ ἀπὸ τῶν ἀπο‐
5	λαμβανομένων εὐθειῶν ἐπ’ εὐθείας τῆς παρὰ τὴν πλαγίαν ἠγμένης μεταξὺ τῆς συμπτώσεως τῶν εὐθειῶν καὶ τῆς γραμμῆς τετράγωνα προσλαβόντα τὰ ἀπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων εὐθειῶν ἐπ’ εὐθείας τῆς παρὰ τὴν ὀρθίαν ἠγμένης μεταξὺ τῆς συμπτώσεως τῶν εὐθειῶν
10	καὶ τῆς γραμμῆς ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα εἴδη τῷ ὑποκειμένῳ εἴδει πρὸς τῇ ὀρθίᾳ διαμέτρῳ ἴσα ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς πλαγίας διαμέτρου τετραγώνῳ. ἔστω γὰρ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓΔ,
10	ἧς κέντρον τὸ Ε, καὶ ἤχθωσαν αὐτῆς δύο συζυγεῖς	376 in vol. 1
15	διάμετροι, ὀρθία μὲν ἡ ΑΕΓ, πλαγία δὲ ἡ ΒΕΔ, καὶ παρὰ τὰς ΑΓ, ΒΔ ἤχθωσαν αἱ ΝΖΗΘ, ΚΖΛΜ. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΝΖ, ΖΘ τετράγωνα προσλαβόντα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΖ, ΖΜ εἴδη ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγε‐ γραμμένα τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει ἴσα ἔσται τῷ ἀπὸ τῆς
20	ΒΔ τετραγώνῳ. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ν παρὰ τὴν ΑΕ ἡ ΝΞ· τεταγμέ‐ νως ἄρα κατῆκται ἐπὶ τὴν ΒΔ. καὶ ἔστω ὀρθία ἡ ΒΠ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΑΓ, ἡ ΑΓ πρὸς ΒΔ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΠ πρὸς ΒΔ, τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ
25	ἀπὸ ΒΔ. τὸ δὲ ἀπὸ ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει· ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΒΠ πρὸς ΒΔ, τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ εἶδος. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ εἶδος, τὸ ἀπὸ ΝΞ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΞ εἶδος ὅμοιον
30	τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΠΒ πρὸς ΒΔ, τὸ ἀπὸ ΝΞ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΞ εἶδος ὅμοιον τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΠΒ πρὸς ΒΔ, τὸ ἀπὸ ΝΞ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΞΔ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΝΞ εἶδος, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΖΛ,
35	ὅμοιον τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει, τῷ ὑπὸ ΒΞΔ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι τὸ ἀπὸ ΚΛ εἶδος ὅμοιον τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΒΛΔ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΘ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Η, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ζ, τὰ ἀπὸ τῶν ΘΖ, ΖΝ τετράγωνα διπλάσιά
40	εἰσι τῶν ἀπὸ ΘΗ, ΗΖ, τουτέστι τῶν ἀπὸ ΝΗ, ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὰ ἀπὸ ΜΖ, ΖΚ τετράγωνα δι‐
40	πλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ ΚΛΖ τετραγώνων, καὶ τὰ ἀπὸ ΜΖΚ εἴδη ὅμοια τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει διπλάσιά ἐστι τῶν ἀπὸ ΚΛΖ ὁμοίων εἰδῶν. ἴσα δέ ἐστι τὰ μὲν	378 in vol. 1
45	ἀπὸ ΚΛΖ εἴδη τοῖς ὑπὸ ΒΞΔ, ΒΛΔ, τὰ δὲ ἀπὸ ΝΗΖ τετράγωνα τοῖς ἀπὸ ΞΕΛ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΝΖΘ τετρά‐ γωνα μετὰ τῶν ἀπὸ ΚΖΜ εἰδῶν ὁμοίων τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει διπλάσιά ἐστι τῶν ὑπὸ ΒΞΔ, ΒΛΔ καὶ τῶν ἀπὸ ΞΕΛ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΒΔ τέτμηται εἰς
3 . 27 (50)	μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ξ, τὸ ὑπὸ ΒΞΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΞΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΛΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΛΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΒΕ· ὥστε τὰ ὑπὸ ΒΞΔ καὶ ὑπὸ ΒΛΔ καὶ τὰ ἀπὸ ΞΕ, ΛΕ ἴσα ἐστὶ τῷ δὶς ἀπὸ ΒΕ. τὰ ἄρα ἀπὸ
55	ΝΖΘ τετράγωνα μετὰ τῶν ἀπὸ ΚΖΜ εἰδῶν ὁμοίων τῷ πρὸς τῇ ΓΑ εἴδει διπλάσιά ἐστι τοῦ δὶς ἀπὸ ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΒΔ διπλάσιον τοῦ δὶς ἀπὸ ΒΕ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΝΖΘ τετράγωνα προσλαβόντα τὰ ἀπὸ ΚΖΜ εἴδη ὅμοια τῷ πρὸς τῇ ΑΓ εἴδει ἴσα ἐστὶ τῷ
60	ἀπὸ ΒΔ.
3 . 28	Ἐὰν ἐν ταῖς κατὰ συζυγίαν ἀντικειμέναις συζυγεῖς διάμετροι ἀχθῶσι, καὶ λέγηται αὐτῶν ἡ μὲν ὀρθία, ἡ δὲ πλαγία, ἀχθῶσι δὲ παρ’ αὐτὰς δύο εὐθεῖαι συμ‐ πίπτουσαι ἀλλήλαις καὶ ταῖς τομαῖς, τὰ ἀπὸ τῶν λαμ‐
5	βανομένων εὐθειῶν ἐπ’ εὐθείας τῆς παρὰ τὴν ὀρθίαν ἠγμένης μεταξὺ τῆς συμπτώσεως τῶν εὐθειῶν καὶ τῶν τομῶν τετράγωνα πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ἀπολαμβανομένων εὐθειῶν ἐπ’ εὐθείας τῆς παρὰ τὴν πλαγίαν ἠγμένης
5	μεταξὺ τῆς συμπτώσεως τῶν εὐθειῶν καὶ τῶν τομῶν	380 in vol. 1
10	τετράγωνα λόγον ἔχουσιν, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ὀρθίας τετρά‐ γωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς πλαγίας τετράγωνον. ἔστωσαν κατὰ συζυγίαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, Γ, Δ, διάμετροι δὲ αὐτῶν ὀρθία μὲν ἡ ΑΕΓ, πλαγία δὲ ἡ ΒΕΔ, καὶ παρ’ αὐτὰς ἤχθωσαν αἱ ΖΗΘΚ, ΛΗΜΝ
15	τέμνουσαι ἀλλήλας καὶ[Omitted graphic marker] τὰς τομάς. λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΛΗΝ τετρά‐ γωνα πρὸς τὰ ἀπὸ ΖΗΚ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς
20	ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Ζ, Λ τεταγμένως αἱ ΛΞ, ΖΟ· παράλληλοι ἄρα εἰσὶ ταῖς ΑΓ, ΒΔ. ἀπὸ δὲ τοῦ Β ἤχθω ἡ ὀρθία τῆς ΒΔ ἡ ΒΠ· φανερὸν
25	δή, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΠΒ πρὸς ΒΔ, τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ καὶ τὸ ἀπὸ ΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΒ καὶ τὸ ἀπὸ ΖΟ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΟΔ καὶ τὸ ὑπὸ ΓΞΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΞ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα
30	πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, τὸ ὑπὸ ΓΞΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ καὶ τοῦ ἀπὸ ΟΖ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΕΘ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΟΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΕ καὶ τοῦ ἀπὸ ΛΞ, τουτέστι τοῦ ἀπὸ ΜΕ. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΓΞΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΕ ἴσον
35	ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΞΕ, τὸ δὲ ὑπὸ ΔΟΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΒΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΟΕ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, τὰ ἀπὸ ΞΕΘ πρὸς τὰ ἀπὸ ΟΕΜ, τουτέστι
35	τὰ ἀπὸ ΛΜΗ πρὸς τὰ ἀπὸ ΖΘΗ. καί ἐστι τῶν μὲν ἀπὸ ΛΜΗ διπλάσια τὰ ἀπὸ ΝΗΛ, ὡς δέδεικται, τῶν	382 in vol. 1
40	δὲ ἀπὸ ΖΘΗ τὰ ἀπὸ ΖΗΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, τὰ ἀπὸ ΛΗΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΖΗΚ.
3 . 29	Τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων ἐὰν ἡ τῇ ὀρθίᾳ παρ‐ άλληλος τέμνῃ τὰς ἀσυμπτώτους, τὰ ἀπὸ τῶν ἀπο‐ λαμβανομένων εὐθειῶν ἐπ’ εὐθείας τῆς παρὰ τὴν ὀρθίαν ἠγμένης μεταξὺ τῆς συμπτώσεως τῶν εὐθειῶν
5	καὶ τῶν ἀσυμπτώτων προσλαβόντα τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ τῆς ὀρθίας τετραγώνου πρὸς τὰ ἀπὸ τῶν ἀπολαμβανο‐ μένων ἐπ’ εὐθείας τῆς παρὰ τὴν πλαγίαν ἠγμένης μεταξὺ τῆς συμπτώσεως τῶν[Omitted graphic marker] εὐθειῶν καὶ τῶν τομῶν τετρά‐
10	γωνα λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ τῆς ὀρθίας τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς πλαγίας τετρά‐ γωνον. ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τῷ πρό‐
15	τερον, ἡ δὲ ΝΛ τεμνέτω τὰς ἀσυμπτώτους κατὰ τὰ Ξ, Ο. δεικτέον, ὅτι τὰ ἀπὸ ΞΗΟ προσλαβόντα τὸ ἥμισυ τοῦ ἀπὸ ΑΓ, τουτέστι τὸ δὶς ἀπὸ ΕΑ [τουτέστι τὸ δὶς ὑπὸ ΟΛΞ], πρὸς τὰ ἀπὸ
20	ΖΗΚ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΟΝ, τὰ ἀπὸ τῶν ΛΗΝ τῶν ἀπὸ ΞΗΟ ὑπερέχει τῷ δὶς ὑπὸ ΝΞΛ· τὰ ἄρα ἀπὸ ΞΗΟ μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΑΕ ἴσα ἐστὶ τοῖς
20	ἀπὸ ΛΗΝ. τὰ δὲ ἀπὸ ΛΗΝ πρὸς τὰ ἀπὸ ΖΗΚ	384 in vol. 1
25	λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ· καὶ τὰ ἀπὸ ΞΗΟ ἄρα μετὰ τοῦ δὶς ἀπὸ ΕΑ πρὸς τὰ ἀπὸ ΖΗΚ λόγον ἔχει, ὃν τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ.
3 . 30	Ἐὰν ὑπερβολῆς δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμ‐ πίπτωσι, καὶ διὰ μὲν τῶν ἁφῶν εὐθεῖα ἐκβληθῇ, διὰ δὲ τῆς συμπτώσεως ἀχθῇ εὐθεῖα παρά τινα τῶν ἀσυμ‐ πτώτων τέμνουσα τήν τε τομὴν καὶ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπι‐
5	ζευγνύουσαν, ἡ μεταξὺ τῆς συμπτώσεως καὶ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς τομῆς. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ, καὶ ἐφαπτόμεναι μὲν αἱ ΑΔΓ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΕΖΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ, καὶ διὰ τοῦ Δ παρὰ τὴν ΖΕ ἤχθω ἡ ΔΚΛ. λέγω,
10	ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΔΚ τῇ ΚΛ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΖΔΒΜ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκά‐ τερα, καὶ κείσθω τῇ ΒΖ ἴση ἡ ΖΘ, καὶ διὰ τῶν Β, Κ σημείων παρὰ τὴν ΑΓ ἤχθωσαν αἱ ΒΕ, ΚΝ· τε‐ ταγμένως ἄρα κατηγμέναι εἰσί. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι
15	τὸ ΒΕΖ τρίγωνον τῷ ΔΝΚ, ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΒΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ, οὕτως ἡ ΘΒ πρὸς τὴν ὀρθίαν· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, ἡ ΘΒ πρὸς τὴν ὀρθίαν. ἀλλ’ ὡς ἡ ΘΒ
20	πρὸς τὴν ὀρθίαν, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΔΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, τὸ ὑπὸ ΘΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ. ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΘΝΒ
20	τῷ ἀπὸ ΔΝ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΜΖΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΖΒ, διότι ἡ μὲν ΑΔ ἐφάπτεται, ἡ δὲ ΑΜ κατῆκται·	386 in vol. 1
25	ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ ΘΝΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΜΖΔ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΝ. τὸ δὲ ὑπὸ ΘΝΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΖΝ· καὶ τὸ ὑπὸ ΜΖΔ ἄρα μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΝ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΝ. ἡ ἄρα ΔΜ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ν προσκειμένην ἔχουσα
30	τὴν ΔΖ. καὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ ΚΝ, ΛΜ· ἴση ἄρα ἡ ΔΚ τῇ ΚΛ.
3 . 31	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ διὰ μὲν τῶν ἁφῶν εὐθεῖα ἐκβληθῇ, διὰ δὲ τῆς συμπτώσεως ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τὴν ἀσύμ‐ πτωτον τέμνουσα τήν τε τομὴν καὶ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπι‐
5	ζευγνύουσαν, ἡ μεταξὺ τῆς συμπτώσεως καὶ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς τομῆς. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, ἐφαπτόμεναι δὲ αἱ ΑΓΒ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΒ ἐκβεβλήσθω, ἀσύμπτωτος δὲ ἔστω ἡ ΖΕ, καὶ διὰ[Omitted graphic marker]
10	τοῦ Γ παρὰ τὴν ΖΕ ἤχθω ἡ ΓΗΘ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ΗΘ. ἐπεζεύχθω ἡ ΓΕ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Δ, καὶ
15	διὰ τῶν Ε, Η παρὰ τὴν ΑΒ ἤχθωσαν ἡ ΝΕΚΜ καὶ ἡ ΗΞ, διὰ δὲ τῶν Η, Κ παρὰ τὴν ΓΔ αἱ ΚΖ, ΗΛ. ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΚΖΕ τῷ ΜΛΗ, ἔστιν, ὡς τὸ
15	ἀπὸ ΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ, τὸ ἀπὸ ΜΛ πρὸς τὸ ἀπὸ	388 in vol. 1
20	ΛΗ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΕΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΖ, δέδεικται τὸ ὑπὸ ΝΛΚ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΗ· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΝΛΚ τῷ ἀπὸ ΜΛ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΚΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΝΛΚ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΚΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΛΕ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΗΞ, ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ΜΛ, ΚΕ.
25	ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΗΞ πρὸς τὰ ἀπὸ ΜΛ, ΚΕ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΞΓ πρὸς τὰ ἀπὸ ΛΗ, ΚΖ· ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΞΓ τοῖς ἀπὸ ΗΛ, ΚΖ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ ΛΗ τῷ ἀπὸ ΞΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ΚΖ τῷ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τῆς δευτέρας διαμέτρου, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΓΕΔ· τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΞ
30	ἴσον ἐστὶ τῷ τε ἀπὸ ΞΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΓΕΔ. ἡ ἄρα ΓΔ δίχα μὲν τέτμηται κατὰ τὸ Ξ, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Ε. καὶ παράλληλος ἡ ΔΘ τῇ ΗΞ· ἴση ἄρα ἡ ΓΗ τῇ ΗΘ.
3 . 32	Ἐὰν ὑπερβολῆς δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμ‐ πίπτωσι, καὶ διὰ τῶν ἁφῶν εὐθεῖα ἐκβληθῇ, διὰ δὲ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν, διὰ δὲ τῆς διχοτομίας
5	τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης ἀχθῇ εὐθεῖα παρά τινα τῶν ἀσυμπτώτων, ἡ μεταξὺ τῆς διχοτομίας καὶ τῆς παραλλήλου ἀπολαμβανομένη δίχα τμηθήσεται ὑπὸ τῆς τομῆς. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἧς κέντρον τὸ Δ, ἀσύμ‐
10	πτωτος δὲ ἡ ΔΕ, καὶ ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΑ καὶ ἡ ΖΔ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὰ Η, Θ· φανερὸν δή, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΘΓ. ἤχθω
10	δὴ διὰ μὲν τοῦ Ζ παρὰ τὴν ΑΓ ἡ ΖΚ, διὰ δὲ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΔΕ ἡ ΘΛΚ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΚΛ	390 in vol. 1
15	τῇ ΘΛ. ἤχθωσαν διὰ τῶν Β, Λ παρὰ τὴν ΑΓ αἱ ΛΜ, ΒΕ· ἔσται δή, ὡς προδέδεικται, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΕ, τό τε ἀπὸ ΘΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΛ καὶ τὸ ὑπὸ ΒΜΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΛ· ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΗΜΒ τῷ
20	ἀπὸ ΜΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΘΔΖ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΒ, διότι ἐφάπτεται ἡ ΑΖ, καὶ κατῆκται ἡ ΑΘ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΗΜΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΔΒ, ὅ ἐστι τὸ ἀπὸ ΔΜ, ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΘΔΖ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΜΘ. δίχα ἄρα τέτμηται ἡ ΖΘ κατὰ τὸ Μ προσκειμένην ἔχουσα τὴν
25	ΔΖ. καί εἰσι παράλληλοι αἱ ΚΖ, ΛΜ· ἴση ἄρα ἡ ΚΛ τῇ ΛΘ.
3 . 33	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ διὰ μὲν τῶν ἁφῶν εὐθεῖα ἐκβληθῇ, διὰ δὲ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν, διὰ δὲ τῆς διχο‐
5	τομίας τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης ἀχθῇ εὐθεῖα παρά τινα τῶν ἀσυμπτώτων συμπίπτουσα τῇ τομῇ καὶ τῇ διὰ τῆς συμπτώσεως ἠγμένῃ παραλλήλῳ, ἡ μεταξὺ τῆς διχοτομίας καὶ τῆς παρ‐[Omitted graphic marker] αλλήλου ὑπὸ τῆς τομῆς
10	δίχα διαιρεθήσεται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ καὶ ἐφ‐ απτόμεναι αἱ ΑΗ, ΔΗ, κέντρον δὲ τὸ Θ, ἀσύμπτωτος δὲ ἡ ΚΘ, καὶ ἐπε‐
15	ζεύχθω ἡ ΘΗ καὶ ἐκβεβλήσθω, ἐπεζεύχθω δὲ καὶ ἡ ΑΛΔ· φανερὸν δή, ὅτι δίχα τέμνεται κατὰ τὸ Λ. ἤχθω‐ σαν δὴ διὰ τῶν Η, Θ παρὰ τὴν ΑΔ αἱ ΒΘΕ, ΓΗΖ, παρὰ δὲ τὴν ΘΚ διὰ τοῦ Λ ἡ ΛΜΝ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΛΜ τῇ ΜΝ.	392 in vol. 1
20	κατήχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Ε, Μ παρὰ τὴν ΗΘ αἱ ΕΚ, ΜΞ, διὰ δὲ τοῦ Μ παρὰ τὴν ΑΔ ἡ ΜΠ. ἐπεὶ οὖν διὰ τὰ δεδειγμένα ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΚ, τὸ ὑπὸ ΒΞΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΜ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΚ, τὸ ὑπὸ ΒΞΕ
25	μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΕ, ὅ ἐστι τὸ ἀπὸ ΘΞ, πρὸς τὰ ἀπὸ ΚΕ, ΞΜ. τὸ δὲ ἀπὸ ΚΕ ἴσον δέδεικται τῷ ὑπὸ ΗΘΛ, καὶ τὸ ἀπὸ ΞΜ τῷ ἀπὸ ΘΠ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΚ, τὸ ἀπὸ ΘΞ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΜΠ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΘΗ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΠ. ὡς δὲ
30	τὸ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΕ, τὸ ἀπὸ ΜΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΛ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΛ, τὸ ἀπὸ ΜΠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΗΘΛ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΠ. ἴσον ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΠ τῷ ὑπὸ ΗΘΛ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΘΠ. εὐθεῖα ἄρα ἡ ΛΗ τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Π, εἰς
35	δὲ ἄνισα κατὰ τὸ Θ. καί εἰσι παράλληλοι αἱ ΜΠ, ΗΝ· ἴση ἄρα ἡ ΛΜ τῇ ΜΝ.
3 . 34	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων ληφθῇ τι σημεῖον, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ εὐθεῖα ἐφάπτηται τῆς τομῆς, καὶ διὰ τῆς ἁφῆς ἀχθῇ παράλληλος τῇ ἀσυμπτώτῳ, ἡ διὰ τοῦ ληφθέντος σημείου ἀγομένη παράλληλος τῇ
5	ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων ὑπὸ τῆς τομῆς εἰς ἴσα δι‐
5	αιρεθήσεται. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΓΔΕ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΓΔ τυχὸν σημεῖον τὸ Γ, καὶ δι’ αὐτοῦ ἤχθω ἐφαπτομένη τῆς[Omitted graphic marker]	394 in vol. 1
10	τομῆς ἡ ΓΒΕ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Β παρὰ τὴν ΓΔ ἤχθω ἡ ΖΒΗ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΔΕ ἡ ΓΑΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. ἤχθω γὰρ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ
15	ΓΔ παράλληλος ἡ ΑΘ, διὰ δὲ τοῦ Β τῇ ΔΕ ἡ ΒΚ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΚΔ καὶ ἡ ΔΖ τῇ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ ΚΒΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΑΘ, ἴση δὲ ἡ ΒΖ τῇ ΔΚ, τουτέστι τῇ ΓΚ, καὶ ἡ
20	ΑΘ τῇ ΔΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΓΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΚΓΗ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΔΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΗ πρὸς ΑΓ. διπλῆ δὲ ἡ ΔΓ τῆς ΓΚ· διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΓΗ τῆς ΑΓ. ἴση ἄρα ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ.
3 . 35	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἀπὸ τοῦ ληφθέντος σημείου εὐθεῖά τις ἀχθῇ τέμνουσα τὴν τομὴν κατὰ δύο σημεῖα, ἔσται, ὡς ὅλη πρὸς τὴν ἐκτὸς ἀπολαμβανομένην, τὰ τμήματα τῆς ἐντὸς ἀπολαμβανομένης εὐθείας.
5	ἔστω γὰρ ἡ ΑΒ ὑπερβολὴ καὶ αἱ ΓΔΕ ἀσύμπτωτοι καὶ ἡ ΓΒΕ ἐφαπτομένη καὶ ἡ ΘΒ παράλληλος, καὶ διὰ τοῦ Γ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΓΑΛΖΗ τέμνουσα τὴν τομὴν κατὰ τὰ Α, Ζ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ, ἡ ΖΛ πρὸς ΑΛ.
10	ἤχθωσαν γὰρ διὰ τῶν Γ, Α, Β, Ζ παρὰ τὴν ΔΕ αἱ ΓΝΞ, ΚΑΜ, ΟΠΒΡ, ΖΥ, διὰ δὲ τῶν Α, Ζ παρὰ τὴν ΓΔ αἱ ΑΠΣ, ΤΖΡΜΞ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΖΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῇ ΤΗ. ἡ δὲ ΚΑ τῇ ΔΣ· καὶ ἡ ΤΗ ἄρα τῇ	396 in vol. 1
15	ΔΣ ἴση. ὥστε καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΔΥ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΔΥ, ἴση καὶ ἡ ΔΚ τῇ ΓΥ· ὡς ἄρα ἡ ΔΚ πρὸς ΚΓ, ἡ ΥΓ πρὸς ΓΚ. ὡς δὲ ἡ ΥΓ πρὸς ΓΚ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ, ἡ ΜΚ πρὸς ΚΑ, ὡς δὲ ἡ ΜΚ πρὸς ΚΑ, τὸ ΜΔ πρὸς ΔΑ, ὡς
20	δὲ ἡ ΔΚ πρὸς ΚΓ, τὸ ΘΚ πρὸς ΚΝ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΜΔ πρὸς τὸ ΔΑ, τὸ ΘΚ πρὸς ΚΝ. ἴσον δὲ τὸ ΑΔ τῷ ΔΒ, τουτέστι τῷ ΟΝ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ τῇ ΒΕ καὶ ἡ ΔΟ τῇ ΟΓ. ὡς ἄρα τὸ ΔΜ πρὸς ΟΝ, τὸ ΚΘ πρὸς ΚΝ, καὶ λοιπὸν τὸ ΜΘ πρὸς λοιπὸν τὸ ΒΚ
25	ἐστιν, ὡς ὅλον τὸ ΔΜ πρὸς ὅλον τὸ ΟΝ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΚΣ τῷ ΘΟ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΔΠ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΠ ἴσον ἐστὶ τῷ ΠΘ. κοινὸν προσ‐ κείσθω τὸ ΑΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΚΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘ. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ΜΔ πρὸς ΔΑ, οὕτως τὸ ΜΘ πρὸς
30	ΘΑ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ΜΔ πρὸς ΔΑ, ἡ ΜΚ πρὸς ΚΑ, τουτέστιν ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ, ὡς δὲ τὸ ΜΘ πρὸς ΘΑ, ἡ ΜΦ πρὸς ΦΑ, τουτέστιν ἡ ΖΛ πρὸς ΛΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς ΓΑ, ἡ ΖΛ πρὸς ΛΑ.
3 . 36	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἡ ἀπὸ τοῦ σημείου δια‐ γομένη εὐθεῖα μήτε τὴν τομὴν τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα
3 . 36	μήτε παράλληλος ᾖ τῇ ἀσυμπτώτῳ, συμπεσεῖται μὲν τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ, ἔσται δέ, ὡς ὅλη πρὸς τὴν με‐	398 in vol. 1
5	ταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς διὰ τῆς ἁφῆς παραλλήλου, ἡ μεταξὺ τῆς ἀντικειμένης καὶ τῆς ἀσυμπτώτου πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς ἀσυμπτώτου καὶ τῆς ἑτέρας τομῆς. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, ὧν κέντρον τὸ Γ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΔΕ, ΖΗ, καὶ ἐπὶ τῆς ΓΗ σημεῖον
10	εἰλήφθω τὸ Η, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἤχθω ἡ μὲν ΗΒΕ ἐφ‐ απτομένη, ἡ δὲ ΗΘ μήτε παράλληλος οὖσα τῇ ΓΕ μήτε τὴν τομὴν τέμνουσα κατὰ δύο σημεῖα. ὅτι μὲν ἡ ΘΗ ἐκβαλλομένη συμπίπτει τῇ τε ΓΔ καὶ διὰ τοῦτο καὶ τῇ Α τομῇ, δέδεικται. συμπιπτέτω
15	κατὰ τὸ Α, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β τῇ ΓΗ παράλληλος ἡ ΚΒΛ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Α, Θ σημείων παρὰ τὴν ΓΗ αἱ ΘΜ, ΑΝ, ἀπὸ δὲ τῶν Β, Η, Θ παρὰ τὴν ΔΕ
20	αἱ ΒΞ, ΗΠ, ΡΘΣΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΗΘ, ἔστιν, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ, ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ, ἡ ΝΣ πρὸς ΣΘ, ὡς δὲ ἡ ΔΘ πρὸς ΘΗ, ἡ ΓΣ πρὸς ΣΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΝΣ πρὸς ΣΘ, ἡ ΓΣ πρὸς ΣΗ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΝΣ πρὸς
25	ΣΘ, τὸ ΝΓ πρὸς ΓΘ, ὡς δὲ ἡ ΓΣ πρὸς ΣΗ, τὸ ΡΓ πρὸς ΡΗ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΝΓ πρὸς τὸ ΓΘ, τὸ ΓΡ πρὸς τὸ ΡΗ. καὶ ὡς ἓν πρὸς ἕν, οὕτως ἅπαντα πρὸς ἅπαντα· ὡς ἄρα τὸ ΝΓ πρὸς ΓΘ, ὅλον τὸ ΝΛ πρὸς ΓΘ καὶ ΡΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΕΒ τῇ ΒΗ, ἴση
30	ἐστὶ καὶ ἡ ΛΒ τῇ ΒΠ καὶ τὸ ΛΞ τῷ ΒΗ. τὸ δὲ ΛΞ ἴσον τῷ ΓΘ· καὶ τὸ ΒΗ ἄρα ἴσον τῷ ΓΘ. ἔστιν ἄρα,
30	ὡς τὸ ΝΓ πρὸς ΓΘ, οὕτως ὅλον τὸ ΛΝ πρὸς τὸ ΒΗ καὶ ΡΗ, τουτέστι τὸ ΡΞ. ἴσον δὲ τὸ ΡΞ τῷ ΛΘ, ἐπεὶ καὶ τὸ ΓΘ τῷ ΒΓ καὶ τὸ ΜΒ τῷ ΞΘ. ἔστιν ἄρα,	400 in vol. 1
35	ὡς τὸ ΝΓ πρὸς τὸ ΓΘ, οὕτως τὸ ΝΛ πρὸς ΛΘ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ΝΓ πρὸς ΓΘ, ἡ ΝΣ πρὸς ΣΘ, τουτέστιν ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ, ὡς δὲ τὸ ΝΛ πρὸς ΛΘ, ἡ ΝΡ πρὸς ΡΘ, τουτέστιν ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΚ πρὸς ΚΘ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΘ.
3 . 37	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας ἢ τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ ἐπὶ μὲν τὰς ἁφὰς αὐτῶν ἐπιζευχθῇ εὐθεῖα, ἀπὸ δὲ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων διαχθῇ τις τέμ‐
5	νουσα τὴν γραμμὴν κατὰ δύο σημεῖα, ἔσται, ὡς ὅλη πρὸς τὴν ἐκτὸς ἀπολαμβανομένην, τὰ γινόμενα τμή‐ ματα ὑπὸ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης.[Omitted graphic marker] ἔστω κώνου τομὴ ἡ ΑΒ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΓ, ΓΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΓΔΕΖ. λέγω,
10	ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ΓΔ, ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ.
10	ἤχθωσαν διὰ τῶν Γ, Α διάμετροι τῆς τομῆς αἱ ΓΘ, ΑΚ, διὰ δὲ τῶν Ζ, Δ παρὰ τὰς ΑΘ, ΛΓ αἱ ΔΠ, ΖΡ, ΛΖΜ, ΝΔΟ. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ ΛΖΜ τῇ ΞΔΟ, ἔστιν, ὡς ἡ ΖΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΛΖ	402 in vol. 1
15	πρὸς ΞΔ καὶ ἡ ΖΜ πρὸς ΔΟ καὶ ἡ ΛΜ πρὸς ΞΟ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, τὸ ἀπὸ ΖΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΟ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, τὸ ΛΜΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΞΓΟ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΖΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ, τὸ ΖΡΜ τρίγωνον πρὸς
20	τὸ ΔΠΟ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΛΓΜ πρὸς τὸ ΞΟΓ, τὸ ΖΡΜ πρὸς τὸ ΔΠΟ, καὶ λοιπὸν τὸ ΛΓΡΖ τετρά‐ πλευρον πρὸς λοιπὸν τὸ ΞΓΠΔ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΛΓΡΖ τετράπλευρον τῷ ΑΛΚ τριγώνῳ, τὸ δὲ ΞΓΠΔ τῷ ΑΝΞ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, τὸ
25	ΑΛΚ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΝΞ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΟ, τὸ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, ὡς δὲ τὸ ΑΛΚ πρὸς τὸ ΑΝΞ, τὸ ἀπὸ ΛΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΞ καὶ τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΔ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΔ, τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς
30	τὸ ἀπὸ ΕΔ. καὶ διὰ τοῦτο ὡς ἡ ΖΓ πρὸς ΓΔ, ἡ ΖΕ πρὸς ΔΕ.
3 . 38	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν διὰ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἀχθῇ τις εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπι‐ ζευγνύουσαν, καὶ διὰ μέσης τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγ‐ νυούσης ἀχθεῖσα εὐθεῖα τέμνῃ τὴν τομὴν κατὰ δύο
5	σημεῖα καὶ τὴν διὰ τῆς συμπτώσεως παράλληλον τῇ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσῃ, ἔσται, ὡς ὅλη ἡ διηγμένη
5	πρὸς τὴν ἐκτὸς ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς παραλλήλου, τὰ γινόμενα τμήματα ὑπὸ τῆς ἐπὶ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυμένης.	404 in vol. 1
10	ἔστω ἡ ΑΒ τομὴ καὶ αἱ ΑΓ, ΒΓ ἐφαπτόμεναι καὶ ἡ ΑΒ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα καὶ αἱ ΑΝ, ΓΜ διά‐ μετροι· φανερὸν δή, ὅτι ἡ ΑΒ[Omitted graphic marker] δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Ε. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ τῇ ΑΒ
15	παράλληλος ἡ ΓΟ, καὶ διήχθω διὰ τοῦ Ε ἡ ΖΕΔΟ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΖΟ πρὸς ΟΔ, ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν
20	Ζ, Δ παρὰ τὴν ΑΒ αἱ ΛΖΚΜ, ΔΘΗΞΝ, διὰ δὲ τῶν Ζ, Η παρὰ τὴν ΛΓ αἱ ΖΡ, ΗΠ. ὁμοίως δὴ τοῖς πρότερον δειχθήσεται, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΘ, τὸ ἀπὸ
25	ΛΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΞ. καί ἐστιν, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΘ, τὸ ἀπὸ ΛΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΞ καὶ τὸ ἀπὸ ΖΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΛΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΞ, τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΔ· ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΖΟ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ, τὸ ἀπὸ ΖΕ πρὸς τὸ
30	ἀπὸ ΕΔ, καὶ ὡς ἡ ΖΟ πρὸς ΟΔ, ἡ ΖΕ πρὸς ΕΔ.
3 . 39	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ διὰ τῶν ἁφῶν εὐθεῖα ἐκβληθῇ, ἀπὸ
3 . 39	δὲ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἀχθεῖσα εὐθεῖα τέμνῃ ἑκατέραν τῶν τομῶν καὶ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπι‐	406 in vol. 1
5	ζευγνύουσαν, ἔσται, ὡς ὅλη ἡ διηγμένη πρὸς τὴν ἐκτὸς ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης, οὕτως τὰ γινόμενα τμήματα τῆς εὐθείας ὑπὸ τῶν τομῶν καὶ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, ὧν κέντρον τὸ Γ,
10	ἐφαπτόμεναι δὲ αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΑΒ, ΓΔ ἐκβεβλήσθωσαν, καὶ διὰ τοῦ Δ διήχθω τις εὐθεῖα ἡ ΕΔΖΗ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ καὶ ἐκβεβλήσθω, καὶ διὰ τῶν
15	Ε, Ζ παρὰ μὲν τὴν ΑΒ ἤχθωσαν αἱ ΕΘΣ, ΖΛΜΝΞΟ, παρὰ δὲ τὴν ΑΔ αἱ ΕΠ, ΖΡ. ἐπεὶ οὖν παράλληλοί εἰσιν αἱ ΖΞ, ΕΣ καὶ δι‐ ηγμέναι εἰς αὐτὰς αἱ ΕΖ, ΞΣ, ΘΜ, ἔστιν, ὡς ἡ ΕΘ πρὸς ΘΣ, ἡ ΖΜ πρὸς ΜΞ. καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΕΘ
20	πρὸς ΖΜ, ἡ ΘΣ πρὸς ΞΜ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΖ, τὸ ἀπὸ ΘΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΜ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΕΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΖ, τὸ ΕΘΠ τρί‐ γωνον πρὸς τὸ ΖΡΜ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΘΣ πρὸς τὸ ἀπὸ ΞΜ, τὸ ΔΘΣ τρίγωνον πρὸς τὸ ΞΜΔ· καὶ ὡς ἄρα
25	τὸ ΕΘΠ πρὸς τὸ ΖΡΜ, τὸ ΔΘΣ πρὸς τὸ ΞΜΔ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ΕΘΠ τοῖς ΑΣΚ, ΘΔΣ, τὸ δὲ ΡΜΖ τοῖς ΑΞΝ, ΔΜΞ· ὡς ἄρα τὸ ΔΘΣ πρὸς τὸ ΞΜΔ, τὸ ΑΣΚ μετὰ τοῦ ΘΔΣ πρὸς τὸ ΑΞΝ μετὰ τοῦ ΞΜΔ, καὶ λοιπὸν τὸ ΑΣΚ πρὸς λοιπὸν τὸ ΑΝΞ
30	ἐστιν, ὡς τὸ ΔΣΘ πρὸς τὸ ΔΞΜ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ΑΣΚ πρὸς τὸ ΑΝΞ, τὸ ἀπὸ ΚΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΝ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΕΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, ὡς δὲ τὸ ΔΘΣ πρὸς τὸ ΞΔΜ, τὸ ἀπὸ ΘΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΜ, τουτ‐ έστι τὸ ἀπὸ ΕΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΖ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΗ	408 in vol. 1
35	πρὸς ΗΖ, ἡ ΕΔ πρὸς ΔΖ.
3 . 40	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν διὰ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐφαπτομένων ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπι‐ ζευγνύουσαν, καὶ ἀπὸ μέσης τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγ‐ νυούσης ἀχθεῖσα εὐθεῖα τέμνῃ ἑκατέραν τῶν τομῶν
5	καὶ τὴν παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν, ἔσται, ὡς ὅλη ἡ διηγμένη πρὸς τὴν ἐκτὸς ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τῆς παραλλήλου καὶ τῆς τομῆς, οὕτως τὰ γι‐ νόμενα τμήματα τῆς εὐθείας ὑπὸ τῶν τομῶν καὶ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης.
10	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, ὧν κέντρον τὸ Γ, ἐφαπτόμεναι δὲ αἱ ΑΔ, ΔΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἡ ΓΔΕ· ἴση ἄρα ἡ ΑΕ τῇ ΕΒ. καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Δ παρὰ τὴν ΑΒ ἤχθω ἡ ΖΔΗ, ἀπὸ δὲ τοῦ Ε, ὡς ἔτυχεν, ἡ ΛΕ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΘΛ πρὸς
15	ΛΚ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ. ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Θ, Κ παρὰ μὲν τὴν ΑΒ αἱ ΝΜΘΞ, ΚΟΠ, παρὰ δὲ τὴν ΑΔ αἱ ΘΡ, ΚΣ, καὶ διήχθω ἡ ΞΑΓΤ. ἐπεὶ οὖν εἰς παραλλήλους τὰς ΞΜ, ΚΠ διηγμέναι
20	εἰσὶν αἱ ΞΑΥ, ΜΑΠ, ἔστιν, ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΥ,
20	ἡ ΜΑ πρὸς ΑΠ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΞΑ πρὸς ΑΥ, ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ· ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ, ἡ ΘΝ πρὸς ΚΟ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΘΕΝ, ΚΕΟ τριγώνων· ὡς ἄρα ἡ ΘΝ πρὸς ΚΟ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΠ· καὶ ὡς ἄρα	410 in vol. 1
25	τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΟ, τὸ ἀπὸ ΜΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΠ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΚ, τὸ ΘΡΝ τρίγωνον πρὸς τὸ ΚΣΟ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΠ, τὸ ΞΜΑ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΥΠ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΘΝΡ πρὸς τὸ ΚΟΣ, τὸ ΞΜΑ πρὸς
30	τὸ ΑΥΠ. ἴσον δὲ τὸ ΘΝΡ τοῖς ΞΑΜ, ΜΝΔ, τὸ δὲ ΣΟΚ τοῖς ΑΥΠ, ΔΟΠ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ΞΜΑ μετὰ τοῦ ΜΝΔ τριγώνου πρὸς τὸ ΑΥΠ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΠΔΟ τριγώνου, οὕτως τὸ ΞΜΑ τρίγωνον πρὸς τὸ ΠΥΑ τρίγωνον· καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΝΜΔ
35	πρὸς λοιπὸν τὸ ΔΟΠ τρίγωνόν ἐστιν, ὡς ὅλον πρὸς ὅλον. ἀλλ’ ὡς τὸ ΞΜΑ τρίγωνον πρὸς τὸ ΑΥΠ τρίγωνον, τὸ ἀπὸ ΞΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΥ, ὡς δὲ τὸ ΜΔΝ πρὸς τὸ ΠΔΟ, τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΟ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΟ, τὸ ἀπὸ
40	ΞΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΥ. ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΜΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΟ, τὸ ἀπὸ ΝΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΟΔ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΞΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΥ, τὸ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΕΚ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΝΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΟ, τὸ ἀπὸ ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΕ πρὸς τὸ
45	ἀπὸ ΕΚ, τὸ ἀπὸ ΘΛ πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΚ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΚ, ἡ ΘΛ πρὸς ΛΚ.
3 . 41	Ἐὰν παραβολῆς τρεῖς εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμ‐
3 . 41	πίπτωσιν ἀλλήλαις, εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τμηθήσονται. ἔστω παραβολὴ ἡ ΑΒΓ, ἐφαπτόμεναι δὲ αἱ ΑΔΕ, ΕΖΓ, ΔΒΖ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ, ἡ	412 in vol. 1
5	ΕΔ πρὸς ΔΑ καὶ ἡ ΖΒ πρὸς ΒΔ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΓ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Η. ὅτι μὲν οὖν ἡ ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Η διάμετρός ἐστι τῆς τομῆς, φανερόν.
10	εἰ μὲν οὖν διὰ τοῦ Β ἔρχεται, παράλληλός ἐστιν ἡ ΔΖ τῇ ΑΓ καὶ δίχα τμηθήσεται κατὰ τὸ Β ὑπὸ τῆς ΕΗ, καὶ διὰ τοῦτο ἴση ἔσται ἡ ΑΔ τῇ ΔΕ καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΖΕ, καὶ φανερὸν τὸ ζητούμενον. μὴ ἐρχέσθω διὰ τοῦ Β, ἀλλὰ διὰ τοῦ Θ, καὶ ἤχθω
15	διὰ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΑΓ ἡ ΚΘΛ· ἐφάψεται ἄρα τῆς τομῆς κατὰ τὸ Θ, καὶ διὰ τὰ εἰρημένα ἴση ἔσται ἡ ΑΚ τῇ ΚΕ καὶ ἡ ΛΓ τῇ ΛΕ. ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Β παρὰ τὴν ΕΗ ἡ ΜΝΒΞ, διὰ δὲ τῶν Α, Γ παρὰ τὴν ΔΖ αἱ ΑΟ, ΓΠ. ἐπεὶ οὖν παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ
20	ΕΘ, διάμετρός ἐστιν ἡ ΜΒ· καὶ ἐφάπτεται κατὰ τὸ Β ἡ ΔΖ· κατηγμέναι ἄρα εἰσὶν αἱ ΑΘ, ΓΠ. καὶ ἐπεὶ διάμετρός ἐστιν ἡ ΜΒ, ἐφαπτομένη δὲ ἡ ΓΜ, κατ‐ ηγμένη δὲ ἡ ΓΠ, ἴση ἔσται ἡ ΜΒ τῇ ΒΠ· ὥστε καὶ ἡ ΜΖ τῇ ΖΓ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΜΖ τῇ ΖΓ καὶ
25	ἡ ΕΛ τῇ ΛΓ, ἔστιν, ὡς ἡ ΜΓ πρὸς ΓΖ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΛ· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΜΓ πρὸς ΓΕ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΛ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΜΓ πρὸς ΓΕ, ἡ ΞΓ πρὸς ΓΗ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΓ πρὸς ΓΛ, ἡ ΞΓ πρὸς ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΗΓ πρὸς ΓΑ, ἡ ΛΓ πρὸς ΓΕ [διπλασία γὰρ ἑκατέρα]·
30	δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΞ, ἡ ΕΓ πρὸς ΓΖ, καὶ ἀναστρέψαντι, ὡς ἡ ΕΓ πρὸς ΕΖ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΞ· διελόντι, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ, ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ. πάλιν ἐπεὶ διάμετρός ἐστιν ἡ ΜΒ καὶ ἐφαπτομένη ἡ ΑΝ καὶ κατηγμένη ἡ ΑΟ, ἴση ἐστὶν ἡ ΝΒ τῇ ΒΟ καὶ ἡ	414 in vol. 1
35	ΝΔ τῇ ΔΑ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΚ τῇ ΚΑ· ὡς ἄρα ἡ ΑΕ πρὸς ΑΚ, ἡ ΝΑ πρὸς ΑΔ· ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΝ, ἡ ΚΑ πρὸς ΑΔ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΕΑ πρὸς ΑΝ, ἡ ΗΑ πρὸς ΑΞ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΑ πρὸς ΑΔ, ἡ ΗΑ πρὸς ΑΞ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΗ, ἡ ΕΑ
40	πρὸς ΑΚ [διπλασία γὰρ ἑκατέρα ἑκατέρας]· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΞ, ἡ ΕΑ πρὸς ΑΔ· διελόντι, ὡς ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ, ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ. ἐδείχθη δὲ καί, ὡς ἡ ΓΞ πρὸς ΑΞ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ· ὡς ἄρα ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ, ἡ ΕΔ πρὸς ΑΔ. πάλιν ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ
45	ΓΞ πρὸς ΞΑ, ἡ ΓΠ πρὸς ΑΟ, καί ἐστιν ἡ μὲν ΓΠ τῆς ΒΖ διπλῆ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς ΜΖ, ἡ δὲ ΑΟ τῆς ΒΔ, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΝ τῆς ΝΔ, ὡς ἄρα ἡ ΓΞ πρὸς ΞΑ, ἡ ΖΒ πρὸς ΒΔ καὶ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ καὶ ἡ ΕΔ πρὸς ΔΑ.
3 . 42	Ἐὰν ἐν ὑπερβολῇ ἢ ἐλλείψει ἢ κύκλου περιφερείᾳ ἢ ταῖς ἀντικειμέναις ἀπ’ ἄκρας τῆς διαμέτρου ἀχθῶσι παρὰ τεταγμένως κατηγμένην, ἄλλη δέ τις, ὡς ἔτυχεν, ἀχθῇ ἐφαπτομένη, ἀποτεμεῖ ἀπ’ αὐτῶν εὐθείας ἴσον
5	περιεχούσας τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ πρὸς τῇ αὐτῇ δια‐ μέτρῳ εἴδους. ἔστω γάρ τις τῶν προειρημένων τομῶν, ἧς διά‐
5	μετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Α, Β ἤχθωσαν παρα‐ τεταγμένως κατηγμένην αἱ ΑΓ, ΔΒ, ἄλλη δέ τις ἐφ‐	416 in vol. 1
10	απτέσθω κατὰ τὸ Ε ἡ ΓΕΔ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους. ἔστω γὰρ κέντρον τὸ Ζ, καὶ δι’ αὐτοῦ ἤχθω παρὰ τὰς ΑΓ, ΒΔ ἡ ΖΗΘ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΓ, ΒΔ παρ‐
15	άλληλοί εἰσιν, ἔστι δὲ καὶ ἡ ΖΗ παράλληλος, συζυγὴς[Omitted graphic marker] ἄρα διάμετρός ἐστι τῇ ΑΒ· ὥστε τὸ ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους. εἰ μὲν οὖν ἡ ΖΗ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως καὶ τοῦ κύκλου διὰ τοῦ Ε ἔρχεται, ἴσαι γίνονται αἱ ΑΓ, ΖΗ, ΒΔ,
20	καὶ φανερὸν αὐτόθεν, ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΖΗ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους. μὴ ἐρχέσθω δή, καὶ συμπιπτέτωσαν αἱ ΔΓ, ΒΑ ἐκβαλλόμεναι κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Ε παρὰ μὲν
25	τὴν ΑΓ ἤχθω ἡ ΕΛ, παρὰ δὲ τὴν ΑΒ ἡ ΕΜ. ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΚΖΛ τῷ ἀπὸ ΑΖ, ἔστιν, ὡς ἡ ΚΖ πρὸς ΖΑ, ἡ ΖΑ πρὸς ΖΛ, καὶ ἡ ΚΑ πρὸς
25	ΑΛ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΖ πρὸς ΖΑ, τουτέστι πρὸς ΖΒ· ἀνάπαλιν, ὡς ἡ ΒΖ πρὸς ΖΚ, ἡ ΛΑ πρὸς ΑΚ· συν‐	418 in vol. 1
30	θέντι ἢ διελόντι, ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΖ, ἡ ΛΚ πρὸς ΚΑ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΒ πρὸς ΖΘ, ἡ ΕΛ πρὸς ΓΑ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΔΒ, ΓΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΖΘ, ΕΛ, τουτέστι τῷ ὑπὸ ΘΖΜ. τὸ δὲ ὑπὸ ΘΖΜ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΖΗ, τουτέστι τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους· καὶ τὸ
35	ὑπὸ ΔΒ, ΓΑ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ τετάρτῳ τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους.
3 . 43	Ἐὰν ὑπερβολῆς εὐθεῖα ἐπιψαύῃ, ἀποτεμεῖ ἀπὸ τῶν ἀσυμπτώτων πρὸς τῷ κέντρῳ τῆς τομῆς εὐθείας ἴσον περιεχούσας τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τῶν ἀποτεμνομένων εὐθειῶν ὑπὸ τῆς ἐφαπτομένης κατὰ τὴν πρὸς τῷ ἄξονι
5	κορυφὴν τῆς τομῆς. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΒ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΓΔΕ, ἄξων δὲ ὁ ΒΔ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β ἐφαπτομένη ἡ ΖΒΗ, ἄλλη δέ τις, ὡς ἔτυχεν,[Omitted graphic marker] ἐφαπτομένη ἡ ΓΑΘ. λέγω, ὅτι
10	τὸ ὑπὸ ΖΔΗ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΓΔΘ. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Α, Β παρὰ μὲν τὴν ΔΗ αἱ ΑΚ, ΒΛ, παρὰ δὲ τὴν ΓΔ αἱ ΑΜ, ΒΝ.
15	ἐπεὶ οὖν ἐφάπτεται ἡ ΓΑΘ, ἴση ἡ ΓΑ τῇ ΑΘ· ὥστε ἡ ΓΘ τῆς ΘΑ διπλῆ καὶ ἡ ΓΔ τῆς ΑΜ καὶ ἡ ΔΘ τῆς ΑΚ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΔΘ τετρα‐
15	πλάσιόν ἐστι τοῦ ὑπὸ ΚΑΜ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται	420 in vol. 1
20	τὸ ὑπὸ ΖΔΗ τετραπλάσιον τοῦ ὑπὸ ΛΒΝ. ἴσον δὲ τὸ ὑπὸ ΚΑΜ τῷ ὑπὸ ΛΒΝ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΓΔΘ τῷ ὑπὸ ΖΔΗ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, κἂν ἡ ΔΒ ἑτέρα τις ᾖ διάμετρος καὶ μὴ ἄξων.
3 . 44	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι ταῖς ἀσυμπτώτοις, αἱ ἐπὶ τὰς τομὰς ἀγόμεναι παράλληλοι ἔσονται τῇ τὰς ἁφὰς ἐπι‐ ζευγνυούσῃ.
5	ἔστω γὰρ ἢ ὑπερβολὴ ἢ ἀντικείμεναι ἡ ΑΒ, ἀσύμ‐ πτωτοι δὲ αἱ ΓΔΕ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΓΑΘΖ, ΕΒΘΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΖΗ,[Omitted graphic marker] ΓΕ. λέγω, ὅτι παράλληλοί εἰσιν.
10	ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΓΔΖ ἴσον τῷ ὑπὸ ΗΔΕ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ἡ ΗΔ πρὸς ΔΖ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΕ τῇ ΖΗ. καὶ διὰ τοῦτο
15	ὡς ἡ ΘΖ πρὸς ΖΓ, ἡ ΘΗ πρὸς ΗΕ. ὡς δὲ ἡ ΗΕ πρὸς ΗΒ, ἡ ΓΖ πρὸς ΑΖ· διπλῆ γὰρ ἑκατέρα· δι’ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΘΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΘΖ πρὸς ΖΑ. παρ‐ άλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ τῇ ΑΒ.
3 . 45	Ἐὰν ἐν ὑπερβολῇ ἢ ἐλλείψει ἢ κύκλου περιφερείᾳ
3 . 45	ἢ ταῖς ἀντικειμέναις ἀπ’ ἄκρου τοῦ ἄξονος ἀχθῶσιν εὐθεῖαι πρὸς ὀρθάς, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ εἴδους ἴσον παρὰ τὸν ἄξονα παραβληθῇ ἐφ’ ἑκάτερα ἐπὶ μὲν	422 in vol. 1
5	τῆς ὑπερβολῆς καὶ τῶν ἀντικειμένων ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ, ἐπὶ δὲ τῆς[Omitted graphic marker] ἐλλείψεως ἐλλεῖπον, ἀχθῇ δέ τις εὐθεῖα ἐφαπτομένη τῆς τομῆς συμπίπτουσα
10	ταῖς πρὸς ὀρθὰς εὐθείαις, αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐπὶ τὰ ἐκ τῆς παραβολῆς γενη‐ θέντα σημεῖα ὀρθὰς ποι‐
15	οῦσι γωνίας πρὸς τοῖς εἰρημένοις σημείοις. ἔστω μία τῶν εἰρημένων τομῶν, ἧς ἄξων ὁ ΑΒ, πρὸς ὀρθὰς δὲ αἱ ΑΓ, ΒΔ, ἐφαπτομένη δὲ ἡ ΓΕΔ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ εἴδους ἴσον παραβεβλήσθω
20	ἐφ’ ἑκάτερα, ὡς εἴρηται, τὸ ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΗΒ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, ΓΗ, ΔΖ, ΔΗ. λέγω, ὅτι ἥ τε ὑπὸ ΓΖΔ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΔ γωνία ὀρθή ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΓ, ΒΔ ἴσον ἐδείχθη τῷ τετάρτῳ
25	μέρει τοῦ πρὸς τῇ ΑΒ εἴδους, ἔστι δὲ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ εἴδους, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΓ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΖ, ἡ ΖΒ πρὸς ΒΔ. καὶ ὀρθαὶ αἱ πρὸς τοῖς Α, Β σημείοις γωνίαι· ἴση ἄρα ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ
30	γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΔ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΖΓ τῇ ὑπὸ ΖΔΒ.
30	καὶ ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΓΑΖ ὀρθή ἐστιν, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΖ, ΑΖΓ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσίν. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΔΖΒ· αἱ ἄρα ὑπὸ ΓΖΑ, ΔΖΒ μιᾷ ὀρθῇ ἴσαι εἰσί. λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΖΓ ὀρθή	424 in vol. 1
35	ἐστιν. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗΔ ὀρθή.
3 . 46	Τῶν αὐτῶν ὄντων αἱ ἐπιζευγνύμεναι ἴσας ποιοῦσι γωνίας πρὸς ταῖς ἐφαπτομέναις. τῶν γὰρ αὐτῶν ὑποκειμένων λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΓΗ, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΔΖ
5	τῇ ὑπὸ ΒΔΗ. ἐπεὶ γὰρ ἐδείχθη ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΓΖΔ, ΓΗΔ, ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΓΔ γραφόμενος κύκλος ἥξει διὰ τῶν Ζ, Η ση‐[Omitted graphic marker] μείων· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ
10	ὑπὸ ΔΓΗ τῇ ὑπὸ ΔΖΗ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματι τοῦ κύκλου εἰσίν. ἡ δὲ ὑπὸ ΔΖΗ ἐδείχθη ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΖ· ὥστε ἡ ὑπὸ ΔΓΗ
15	ἴση τῇ ὑπὸ ΑΓΖ. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΒΔΗ.
3 . 47	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως τῶν ἐπιζευχθεισῶν ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἀγομένη πρὸς ὀρθὰς ἔσται τῇ ἐφαπτομένῃ. ὑποκείσθω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον, καὶ συμ‐
5	πιπτέτωσαν ἀλλήλαις αἱ μὲν ΓΗ, ΖΔ κατὰ τὸ Θ, αἱ δὲ ΓΔ, ΒΑ ἐκβαλλόμεναι κατὰ τὸ Κ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΘ. λέγω, ὅτι κάθετός ἐστιν ἡ ΕΘ ἐπὶ τὴν ΓΔ. εἰ γὰρ μή, ἤχ‐[Omitted graphic marker] θω ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ	426 in vol. 1
10	τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΘΛ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ὑπὸ ΓΔΖ τῇ ὑπὸ ΗΔΒ, ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ
15	ὑπὸ ΔΒΗ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΛΘ ἴση, ὅμοιον ἄρα τὸ ΔΗΒ τρί‐ γωνον τῷ ΛΘΔ. ὡς ἄρα ἡ ΗΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΒΔ
20	πρὸς ΔΛ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΗΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΖΓ πρὸς ΓΘ διὰ τὸ ὀρθὰς εἶναι τὰς πρὸς τοῖς Ζ, Η καὶ τὰς πρὸς τῷ Θ ἴσας· ὡς δὲ ἡ
25	ΓΖ πρὸς ΓΘ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΖΓ, ΛΓΘ τριγώνων· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΔ πρὸς ΔΛ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΛ. ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΓΑ, ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ. ἀλλ’ ὡς ἡ ΔΒ πρὸς ΓΑ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΛ πρὸς ΓΛ, ἡ ΒΚ πρὸς ΚΑ. ἤχθω
30	ἀπὸ τοῦ Ε παρὰ τὴν ΑΓ ἡ ΕΜ· τεταγμένως ἄρα ἔσται κατηγμένη ἐπὶ τὴν ΑΒ· καὶ ἔσται, ὡς ἡ ΒΚ πρὸς ΚΑ, ἡ ΒΜ πρὸς ΜΑ. ὡς δὲ ἡ ΒΜ πρὸς ΜΑ,
30	ἡ ΔΕ πρὸς ΕΓ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ, ἡ ΔΕ πρὸς ΕΓ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ΘΛ κάθετός ἐστιν,	428 in vol. 1
35	οὐδὲ ἄλλη τις πλὴν τῆς ΘΕ.
3 . 48	Τῶν αὐτῶν ὄντων δεικτέον, ὅτι αἱ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὰ ἐκ τῆς παραβολῆς γινόμενα σημεῖα ἴσας ποιοῦσι γωνίας πρὸς τῇ ἐφαπτομένῃ. ὑποκείσθω γὰρ τὰ αὐτά, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ
5	ΕΖ, ΕΗ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΕΔ. ἐπεὶ γὰρ ὀρθαί εἰσιν αἱ ὑπὸ ΔΗΘ, ΔΕΘ γωνίαι, ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΔΘ γραφόμενος κύκλος ἥξει διὰ τῶν Ε, Η σημείων· ὥστε ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΔΘΗ
10	τῇ ὑπὸ ΔΕΗ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματι. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τῇ ὑπὸ ΓΘΖ ἐστιν ἴση. ἡ δὲ ὑπὸ ΓΘΖ τῇ ὑπὸ ΔΘΗ ἴση· κατὰ κορυφὴν γάρ· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΕΖ ἄρα τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἐστιν ἴση.
3 . 49	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἀπό τινος τῶν σημείων κάθετος ἀχθῇ ἐπὶ τὴν ἐφαπτομένην, αἱ ἀπὸ τοῦ γενο‐ μένου σημείου ἐπὶ τὰ πέρατα τοῦ ἄξονος ὀρθὴν ποιοῦσι γωνίαν.
5	ὑποκείσθω γὰρ τὰ αὐτά, καὶ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἤχθω ἡ ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΘ, ΒΘ. λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΑΘΒ γωνία ὀρθή ἐστιν. ἐπεὶ γὰρ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΔΒΗ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΘΗ, ὁ
5	περὶ διάμετρον τὴν ΔΗ γραφόμενος κύκλος ἥξει διὰ	430 in vol. 1
10	τῶν Θ, Β, καὶ ἴση ἔσται ἡ ὑπὸ ΗΘΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΗ. ἡ δὲ ὑπὸ ΑΗΓ τῇ ὑπὸ ΒΔΗ ἐδείχθη ἴση·[Omitted graphic marker] καὶ ἡ ὑπὸ ΒΘΗ ἄρα τῇ ὑπὸ ΑΗΓ, τουτέστι τῇ ὑπὸ ΑΘΓ, ἐστιν ἴση. ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ΓΘΗ τῇ ὑπὸ ΑΘΒ. ὀρθὴ δὲ ἡ ὑπὸ ΓΘΗ· ὀρθὴ ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΑΘΒ.
3 . 50	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου τῆς τομῆς προσπέσῃ τις τῇ ἐφαπτομένῃ παράλληλος τῇ διὰ τῆς ἁφῆς καὶ ἑνὸς τῶν σημείων ἠγμένῃ εὐθείᾳ, ἴση ἔσται τῇ ἡμισείᾳ τοῦ ἄξονος.
5	ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον καὶ κέντρον τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ, καὶ αἱ ΔΓ, ΒΑ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΕΖ ἤχθω ἡ ΘΛ. λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΘΛ τῇ ΘΒ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΕΗ, ΑΛ, ΛΗ, ΛΒ, καὶ διὰ
10	τοῦ Η παρὰ τὴν ΕΖ ἤχθω ἡ ΗΜ. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ ΑΗΒ, ἴση ἄρα ἡ ΑΖ τῇ ΗΒ.
10	ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΒ ἴση· καὶ ἡ ΖΘ ἄρα τῇ ΘΗ ἴση. ὥστε καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΜ ἴση. καὶ ἐπεὶ ἐδείχθη ἡ ὑπὸ ΓΕΖ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΗ ἴση, ἡ δὲ ὑπὸ ΓΕΖ	432 in vol. 1
15	ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΜΗ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΕΜΗ τῇ ὑπὸ ΜΕΗ. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΗ τῇ ΗΜ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΛ τῇ ΛΜ ἐδείχθη ἴση· κάθετος ἄρα ἡ ΗΛ ἐπὶ τὴν ΕΜ. ὥστε διὰ τὸ προδειχθὲν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΛΒ, καὶ ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ γραφόμενος
20	κύκλος ἥξει διὰ τοῦ Λ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΘΑ τῇ ΘΒ· καὶ ἡ ΘΛ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου οὖσα τοῦ ἡμικυκλίου ἴση ἐστὶ τῇ ΘΒ.
3 . 51	Ἐὰν ὑπερβολῆς ἢ τῶν ἀντικειμένων παρὰ τὸν ἄξονα ἴσον ἐφ’ ἑκάτερα παραβληθῇ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ εἴδους ὑπερβάλλον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἀπὸ τῶν γενο‐ μένων ἐκ τῆς παραβολῆς σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι
5	πρὸς ὁποτερανοῦν τῶν τομῶν, ἡ μείζων τῆς ἐλάσσονος ὑπερέχει τῷ ἄξονι. ἔστω γὰρ ὑπερβολὴ ἢ ἀντικείμεναι, ὧν ἄξων ὁ ΑΒ, κέντρον δὲ τὸ Γ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ εἴδους ἴσον ἔστω ἑκάτερον τῶν ὑπὸ ΑΔΒ, ΑΕΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Δ
10	σημείων κεκλάσθωσαν πρὸς τὴν γραμμὴν αἱ ΕΖ, ΖΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΖ τῆς ΖΔ ὑπερέχει τῇ ΑΒ. ἤχθω διὰ τοῦ Ζ ἐφαπτομένη ἡ ΖΚΘ, διὰ δὲ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΖΔ ἡ ΗΓΘ· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΘΗ τῇ ὑπὸ ΚΖΔ· ἐναλλὰξ γάρ. ἡ δὲ ὑπὸ ΚΖΔ ἴση τῇ
15	ὑπὸ ΗΖΘ· καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΘ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΗΘΖ. ἴση ἄρα ἡ ΗΖ τῇ ΗΘ. ἡ δὲ ΖΗ τῇ ΗΕ
15	ἴση, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ τῇ ΒΔ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ καὶ ἡ ΕΓ τῇ ΓΔ· καὶ ἡ ΗΘ ἄρα τῇ ΕΗ ἐστιν ἴση. ὥστε ἡ ΖΕ τῆς ΗΘ ἐστι διπλῆ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΓΘ ἴση δέ‐	434 in vol. 1
20	δεικται τῇ ΓΒ, ἡ ΕΖ ἄρα διπλῆ ἐστι συναμφοτέρου τῆς ΗΓΒ. ἀλλὰ τῆς μὲν ΗΓ διπλῆ ἡ ΖΔ, τῆς δὲ ΓΒ διπλῆ ἡ ΑΒ· ἡ ΕΖ ἄρα ἴση ἐστὶ συναμφοτέρῳ τῇ ΖΔ, ΑΒ. ὥστε ἡ ΕΖ τῆς ΖΔ ὑπερέχει τῇ ΑΒ.
3 . 52	Ἐὰν ἐν ἐλλείψει παρὰ τὸν μείζονα τῶν ἀξόνων τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ εἴδους ἴσον ἐφ’ ἑκάτερα παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει τετραγώνῳ, καὶ ἀπὸ τῶν γενομένων ἐκ τῆς παραβολῆς σημείων κλασθῶσιν εὐθεῖαι πρὸς τὴν
5	γραμμήν, ἴσαι ἔσονται τῷ ἄξονι. ἔστω ἔλλειψις, ἧς μείζων τῶν ἀξόνων ὁ ΑΒ, καὶ τῷ τετάρτῳ μέρει τοῦ εἴδους ἑκάτερον ἴσον ἔστω τῶν ὑπὸ ΑΓΒ, ΑΔΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Δ κεκλάσθωσαν πρὸς τὴν γραμμὴν αἱ ΓΕΔ. λέγω, ὅτι αἱ ΓΕΔ ἴσαι
10	εἰσὶ τῇ ΑΒ. ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ΖΕΘ, καὶ κέντρον τὸ Η, καὶ δι’ αὐτοῦ παρὰ τὴν ΓΕ ἡ ΗΚΘ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΕΖ τῇ ὑπὸ ΘΕΚ, ἡ δὲ ὑπὸ ΖΕΓ τῇ ὑπὸ ΕΘΚ ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΕΘΚ ἄρα τῇ ὑπὸ ΘΕΚ ἐστιν
15	ἴση. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΚΕ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΗ τῇ ΗΒ ἴση καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΒ, καὶ ἡ ΓΗ ἄρα τῇ ΗΔ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΕΚ τῇ ΚΔ. καὶ διὰ τοῦτο διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΕΔ τῆς ΘΚ, ἡ δὲ ΕΓ τῆς ΚΗ, καὶ συν‐ αμφότερος ἡ ΓΕΔ διπλῆ ἐστι τῆς ΗΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ
20	ΑΒ διπλῆ τῆς ΗΘ· ἴση ἄρα ἡ ΑΒ ταῖς ΓΕΔ.	436 in vol. 1
3 . 53	Ἐὰν ἐν ὑπερβολῇ ἢ ἐλλείψει ἢ κύκλου περιφερείᾳ ἢ ταῖς ἀντικειμέναις ἀπ’ ἄκρας τῆς διαμέτρου ἀχθῶσιν παρὰ τεταγμένως κατηγμένην, καὶ ἀπὸ τῶν αὐτῶν περάτων πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον τῆς γραμμῆς ἀχθεῖσαι
5	εὐθεῖαι τέμνωσι τὰς παραλλήλους, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀποτεμνομένων ἴσον ἐστὶ τῷ πρὸς τῇ αὐτῇ διαμέτρῳ εἴδει. ἔστω μία τῶν εἰρημένων τομῶν ἡ ΑΒΓ, ἧς διά‐ μετρος ἡ ΑΓ, καὶ παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἤχθω‐
10	σαν αἱ ΑΔ, ΓΕ, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΒΕ, ΓΒΔ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΕΓ ἴσον ἐστὶ τῷ εἴδει τῷ πρὸς τῇ ΑΓ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τεταγμένως κατηγμένην ἡ ΒΖ. ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΒ,
15	ἡ πλαγία πρὸς τὴν ὀρθίαν καὶ πρὸς τὸ εἶδος τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον. ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΖΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΖ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς ΑΖ πρὸς ΖΒ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς ΖΒ· ὁ ἄρα τοῦ εἴδους πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς
20	ΖΒ πρὸς ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΒΖ πρὸς ΓΖ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΑΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΕ, ὡς δὲ ἡ ΓΖ πρὸς ΖΒ, ἡ ΓΑ πρὸς ΑΔ· ὁ ἄρα τοῦ εἴδους πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς ΓΕ πρὸς ΓΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΔ πρὸς ΓΑ. σύγ‐
25	κειται δὲ καὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΑΔ, ΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ
25	τετράγωνον ἐκ τῶν αὐτῶν· ὡς ἄρα τὸ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΓΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον. ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΑΔ, ΓΕ τῷ παρὰ τὴν ΑΓ εἴδει.	438 in vol. 1
3 . 54	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, διὰ δὲ τῶν ἁφῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις, καὶ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον τῆς γραμμῆς διαχθῶσιν εὐθεῖαι τέμ‐
5	νουσαι τὰς παραλλήλους, τὸ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ὑπὸ τῶν ἀποτεμνομένων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἐπιζευγ‐ νυούσης τὰς ἁφὰς τετράγωνον λόγον ἔχει τὸν συγ‐ κείμενον ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει τῆς ἐπιζευγνυούσης τὴν σύμπτωσιν τῶν ἐφαπτομένων καὶ τὴν διχοτομίαν τῆς
10	τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης τὸ ἐντὸς τμῆμα πρὸς τὸ λοιπὸν δυνάμει, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τῶν ἐφαπτο‐ μένων περιεχόμενον ὀρθογώνιον πρὸς τὸ τέταρτον μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης τετρα‐ γώνου.
15	ἔστω κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ καὶ ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΔ, ΓΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΒΕ, καὶ ἤχθω ἀπὸ μὲν τοῦ Α παρὰ τὴν ΓΔ ἡ ΑΖ, ἀπὸ δὲ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΔ ἡ ΓΗ, καὶ εἰλήφθω τι ση‐
20	μεῖον ἐπὶ τῆς γραμμῆς τὸ Θ, καὶ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΑΘ, ΓΘ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Η, Ζ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ τὸν συγκείμενον ἔχει
20	λόγον ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ καὶ τὸ ὑπὸ ΑΔΓ πρὸς τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ ΑΓ,	440 in vol. 1
25	τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΕΓ. ἤχθω γὰρ ἀπὸ μὲν τοῦ Θ παρὰ τὴν ΑΓ ἡ ΚΘΟΞΛ, ἀπὸ δὲ τοῦ Β ἡ ΜΒΝ· φανερὸν δή, ὅτι ἐφάπτεται ἡ ΜΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΕΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΜΒ τῇ ΒΝ καὶ ἡ ΚΟ τῇ ΟΛ καὶ ἡ ΘΟ τῇ ΟΞ
30	καὶ ἡ ΚΘ τῇ ΞΛ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτονται αἱ ΜΒ, ΜΑ, καὶ παρὰ τὴν ΜΒ ἦκται ἡ ΚΘΛ, ἔστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΜΒΝ, τὸ ἀπὸ ΑΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΞΚΘ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΛΘΚ [καὶ ἐναλλάξ, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΚ, τὸ
35	ὑπὸ ΝΒΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΘΚ]. ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΜΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τὸ ὑπὸ ΛΓ, ΚΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΑ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΜΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ, τὸ ὑπὸ ΛΓ, ΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΘΚ. τὸ δὲ ὑπὸ ΛΓ, ΚΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΛΘΚ τὸν συγκείμενον ἔχει
40	λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΓΛ πρὸς ΛΘ, τουτέστι τῆς ΖΑ πρὸς ΑΓ, καὶ τοῦ τῆς ΑΚ πρὸς ΚΘ, τουτέστι τῆς ΗΓ πρὸς ΓΑ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΗΓ, ΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ· ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΝΓ, ΜΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ, τὸ ὑπὸ ΗΓ, ΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ. τὸ δὲ
45	ὑπὸ ΓΝ, ΜΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ τοῦ ὑπὸ ΝΔΜ μέσου λαμβανομένου τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΓΝ, ΑΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔΜ καὶ τὸ ὑπὸ ΝΔΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΗΓ, ΖΑ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΑ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον
3 . 54 (50)	ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΓΝ, ΑΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔΜ καὶ τοῦ ὑπὸ ΝΔΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ. ἀλλ’ ὡς μὲν τὸ
3 . 54 (50)	ὑπὸ ΝΓ, ΑΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔΜ, τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΝΔΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΒΜ, τὸ ὑπὸ ΓΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΑ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΗΓ, ΑΖ	442 in vol. 1
55	πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΓ τὸν συγκείμενον ἔχει λόγον ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΒΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΔ καὶ τοῦ ὑπὸ ΓΔΑ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕΑ.
3 . 55	Ἐὰν τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπτόμεναι συμπίπτωσι, καὶ διὰ μὲν τῆς συμπτώσεως ἀχθῇ εὐθεῖα παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσαν, ἀπὸ δὲ τῶν ἁφῶν διαχθῶσι παράλληλοι ταῖς ἐφαπτομέναις, προσβληθῶσι
5	δὲ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον τῆς ἑτέρας τομῆς τέμνουσαι τὰς παραλλήλους, τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ἀποτεμνομένων πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης τετράγωνον λόγον ἕξει, ὃν τὸ ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων περιεχόμενον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ἠγ‐
10	μένης διὰ τῆς συμπτώσεως παρὰ τὴν τὰς ἁφὰς ἐπι‐ ζευγνύουσαν ἕως τῆς τομῆς. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, ἐφαπτόμεναι δὲ αὐτῶν αἱ ΑΗ, ΗΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ, καὶ ἀπὸ μὲν τοῦ Η παρὰ τὴν ΑΔ ἤχθω ἡ ΓΗΕ, ἀπὸ δὲ τοῦ Α
15	παρὰ τὴν ΔΗ ἡ ΑΜ, ἀπὸ δὲ τοῦ Δ παρὰ τὴν ΑΗ ἡ ΔΜ, εἰλήφθω δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΔΖ τομῆς τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΝΖ, ΖΔΘ. λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΔ, τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘ, ΝΔ.
20	ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ΑΔ ἡ ΖΛΚΒ. ἐπεὶ οὖν δέδεικται, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΗ
20	πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΛΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΛ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΓΗ τῇ ΕΗ, ἡ δὲ ΒΚ τῇ ΛΖ, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΗΔ, τὸ ὑπὸ ΚΖΛ	444 in vol. 1
25	πρὸς τὸ ἀπὸ ΛΔ. ἔστι δὲ καί, ὡς τὸ ἀπὸ ΔΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΑ, τὸ ἀπὸ ΔΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΛ, ΑΚ· δι’ ἴσου ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΑ, τὸ ὑπὸ ΚΖΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΛ, ΑΚ. ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΚΖΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΚ, ΔΛ λόγος ὁ συγκείμενός
30	ἐστιν ἐκ τοῦ τῆς ΖΚ πρὸς ΚΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΛ πρὸς ΛΔ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΖΚ πρὸς ΚΑ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΝ, ὡς δὲ ἡ ΖΛ πρὸς ΛΔ, ἡ ΑΔ πρὸς ΘΑ· ὁ ἄρα τοῦ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΗΑ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τῆς ΑΔ πρὸς ΔΝ καὶ τοῦ τῆς ΔΑ πρὸς ΑΘ. σύγκει‐
35	ται δὲ καὶ ὁ τοῦ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΘ, ΝΔ λόγος ἐκ τῶν αὐτῶν· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΗΔ, τὸ ἀπὸ ΑΔ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΔ, ΑΘ. [ἀνάπαλιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΗΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΗ, τὸ ὑπὸ ΝΔ, ΛΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΔ].
3 . 56	Ἐὰν μιᾶς τῶν ἀντικειμένων δύο εὐθεῖαι ἐφαπ‐ τόμεναι συμπίπτωσι, διὰ δὲ τῶν ἁφῶν παράλληλοι ἀχθῶσι ταῖς ἐφαπτομέναις, καὶ ἀπὸ τῶν ἁφῶν πρὸς τὸ αὐτὸ σημεῖον τῆς ἑτέρας τομῆς ἀχθῶσιν εὐθεῖαι
5	τέμνουσαι τὰς παραλλήλους, τὸ περιεχόμενον ὀρθο‐ γώνιον ὑπὸ τῶν ἀποτεμνομένων λόγον ἕξει πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης τετράγωνον τὸν συγκείμενον ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει τῆς ἐπιζευγνυούσης τὴν σύμπτωσιν καὶ τὴν διχοτομίαν ἡ μεταξὺ τῆς διχοτο‐
10	μίας καὶ τῆς ἑτέρας τομῆς πρὸς τὴν μεταξὺ τῆς αὐτῆς τομῆς καὶ τῆς συμπτώσεως δυνάμει, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τῶν ἐφαπτομένων περιεχόμενον πρὸς τὸ τέ‐ ταρτον μέρος τοῦ ἀπὸ τῆς τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνυούσης. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ, ὧν κέντρον τὸ Ο,	446 in vol. 1
15	ἐφαπτόμεναι δὲ αἱ ΑΕΖΗ, ΒΕΘΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Λ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΛΕ διήχθω ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α παρὰ τὴν ΒΕ ἡ ΑΜ, ἀπὸ δὲ τοῦ Β παρὰ τὴν ΑΕ ἡ ΒΝ, εἰλήφθω δέ τι σημεῖον ἐπὶ τῆς ΓΔ τομῆς τὸ Γ, καὶ
20	ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΒΜ, ΓΑΝ. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ ΒΝ, ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ λόγον ἔχει τὸν συγκεί‐ μενον ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΛΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ καὶ τοῦ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ τέταρτον τοῦ ἀπὸ ΑΒ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΑΛΒ.
25	ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν Γ, Δ παρὰ τὴν ΑΒ αἱ ΗΓΚ, ΘΔΖ· φανερὸν δή, ὅτι [ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ τῇ ΛΒ] ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΘΔ τῇ ΔΖ καὶ ἡ ΚΞ τῇ ΞΗ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΞΓ τῇ ΞΠ· ὥστε καὶ ἡ ΓΚ τῇ ΗΠ. καὶ ἐπεὶ ἀντικείμεναί εἰσιν αἱ ΑΒ, ΔΓ, ἐφαπτόμεναι
30	δὲ αἱ ΒΕΘ, ΘΔ, καὶ παρὰ τὴν ΔΘ ἡ ΚΗ, ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΔ, τὸ ἀπὸ ΒΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΠΚΓ. ἴσον δὲ τὸ μὲν ἀπὸ ΘΔ τῷ ὑπὸ ΘΔΖ, τὸ δὲ ὑπὸ ΠΚΓ τῷ ὑπὸ ΚΓΗ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΒΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΖ, τὸ ἀπὸ ΒΚ πρὸς
35	τὸ ὑπὸ ΚΓΗ. ἔστι δὲ καί, ὡς τὸ ὑπὸ ΖΑ, ΘΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΘΒ, τὸ ὑπὸ ΗΑ, ΚΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΚΒ· δι’ ἴσου ἄρα ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΘΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΖ, τὸ ὑπὸ ΚΒ, ΑΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΓΗ. ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΖ, ΘΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΖ λόγος τοῦ ὑπὸ	448 in vol. 1
40	ΘΕΖ μέσου λαμβανομένου σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΑΖ, ΘΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕΖ καὶ τοῦ ὑπὸ ΘΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΖ· καί ἐστιν, ὡς μὲν τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΘΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕΖ, τὸ ἀπὸ ΛΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ, ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ΘΕΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΔΖ, τὸ ὑπὸ ΑΕΒ
45	πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΛΒ· ὁ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΑΗ, ΒΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΓΗ λόγος σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΛΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ καὶ τοῦ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΛΒ. ἔχει δὲ τὸ ὑπὸ ΑΗ, ΚΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΓΗ τὸν συγκείμενον λόγον ἐκ τοῦ τῆς ΒΚ πρὸς ΚΓ καὶ
3 . 56 (50)	τοῦ τῆς ΑΗ πρὸς ΗΓ. ἀλλ’ ὡς μὲν ἡ ΚΒ πρὸς ΚΓ, ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς ΗΓ, ἡ ΒΝ πρὸς ΒΑ· ὁ ἄρα συγκείμενος λόγος ἐκ τοῦ τῆς ΜΑ πρὸς ΑΒ καὶ τοῦ τῆς ΝΒ πρὸς ΒΑ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ ΑΜ, ΒΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΒ,
55	σύγκειται ἐκ τοῦ τοῦ ἀπὸ ΛΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ καὶ
55	τοῦ ὑπὸ ΑΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΛΒ.	450 in vol. 1
4 prol	Ἀπολλώνιος Ἀττάλῳ χαίρειν. Πρότερον μὲν ἐξέθηκα γράψας πρὸς Εὔδημον τὸν Περγαμηνὸν τῶν συντεταγμένων ἡμῖν κωνικῶν ἐν ὀκτὼ βιβλίοις τὰ πρῶτα τρία, μετηλλαχότος δ’ ἐκείνου
5	τὰ λοιπὰ διεγνωκότες πρός σε γράψαι διὰ τὸ φιλο‐ τιμεῖσθαί σε μεταλαμβάνειν τὰ ὑφ’ ἡμῶν πραγματευ‐ όμενα πεπόμφαμεν ἐπὶ τοῦ παρόντος σοι τὸ τέταρτον. περιέχει δὲ τοῦτο, κατὰ πόσα σημεῖα πλεῖστα δυνατόν ἐστι τὰς τῶν κώνων τομὰς ἀλλήλαις τε καὶ τῇ τοῦ
10	κύκλου περιφερείᾳ συμβάλλειν, ἐάνπερ μὴ ὅλαι ἐπὶ ὅλας ἐφαρμόζωσιν, ἔτι κώνου τομὴ καὶ κύκλου περι‐ φέρεια ταῖς ἀντικειμέναις κατὰ πόσα σημεῖα πλεῖστα συμβάλλουσι, καὶ ἐκτὸς τούτων ἄλλα οὐκ ὀλίγα ὅμοια τούτοις. τούτων δὲ τὸ μὲν προειρημένον Κόνων ὁ
15	Σάμιος ἐξέθηκε πρὸς Θρασυδαῖον οὐκ ὀρθῶς ἐν ταῖς ἀποδείξεσιν ἀναστραφείς· διὸ καὶ μετρίως αὐτοῦ ἀνθ‐ ήψατο Νικοτέλης ὁ Κυρηναῖος. περὶ δὲ τοῦ δευτέρου μνείαν μόνον πεποίηται ὁ Νικοτέλης σὺν τῇ πρὸς τὸν Κόνωνα ἀντιγραφῇ ὡς δυναμένου δειχθῆναι, δεικνυ‐
20	μένῳ δὲ οὔτε ὑπ’ αὐτοῦ τούτου οὔθ’ ὑπ’ ἄλλου τινὸς
20	ἐντετεύχαμεν. τὸ μέντοι τρίτον καὶ τὰ ἄλλα τὰ ὁμο‐ γενῆ τούτοις ἁπλῶς ὑπὸ οὐδενὸς νενοημένα εὕρηκα. πάντα δὲ τὰ λεχθέντα, ὅσοις οὐκ ἐντέτευχα, πολλῶν καὶ ποικίλων προσεδεῖτο ξενιζόντων θεωρημάτων, ὧν	2 in vol. 2
25	τὰ μὲν πλεῖστα τυγχάνω ἐν τοῖς πρώτοις τρισὶ βιβλίοις ἐκτεθεικώς, τὰ δὲ λοιπὰ ἐν τούτῳ. ταῦτα δὲ θεωρη‐ θέντα χρείαν ἱκανὴν παρέχεται πρός τε τὰς τῶν προ‐ βλημάτων συνθέσεις καὶ τοὺς διορισμούς. Νικοτέλης μὲν γὰρ ἕνεκα τῆς πρὸς τὸν Κόνωνα διαφορᾶς οὐδε‐
30	μίαν ὑπὸ τῶν ἐκ τοῦ Κόνωνος εὑρημένων εἰς τοὺς διορισμούς φησιν ἔρχεσθαι χρείαν οὐκ ἀληθῆ λέγων· καὶ γὰρ εἰ ὅλως ἄνευ τούτων δύναται κατὰ τοὺς διο‐ ρισμοὺς ἀποδίδοσθαι, ἀλλά τοί γε δι’ αὐτῶν ἔστι κατανοεῖν προχειρότερον ἔνια, οἷον ὅτι πλεοναχῶς ἢ
35	τοσαυταχῶς ἂν γένοιτο, καὶ πάλιν ὅτι οὐκ ἂν γένοιτο· ἡ δὲ τοιαύτη πρόγνωσις ἱκανὴν ἀφορμὴν συμβάλλεται πρὸς τὰς ζητήσεις, καὶ πρὸς τὰς ἀναλύσεις δὲ τῶν διορισμῶν εὔχρηστα τὰ θεωρήματά ἐστι ταῦτα. χωρὶς δὲ τῆς τοιαύτης εὐχρηστίας καὶ δι’ αὐτὰς τὰς ἀπο‐
40	δείξεις ἄξια ἔσται ἀποδοχῆς· καὶ γὰρ ἄλλα πολλὰ τῶν ἐν τοῖς μαθήμασι διὰ τοῦτο καὶ οὐ δι’ ἄλλο τι ἀπο‐ δεχόμεθα.
4 . 1	Ἐὰν κώνου τομῆς ἢ κύκλου περιφερείας ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ τῇ τομῇ προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ μὲν ἐφάπτεται, ἡ δὲ τέμνει κατὰ δύο σημεῖα, καὶ ὃν ἔχει λόγον ὅλη ἡ τέμνουσα πρὸς
5	τὴν ἐκτὸς ἀπολαμβανομένην μεταξὺ τοῦ τε σημείου
5	καὶ τῆς γραμμῆς, τοῦτον τμηθῇ ἡ ἐντὸς ἀπολαμβανο‐ μένη εὐθεῖα ὥστε τὰς ὁμολόγους εὐθείας πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ εἶναι, ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὴν διαίρεσιν ἀγομένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ γραμμῇ, καὶ ἡ ἀπὸ	4 in vol. 2
10	τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ ἐκτὸς σημεῖον ἀγομένη εὐθεῖα ἐφάπτεται τῆς γραμμῆς. ἔστω γὰρ κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ΔΒ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Β, ἡ δὲ ΔΕΓ τεμνέτω
15	τὴν τομὴν κατὰ τὰ Ε, Γ, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, τοῦτον ἐχέτω ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἀγομένη συμ‐ πίπτει τῇ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάπτεται τῆς τομῆς.
20	[ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΓ τέμνει τὴν τομὴν κατὰ δύο ση‐ μεῖα, οὐκ ἔσται διάμετρος αὐτῆς. δυνατὸν ἄρα ἐστὶ διὰ τοῦ Δ διάμετρον ἀγαγεῖν· ὥστε καὶ ἐφαπτομένην.] ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΑ τεμνέτω τὴν ΕΓ, εἰ δυνατόν,
25	μὴ κατὰ τὸ Ζ, ἀλλὰ κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτονται αἱ ΒΔ, ΔΑ, καὶ ἐπὶ τὰς ἁφάς ἐστιν ἡ ΒΑ, καὶ διῆκται ἡ ΓΔ τέμνουσα τὴν μὲν τομὴν κατὰ τὰ Γ, Ε, τὴν δὲ ΑΒ κατὰ τὸ Η, ἔσται ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΕ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γάρ, ὡς ἡ ΓΔ
30	πρὸς ΔΕ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ. οὐκ ἄρα ἡ ΒΑ καθ’
30	ἕτερον σημεῖον τέμνει τὴν ΓΕ· κατὰ τὸ Ζ ἄρα.	6 in vol. 2
4 . 2	Ταῦτα μὲν κοινῶς ἐπὶ πασῶν τῶν τομῶν δείκνυται, ἐπὶ δὲ τῆς ὑπερβολῆς μόνης· ἐὰν ἡ μὲν ΔΒ ἐφάπτηται, ἡ δὲ ΔΓ τέμνῃ κατὰ δύο σημεῖα τὰ Ε, Γ, τὰ δὲ Ε, Γ περιέχῃ τὴν κατὰ τὸ Β ἁφήν, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐντὸς
5	ᾖ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας, ὁμοίως ἡ ἀπόδειξις γενήσεται· δυνατὸν γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ σημείου ἄλλην ἐφαπτομένην ἀγαγεῖν εὐθεῖαν τὴν ΔΑ καὶ τὰ λοιπὰ τῆς ἀποδείξεως ὁμοίως ποιεῖν.
4 . 3	Τῶν αὐτῶν ὄντων τὰ Ε, Γ σημεῖα μὴ περιεχέτωσαν τὴν κατὰ τὸ Β ἁφὴν μεταξὺ αὑτῶν, τὸ δὲ Δ σημεῖον ἐντὸς ἔστω τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας. δυνατὸν ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ἑτέραν ἐφαπτομένην
5	ἀγαγεῖν τὴν ΔΑ καὶ τὰ λοιπὰ ὁμοίως ἀποδεικνύειν.
4 . 4	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν αἱ μὲν Ε, Γ συμπτώσεις τὴν κατὰ τὸ Β ἁφὴν περιέχωσι, τὸ δὲ Δ σημεῖον ᾖ ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περι‐ εχομένης, ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὴν διαίρεσιν ἀγομένη
5	εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἀγομένη εὐθεῖα ἐφάψεται τῆς ἀντι‐
5	κειμένης. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Β, Θ καὶ ἀσύμπτωτοι αἱ ΚΛ, ΜΞΝ καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ὑπὸ ΛΞΝ γωνίᾳ,	8 in vol. 2
10	καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἐφαπτέσθω μὲν ἡ ΔΒ, τεμνέτω δὲ ἡ ΔΓ, καὶ αἱ Ε, Γ συμπτώσεις περιεχέτωσαν τὴν Β ἁφήν, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ἐχέτω ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ. δεικτέον, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυμένη
15	συμπεσεῖται τῇ Θ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς τομῆς. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΘ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΒ πιπτέτω, εἰ δυνατόν, μὴ διὰ τοῦ Ζ, ἀλλὰ διὰ τοῦ Η. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς
20	ΔΕ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΕ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γάρ, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ἡ ΓΖ πρὸς ΖΕ.
4 . 5	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τὸ Δ σημεῖον ἐπί τινος ᾖ τῶν ἀσυμπτώτων, ἡ[Omitted graphic marker] ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἀγομένη παράλληλος
5	ἔσται τῇ αὐτῇ ἀσυμ‐ πτώτῳ. ὑποκείσθω γὰρ τὰ αὐτά, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμ‐
10	πτώτων τῆς ΜΝ. δεικ‐ τέον, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΜΝ παράλληλος ἀγομένη
10	ἐπὶ τὸ Ζ πεσεῖται. μὴ γάρ, ἀλλ’, εἰ δυνατόν, ἔστω ἡ ΒΗ. ἔσται δή, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΕ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΕ· ὅπερ ἀδύνατον.	10 in vol. 2
4 . 6	Ἐὰν ὑπερβολῆς ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ πρὸς τὴν τομὴν διαχθῶσι δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ μὲν ἐφάπτεται, ἡ δὲ παράλληλος [ᾖ] μιᾷ τῶν ἀσυμ‐ πτώτων, καὶ τῇ ἀπολαμβανομένῃ ἀπὸ τῆς παραλλήλου
5	μεταξὺ τῆς τομῆς καὶ τοῦ σημείου ἴση ἐπ’ εὐθείας ἐντὸς τῆς τομῆς τεθῇ, ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπὶ τὸ γινό‐ μενον σημεῖον ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ ἐκτὸς ση‐ μεῖον ἀγομένη ἐφάψεται τῆς τομῆς.
10	ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΑΕΒ, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ Δ, καὶ ἔστω πρότερον ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας τὸ Δ, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ΒΔ ἐφαπτέσθω, ἡ δὲ ΔΕΖ παράλληλος ἔστω τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση
15	ἡ ΕΖ. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Ζ ἐπιζευγνυ‐ μένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς τομῆς. ἤχθω γὰρ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΑ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΒΑ τεμνέτω τὴν ΔΕ, εἰ δυνατόν, μὴ
20	κατὰ τὸ Ζ, ἀλλὰ καθ’ ἕτερόν τι τὸ Η. ἔσται δὴ ἴση ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἡ ΔΕ
20	τῇ ΕΖ ἴση.	12 in vol. 2
4 . 7	Τῶν αὐτῶν ὄντων τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐν τῇ ἐφ‐ εξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως τὰ[Omitted graphic marker] αὐτὰ συμβήσεται.
5	ἤχθω γὰρ ἐφαπτο‐ μένη ἡ ΔΘ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΘΒ πιπ‐ τέτω, εἰ δυνατόν, μὴ διὰ τοῦ Ζ, ἀλλὰ διὰ τοῦ Η.
10	ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γὰρ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ ἴση.
4 . 8	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ τὰ λοιπὰ γινέσθω τὰ αὐτά. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τῆς ἁφῆς ἐπ’ ἄκραν τὴν ἀπο‐ ληφθεῖσαν ἀγομένη παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ,
5	ἐφ’ ἧς ἔσται τὸ Δ σημεῖον. ἔστω γὰρ τὰ εἰρημένα, καὶ κείσθω τῇ ΔΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β παράλληλος τῇ ΜΝ ἤχθω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΗ. ἴση ἄρα ἡ ΔΕ τῇ ΕΗ· ὅπερ ἄτο‐ πον· ὑπόκειται γὰρ ἡ ΔΕ τῇ ΕΖ ἴση.
4 . 9	Ἐὰν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου δύο εὐθεῖαι ἀχθῶσι τέμνουσαι κώνου τομὴν ἢ κύκλου περιφέρειαν ἑκατέρα
4 . 9	κατὰ δύο σημεῖα, καὶ ὡς ἔχουσιν αἱ ὅλαι πρὸς τὰς ἐκτὸς ἀπολαμβανομένας, οὕτως αἱ ἐντὸς ἀπολαμβανό‐	14 in vol. 2
5	μεναι διαιρεθῶσιν, ὥστε τὰς ὁμολόγους πρὸς τῷ αὐτῷ σημείῳ εἶναι, ἡ διὰ τῶν διαιρέσεων ἀγομένη εὐθεῖα συμπεσεῖται τῇ τομῇ κατὰ δύο σημεῖα, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ ἐκτὸς σημεῖον ἀγόμεναι ἐφάψονται τῆς γραμμῆς.
10	ἔστω γὰρ τῶν προειρημένων γραμμῶν τις ἡ ΑΒ, καὶ ἀπό τινος σημείου τοῦ Δ διήχθωσαν αἱ ΔΕ, ΔΖ τέμνουσαι τὴν γραμμὴν ἡ μὲν κατὰ τὰ Θ, Ε, ἡ δὲ κατὰ τὰ Ζ, Η, καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΔΕ πρὸς ΘΔ, τοῦτον ἐχέτω ἡ ΕΛ πρὸς ΛΘ, ὃν δὲ ἡ ΔΖ πρὸς ΔΗ,
15	ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Κ ἐπιζευγνυμένη συμπεσεῖται ἐφ’ ἑκάτερα τῇ τομῇ, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐπιζευγνύμεναι ἐφάψονται τῆς τομῆς. ἐπεὶ γὰρ αἱ ΕΔ, ΖΔ ἑκατέρα κατὰ δύο σημεῖα
20	τέμνει τὴν τομήν, δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Δ διάμετρον ἀγαγεῖν τῆς τομῆς· ὥστε καὶ ἐφαπτομένας ἐφ’ ἑκάτερα. ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΔΒ, ΔΑ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΑ, εἰ δυνατόν, μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν Λ, Κ, ἀλλ’ ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἢ δι’ οὐδετέρου.
25	ἐρχέσθω πρότερον διὰ μόνου τοῦ Λ καὶ τεμνέτω τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Μ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΖΜ πρὸς ΜΗ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γάρ, ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΗ. ἐὰν δὲ ἡ ΒΑ μηδὲ δι’ ἑτέρου τῶν Λ, Κ πο‐
30	ρεύηται, ἐφ’ ἑκατέρας τῶν ΔΕ, ΔΖ συμβήσεται τὸ
30	ἄτοπον.	16 in vol. 2
4 . 10	Ταῦτα μὲν κοινῶς, ἐπὶ δὲ τῆς ὑπερβολῆς μόνης· ἐὰν τὰ μὲν ἄλλα τὰ αὐτὰ ὑπάρχῃ, αἱ δὲ τῆς μιᾶς εὐθείας συμπτώσεις περιέχωσι τὰς τῆς ἑτέρας συμπτώ‐ σεις, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐντὸς ᾖ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμ‐
5	πτώτων περιεχομένης γωνίας, τὰ αὐτὰ συμβήσεται τοῖς προειρημένοις, ὡς προείρηται ἐν τῷ β θεωρήματι.
4 . 11	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν αἱ τῆς μιᾶς συμπτώσεις μὴ περιέχωσι τὰς τῆς ἑτέρας συμπτώσεις, τὸ μὲν Δ σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περι‐ εχομένης γωνίας, καὶ ἡ καταγραφὴ καὶ ἡ ἀπόδειξις
5	ἡ αὐτὴ τῷ θ.
4 . 12	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν περιέχωσιν αἱ τῆς μιᾶς εὐθείας συμπτώσεις τὰς τῆς ἑτέρας, καὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης ᾖ, ἡ διὰ τῶν διαιρέσεων ἀγομένη εὐθεῖα
5	ἐκβαλλομένη τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ συμπεσεῖται, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ σημεῖον ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐφάψονται τῶν ἀντικειμένων. ἔστω ὑπερβολὴ ἡ ΕΗ, ἀσύμπτωτοι δὲ αἱ ΝΞ, ΟΠ, καὶ κέντρον τὸ Ρ, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐν τῇ ὑπὸ
10	ΞΡΠ γωνίᾳ, καὶ ἤχθωσαν αἱ ΔΕ, ΔΖ τέμνουσαι τὴν ὑπερβολὴν ἑκατέρα κατὰ δύο σημεῖα, καὶ περιεχέσθω τὰ Ε, Θ ὑπὸ τῶν Ζ, Η, καὶ ἔστω, ὡς μὲν ἡ ΕΔ πρὸς
10	ΔΘ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ. δεικτέον, ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ, Λ συμπεσεῖταί	18 in vol. 2
15	τε τῇ ΕΖ τομῇ καὶ τῇ ἀντικειμένῃ, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψονται τῶν τομῶν. ἔστω δὴ ἀντικειμένη ἡ Μ, καὶ ἀπὸ τοῦ Δ ἤχθω‐ σαν ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΔΜ, ΔΣ, καὶ ἐπι‐ ζευχθεῖσα ἡ ΜΣ, εἰ δυνατόν, μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν
20	Κ, Λ, ἀλλ’ ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἢ δι’ οὐδε‐ τέρου. ἐρχέσθω πρότερον διὰ τοῦ Κ καὶ τεμνέτω τὴν ΖΗ κατὰ τὸ Χ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΧΖ πρὸς ΧΗ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γάρ, ὡς ἡ ΖΔ
25	πρὸς ΔΗ, ἡ ΖΛ πρὸς ΛΗ. ἐὰν δὲ μηδὲ δι’ ἑτέρου τῶν Κ, Λ ἔρχηται ἡ ΜΣ, ἐφ’ ἑκατέρας τῶν ΕΔ, ΔΖ τὸ ἀδύνατον συμβαίνει.
4 . 13	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων ᾖ, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ ὑπάρχῃ, ἡ διὰ τῶν διαιρέσεων ἀγομένη παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμ‐ πτώτῳ, ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ σημεῖον, καὶ ἐκβαλλομένη συμ‐
5	πεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ σημεῖον ἀγομένη ἐφάψεται τῆς τομῆς. ἔστω γὰρ ὑπερβολὴ καὶ ἀσύμπτωτοι, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων τὸ Δ, καὶ διήχθωσαν αἱ εὐθεῖαι καὶ διῃρήσθωσαν, ὡς εἴρηται, καὶ ἤχθω ἀπὸ
10	τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς τομῆς ἡ ΔΒ. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὴν ΠΟ ἀγομένη ἥξει διὰ τῶν Κ, Λ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι διὰ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν ἐλεύσεται ἢ δι’ οὐδετέρου.	20 in vol. 2
15	ἐρχέσθω διὰ μόνου τοῦ Κ. ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΖΧ πρὸς ΧΗ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὴν ΠΟ ἀγομένη διὰ μόνου τοῦ Κ ἐλεύσεται· δι’ ἀμφοτέρων ἄρα.
4 . 14	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἐὰν τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς ᾖ τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ ἡ μὲν ΔΕ τέμνῃ τὴν τομὴν κατὰ δύο σημεῖα, ἡ δὲ ΔΗ κατὰ μόνον τὸ Η παρ‐ άλληλος οὖσα τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ γένηται,
5	ὡς ἡ ΔΕ πρὸς ΔΘ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΘ, τῇ δὲ ΔΗ ἴση ἐπ’ εὐθείας τεθῇ ἡ ΗΛ, ἡ διὰ τῶν Κ, Λ σημείων ἀγομένη παράλληλός τε ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ καὶ συμ‐ πεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ[Omitted graphic marker] ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώ‐
10	σεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφ‐ άψεται τῆς τομῆς. ὁμοίως γὰρ τῷ προειρημένῳ ἀγαγὼν τὴν ΔΒ ἐφαπτομέ‐
15	νην λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Β παρὰ τὴν ΠΟ ἀσύμπτωτον ἀγομένη ἥξει διὰ τῶν Κ, Λ σημείων. εἰ οὖν διὰ τοῦ Κ μόνου ἥξει, οὐκ ἔσται ἡ ΔΗ τῇ ΗΛ ἴση· ὅπερ ἄτοπον. εἰ δὲ διὰ τοῦ Λ μόνου,
20	οὐκ ἔσται, ὡς ἡ ΕΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΕΚ πρὸς ΚΘ. εἰ δὲ μήτε διὰ τοῦ Κ μήτε διὰ τοῦ Λ, κατ’ ἀμφότερα συμβήσεται τὸ ἄτοπον. δι’ ἀμφοτέρων ἄρα ἐλεύσεται.	22 in vol. 2
4 . 15	Ἐὰν ἐν ἀντικειμέναις ληφθῇ τι σημεῖον μεταξὺ τῶν δύο τομῶν, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ἐφάπτηται μιᾶς τῶν ἀντικειμένων, ἡ δὲ τέμνῃ ἑκατέραν τῶν ἀντικει‐ μένων, καὶ ὡς ἔχει ἡ μεταξὺ τῆς ἑτέρας τομῆς, ἧς
5	οὐκ ἐφάπτεται ἡ εὐθεῖα, καὶ τοῦ σημείου πρὸς τὴν μεταξὺ τοῦ σημείου καὶ τῆς ἑτέρας τομῆς, οὕτως ἔχῃ μείζων τις εὐθεῖα τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῆς κειμένην ἐπ’ εὐθείας τε καὶ πρὸς τῷ αὐτῷ πέρατι τῇ ὁμολόγῳ, ἡ ἀπὸ τοῦ πέρατος τῆς
10	μείζονος εὐθείας ἐπὶ τὴν ἁφὴν ἀγομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἀγομένη ἐφάπτεται τῆς τομῆς. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ εἰλήφθω τι σημεῖον μεταξὺ τῶν τομῶν τὸ Δ ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν
15	ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ ἡ μὲν ΔΖ διήχθω ἐφαπτομένη, ἡ δὲ ΑΔΒ τέμνουσα τὰς τομάς, καὶ ὃν ἔχει λόγον ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἐχέτω ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ. δεικτέον, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς
20	συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἀγομένη ἐφάψεται τῆς τομῆς. ἐπεὶ γὰρ τὸ Δ σημεῖον ἐντός ἐστι τῆς περιεχούσης τὴν τομὴν γωνίας, δυνατόν ἐστι καὶ ἑτέραν ἐφαπτο‐ μένην ἀγαγεῖν ἀπὸ τοῦ Δ. ἤχθω ἡ ΔΕ, καὶ ἐπι‐
20	ζευχθεῖσα ἡ ΖΕ ἐρχέσθω, εἰ δυνατόν, μὴ διὰ τοῦ Γ,	24 in vol. 2
25	ἀλλὰ διὰ τοῦ Η. ἔσται δή, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γάρ, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ.
4 . 16	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ γινέσθω. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἐπιζευγνυμένη
5	ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται τῇ ἀντικειμένῃ τομῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψεται τῆς ἀντι‐ κειμένης τομῆς.[Omitted graphic marker] ἔστω γὰρ τὰ αὐτὰ, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης, καὶ
10	ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη τῆς Α τομῆς ἡ ΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβαλλομένη, εἰ δυνατόν, μὴ ἐρχέσθω ἐπὶ τὸ Γ, ἀλλ’ ἐπὶ τὸ Η. ἔσται δή, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ, ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ· ὅπερ ἄτοπον· ὑπόκειται γάρ, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ.
4 . 17	Τῶν αὐτῶν ὄντων ἔστω τὸ Δ σημεῖον ἐπί τινος
4 . 17	τῶν ἀσυμπτώτων. λέγω, ὅτι ἡ ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὸ Γ ἀγομένη παράλλη‐ λος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ, ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ σημεῖον.	26 in vol. 2
5	ἔστωσαν τὰ αὐτὰ[Omitted graphic marker] τοῖς ἔμπροσθεν, τὸ δὲ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ παρ‐
10	άλληλος, καὶ εἰ δυ‐ νατόν, μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ Γ, ἀλλ’ ἐπὶ τὸ Η. ἔσται δή, ὡς ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἡ ΑΗ πρὸς ΗΒ· ὅπερ ἄτοπον. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ἀσύμπτωτον ἐπὶ
15	τὸ Γ πίπτει.
4 . 18	Ἐὰν ἐν ἀντικειμέναις ληφθῇ τι σημεῖον μεταξὺ τῶν δύο τομῶν, καὶ ἀπ’ αὐτοῦ δύο εὐθεῖαι διαχθῶσι τέμνουσαι ἑκατέραν τῶν τομῶν, καὶ ὡς ἔχουσιν αἱ μεταξὺ τῆς μιᾶς τομῆς πρὸς τὰς μεταξὺ τῆς ἑτέρας
5	τομῆς καὶ τοῦ αὐτοῦ σημείου, οὕτως ἔχωσιν αἱ μείζους τῶν ἀπολαμβανομένων μεταξὺ τῶν ἀντικειμένων πρὸς τὰς ὑπεροχὰς αὐτῶν, ἡ διὰ τῶν περάτων ἀγομένη εὐθεῖα τῶν μειζόνων εὐθειῶν ταῖς τομαῖς συμπεσεῖται, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ ληφθὲν σημεῖον
10	ἀγόμεναι εὐθεῖαι ἐφάψονται τῶν γραμμῶν. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ τὸ Δ σημεῖον μεταξὺ τῶν τομῶν. πρότερον ὑποκείσθω ἐν τῇ ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένῃ γωνίᾳ, καὶ διὰ τοῦ Δ διήχθωσαν αἱ ΑΔΒ, ΓΔΘ. μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ΑΔ
15	τῆς ΔΒ, ἡ δὲ ΓΔ τῆς ΔΘ, διότι ἴση ἐστὶν ἡ ΒΝ τῇ ΑΜ. καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΔ πρὸς ΔΒ, ἐχέτω ἡ ΑΚ πρὸς ΚΒ, ὃν δὲ ἔχει λόγον ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἐχέτω ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ. λέγω, ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ, Η συμπεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὰς συμ‐	28 in vol. 2
20	πτώσεις ἐφάψονται τῆς τομῆς. ἐπεὶ γὰρ τὸ Δ ἐντός ἐστι τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώ‐ των περιεχομένης γωνίας, δυνατὸν ἀπὸ τοῦ Δ δύο ἐφαπτομένας ἀγαγεῖν. ἤχθωσαν αἱ ΔΕ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ· ἐλεύσεται δὴ διὰ τῶν Κ, Η σημείων
25	[εἰ γὰρ μή, ἢ διὰ τοῦ ἑνὸς αὐτῶν ἐλεύσεται μόνου ἢ δι’ οὐδετέρου]. εἰ μὲν γὰρ δι’ ἑνὸς αὐτῶν μόνου, ἡ ἑτέρα τῶν εὐθειῶν εἰς τὸν αὐτὸν λόγον τμηθήσεται καθ’ ἕτερον σημεῖον· ὅπερ ἀδύνατον· εἰ δὲ δι’ οὐδε‐ τέρου, ἐπ’ ἀμφοτέρων τὸ ἀδύνατον συμβήσεται.
4 . 19	Εἰλήφθω δὴ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης, καὶ διήχθωσαν αἱ εὐθεῖαι τέμνουσαι τὰς τομάς, καὶ διῃρήσθωσαν, ὡς εἴρηται.
5	λέγω, ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ, Η ἐκβαλλομένη συμπεσεῖ‐ ται ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμ‐ πτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψονται τῶν τομῶν. ἤχθωσαν γὰρ ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτόμεναι ἑκατέρας τῶν τομῶν αἱ ΔΕ, ΔΖ· ἡ ἄρα διὰ τῶν Ε, Ζ διὰ
10	τῶν Κ, Η ἐλεύσεται. εἰ γὰρ μή, ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἥξει ἢ δι’ οὐδετέρου, καὶ πάλιν ὁμοίως συν‐
10	αχθήσεται τὸ ἄτοπον.	30 in vol. 2
4 . 20	Ἐὰν δὲ τὸ ληφθὲν σημεῖον ἐπί τινος ᾖ τῶν ἀσυμ‐ πτώτων, καὶ τὰ λοιπὰ γένηται τὰ αὐτά, ἡ διὰ τῶν περάτων τῶν ὑπεροχῶν ἀγομένη εὐθεῖα παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ, ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ σημεῖον, καὶ ἡ
5	ἀπὸ τοῦ σημείου ἐπὶ τὴν σύμπτωσιν τῆς τομῆς καὶ τῆς διὰ τῶν περάτων ἠγμένης εὐθείας ἐφάψεται τῆς τομῆς. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἔστω ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ
10	αὐτὰ γινέσθω. λέγω,[Omitted graphic marker] ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ, Η συμπεσεῖται τῇ το‐ μῇ, καὶ ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ
15	Δ ἐφάψεται τῆς τομῆς. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένη ἡ ΔΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ παρὰ τὴν ἀσύμπτω‐ τον, ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ Δ, ἤχθω εὐθεῖα. ἥξει δὴ διὰ τῶν
20	Κ, Η. εἰ γὰρ μή, ἢ διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἥξει ἢ δι’ οὐδε‐ τέρου, καὶ τὰ αὐτὰ ἄτοπα συμβήσεται τοῖς πρότερον.
4 . 21	Ἔστωσαν πάλιν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐπὶ μιᾶς τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ ἡ μὲν ΔΒΚ τῇ τομῇ καθ’ ἓν μόνον σημεῖον συμβαλλέτω τὸ Β παράλληλος οὖσα τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων, ἡ δὲ ΓΔΘ
5	ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν συμβαλλέτω, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΓΔ
5	πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ, τῇ δὲ ΔΒ ἴση ἔστω ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ, Η σημείων συμπεσεῖται τῇ τομῇ καὶ παράλληλος ἔσται τῇ ἀσυμπτώτῳ, ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ Δ σημεῖον, καὶ[Omitted graphic marker]	32 in vol. 2
10	ἡ ἀπὸ τῆς συμπτώσεως ἐπὶ τὸ Δ ἀγομένη ἐφ‐ άψεται τῆς τομῆς. ἤχθω γὰρ ἐφαπτο‐ μένη ἡ ΔΖ, καὶ ἀπὸ
15	τοῦ Ζ παρὰ τὴν ἀσύμ‐ πτωτον, ἐφ’ ἧς ἐστι τὸ Δ, ἤχθω εὐθεῖα· ἥξει δὴ διὰ τῶν Κ, Η. εἰ γὰρ μή, τὰ πρότερον εἰρη‐ μένα ἄτοπα συμβήσεται.
4 . 22	Ἔστωσαν δὴ ὁμοίως αἱ ἀντικείμεναι καὶ αἱ ἀσύμ‐ πτωτοι, καὶ τὸ Δ σημεῖον ὁμοίως εἰλήφθω, καὶ ἡ μὲν ΓΔΘ τέμνουσα τὰς τομάς, ἡ δὲ ΔΒ παράλληλος τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ,
5	ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ, τῇ δὲ ΔΒ ἴση ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ, Η συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων, καὶ αἱ ἁπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἐφάψονται τῶν ἀντικειμένων. ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΔΕ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθω
10	ἡ ΕΖ καί, εἰ δυνατόν, μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν Κ, Η, ἀλλ’ ἤτοι διὰ τοῦ ἑτέρου ἢ δι’ οὐδετέρου [ἥξει]. εἰ μὲν διὰ τοῦ Η μόνου, οὐκ ἔσται ἡ ΔΒ τῇ ΒΚ ἴση,
10	ἀλλ’ ἑτέρᾳ· ὅπερ ἄτοπον. εἰ δὲ διὰ μόνου τοῦ Κ, οὐκ ἔσται, ὡς ἡ ΓΔ πρὸς ΔΘ, ἡ ΓΗ πρὸς ΗΘ, ἀλλ’	34 in vol. 2
15	ἄλλη τις πρὸς ἄλλην. εἰ δὲ δι’ οὐδετέρου τῶν Κ, Η, ἀμφότερα τὰ ἀδύνατα συμβήσεται.
4 . 23	Ἔστωσαν πάλιν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ τὸ Δ σημεῖον ἐν τῇ ἐφεξῆς γωνίᾳ τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης, καὶ ἡ μὲν ΒΔ ἤχθω τὴν Β τομὴν καθ’ ἓν μόνον τέμνουσα, τῇ δὲ ἑτέρᾳ τῶν ἀσυμπτώτων
5	παράλληλος, ἡ δὲ ΔΑ τὴν Α τομὴν ὁμοίως, καὶ ἔστω ἴση ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΗ, ἡ δὲ ΔΑ τῇ ΑΚ. λέγω, ὅτι ἡ διὰ τῶν Κ, Η συμβάλλει ταῖς τομαῖς, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Δ ἀγόμεναι ἐφ‐ άψονται τῶν τομῶν.
10	ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι αἱ ΔΕ, ΔΖ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΖ, εἰ δυνατόν, μὴ ἐρχέσθω διὰ τῶν Κ, Η. ἤτοι[Omitted graphic marker] δὴ διὰ τοῦ ἑτέρου αὐτῶν ἐλεύσεται ἢ δι’ οὐδετέρου,
10	καὶ ἤτοι ἡ ΔΑ οὐκ ἔσται ἴση τῇ ΑΚ, ἀλλὰ ἄλλῃ τινί· ὅπερ ἄτοπον· ἢ ἡ ΔΒ τῇ ΒΗ οὐκ ἴση, ἢ οὐδετέρα	36 in vol. 2
15	οὐδετέρᾳ, καὶ πάλιν ἐπ’ ἀμφοτέρων τὸ αὐτὸ ἄτοπον συμβήσεται. ἥξει ἄρα ἡ ΕΖ διὰ τῶν Κ, Η.
4 . 24	Κώνου τομὴ κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ οὐ συμβάλλει οὕτως, ὥστε μέρος μέν τι εἶναι ταὐτόν, μέρος δὲ μὴ εἶναι κοινόν. εἰ γὰρ δυνατόν, κώνου τομὴ ἡ ΔΑΒΓ κύκλου
5	περιφερείᾳ τῇ ΕΑΒΓ συμβαλλέτω, καὶ ἔστω αὐτῶν κοινὸν μέρος τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒΓ, μὴ κοινὸν δὲ τὸ ΑΔ καὶ τὸ ΑΕ, καὶ εἰλήφθω ἐπ’ αὐτῶν σημεῖον τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΑ, καὶ διὰ τυχόντος σημείου τοῦ Ε τῇ ΑΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΔΕΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΘ
10	δίχα κατὰ τὸ Η, καὶ διὰ τοῦ Η διάμετρος ἤχθω ἡ ΒΗΖ. ἡ ἄρα διὰ τοῦ Β παρὰ τὴν ΑΘ ἐφάψεται ἑκατέρας τῶν τομῶν καὶ παράλληλος ἔσται τῇ ΔΕΓ, καὶ ἔσται ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΔΖ τῇ ΖΓ ἴση, ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΕΖ τῇ ΖΓ ἴση. ὥστε καὶ ἡ ΔΖ
15	τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἀδύνατον.
4 . 25	Κώνου τομὴ κώνου τομὴν ἢ κύκλου περιφέρειαν οὐ τέμνει κατὰ πλείονα σημεῖα τεσσάρων. εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτω κατὰ πέντε τὰ Α, Β, Γ, Δ, Ε, καὶ ἔστωσαν αἱ Α, Β, Γ, Δ, Ε συμπτώσεις ἐφεξῆς μη‐
5	δεμίαν παραλείπουσαι μεταξὺ αὑτῶν, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν· συμπεσοῦνται δὴ αὗται ἐκτὸς τῶν τομῶν ἐπὶ τῆς παραβολῆς καὶ ὑπερ‐
5	βολῆς. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ, καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ, ἐχέτω ἡ ΑΟ πρὸς ΟΒ, ὃν δὲ	38 in vol. 2
10	ἔχει λόγον ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ, ἐχέτω ἡ ΔΠ πρὸς ΠΓ. ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Π ἐπὶ τὸ Ο ἐπιζευγνυμένη ἐκβαλλο‐ μένη ἐφ’ ἑκάτερα συμπεσεῖται τῇ τομῇ, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνύμεναι ἐφάψονται τῶν τομῶν. συμπιπτέτω δὴ κατὰ τὰ Θ, Ρ, καὶ ἐπε‐
15	ζεύχθωσαν αἱ ΘΛ, ΛΡ· ἐφάψονται δὴ αὗται. ἡ ἄρα ΕΛ τέμνει ἑκατέραν τομήν, ἐπείπερ μεταξὺ τῶν Β, Γ σύμ‐ πτωσις οὐκ ἔστι. τεμνέτω κατὰ τὰ Μ, Η· ἔσται ἄρα διὰ μὲν τὴν ἑτέραν τομήν, ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΗ, ἡ ΕΝ πρὸς ΝΗ, διὰ δὲ τὴν ἑτέραν, ὡς ἡ ΕΛ πρὸς ΛΜ,
20	ἡ ΕΝ πρὸς ΝΜ. τοῦτο δὲ ἀδύνατον· ὥστε καὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς. ἐὰν δὲ αἱ ΑΒ, ΔΓ παράλληλοι ὦσιν, ἔσονται μὲν αἱ τομαὶ ἐλλείψεις ἢ κύκλου περιφέρεια. τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΠΟ
25	καὶ ἐκβεβλήσθω ἐφ’ ἑκάτερα· συμπεσεῖται δὴ ταῖς τομαῖς. συμπιπτέτω δὴ κατὰ τὰ Θ, Ρ. ἔσται δὴ διάμετρος τῶν τομῶν ἡ ΘΡ, τεταγμένως δὲ ἐπ’ αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΑΒ, ΓΔ. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Ε παρὰ τὰς ΑΒ, ΓΔ ἡ ΕΝΜΗ· τεμεῖ ἄρα ἡ ΕΜΗ τὴν ΘΡ
30	καὶ ἑκατέραν τῶν γραμμῶν, διότι ἑτέρα σύμπτωσις οὐκ ἔστι παρὰ τὰς Α, Β, Γ, Δ. ἔσται δὴ διὰ ταῦτα ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΝΜ ἴση τῇ ΕΝ, ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΝΕ τῇ ΝΗ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΝΜ τῇ ΝΗ ἐστιν
30	ἴση· ὅπερ ἀδύνατον.	40 in vol. 2
4 . 26	Ἐὰν τῶν εἰρημένων γραμμῶν τινες καθ’ ἓν ἐφά‐ πτωνται σημεῖον ἀλλήλων, οὐ συμβάλλουσιν ἑαυταῖς καθ’ ἕτερα σημεῖα πλείονα ἢ δύο. ἐφαπτέσθωσαν γὰρ ἀλλήλων τινὲς δύο τῶν εἰρη‐
5	μένων γραμμῶν κατὰ τὸ Α σημεῖον. λέγω, ὅτι οὐ συμβάλλουσι κατ’ ἄλλα σημεῖα πλείονα ἢ δύο. εἰ γὰρ δυνατόν, συμβαλλέτωσαν κατὰ τὰ Β, Γ, Δ, καὶ ἔστωσαν αἱ συμπτώσεις ἐφεξῆς ἀλλήλαις μηδεμίαν μεταξὺ παραλείπουσαι, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ καὶ ἐκ‐
10	βεβλήσθω, καὶ ἀπὸ[Omitted graphic marker] τοῦ Α ἐφαπτομένη ἤχθω ἡ ΑΛ· ἐφάψεται δὴ τῶν δύο τομῶν καὶ συμπεσεῖται τῇ ΓΒ.
15	συμπιπτέτω κατὰ τὸ Λ, καὶ γινέσθω, ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΒ, ἡ ΓΠ πρὸς ΠΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΠ καὶ ἐκβεβλήσθω·
20	συμπεσεῖται δὴ ταῖς τομαῖς, καὶ αἱ ἀπὸ τῶν συμπτώσεων ἐπὶ τὸ Λ ἐφάψονται τῶν τομῶν. ἐκβε‐ βλήσθω καὶ συμπιπτέτω κατὰ τὰ Θ, Ρ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΛ, ΛΡ· ἐφάψονται δὴ αὗται τῶν τομῶν. ἡ ἄρα
25	ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Λ ἐπιζευγνυμένη τέμνει ἑκατέραν τῶν τομῶν, καὶ συμβήσεται τὰ πρότερον εἰρημένα ἄτοπα. οὐκ ἄρα τέμνουσιν ἀλλήλας κατὰ πλείονα
25	σημεῖα ἢ δύο. ἐὰν δὲ ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἢ τῆς τοῦ κύκλου περιφε‐	42 in vol. 2
30	ρείας ἡ ΓΒ παράλληλος ᾖ τῇ ΑΛ, ὁμοίως τῷ προει‐ ρημένῳ ποιησόμεθα τὴν ἀπόδειξιν διάμετρον δείξαντες τὴν ΑΘ.
4 . 27	Ἐὰν τῶν προειρημένων γραμμῶν τινες κατὰ δύο σημεῖα ἐφάπτωνται ἀλλήλων, οὐ συμβάλλουσιν ἀλλή‐ λαις καθ’ ἕτερον. δύο γὰρ τῶν εἰρημένων γραμμῶν ἐφαπτέσθωσαν
5	ἀλλήλων κατὰ δύο σημεῖα τὰ Α, Β. λέγω, ὅτι ἀλ‐ λήλαις κατὰ ἄλλο σημεῖον οὐ συμβάλλουσιν. εἰ γὰρ δυνατόν, συμβαλλέτωσαν καὶ κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω πρότερον τὸ Γ ἐκτὸς τῶν Α, Β ἁφῶν, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι· ἐφάψονται ἄρα
10	ἀμφοτέρων τῶν γραμμῶν. ἐφαπτέσθωσαν καὶ συμ‐ πιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ, ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ· τεμεῖ δὴ ἑκατέραν τῶν τομῶν. τεμνέτω κατὰ τὰ Η, Μ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΝΒ. ἕσται ἄρα ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ, ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΗ, ἡ ΓΝ
15	πρὸς ΝΗ, ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ, ὡς ἡ ΓΛ πρὸς ΛΜ, ἡ ΓΝ πρὸς ΝΜ· ὅπερ ἄτοπον.
4 . 28	Ἐὰν δὲ ἡ ΓΗ παράλληλος ᾖ ταῖς κατὰ τὰ Α, Β σημεῖα ἐφαπτομέναις, ὡς ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἐν τῇ δευτέρᾳ καταγραφῇ, ἐπιζεύξαντες τὴν ΑΒ ἐροῦμεν, ὅτι διάμετρος ἔσται τῶν τομῶν. ὥστε δίχα τμηθήσεται
5	ἑκατέρα τῶν ΓΗ, ΓΜ κατὰ τὸ Ν· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα καθ’ ἕτερον σημεῖον συμβάλλουσιν αἱ γραμ‐
5	μαὶ ἀλλήλαις, ἀλλὰ κατὰ μόνα τὰ Α, Β.	44 in vol. 2
4 . 29	Ἔστω δὴ τὸ Γ μεταξὺ τῶν ἁφῶν, ὡς ἐπὶ τῆς τρί‐ της καταγραφῆς. φανερόν, ὅτι οὐκ ἐφάψονται αἱ γραμμαὶ ἀλλήλων κατὰ τὸ Γ· κατὰ δύο γὰρ μόνον ὑπόκεινται ἐφαπτό‐
5	μεναι. τεμνέτωσαν οὖν κατὰ τὸ Γ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτό‐[Omitted graphic marker] μεναι αἱ ΑΛ, ΛΒ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ
10	δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ Ζ διάμετρος ἔσται. διὰ μὲν οὖν τοῦ Γ οὐκ ἐλεύσεται. εἰ γὰρ ἥξει,
15	ἡ διὰ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΒ ἀγομένη ἐφάψεται ἀμφο‐ τέρων τῶν τομῶν· τοῦτο δὲ ἀδύνατον. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΒ ἡ ΓΚΗΜ· ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἡ ΓΚ τῇ ΚΗ ἴση, ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΚΜ τῇ ΚΓ ἴση. ὥστε καὶ ἡ ΚΜ τῇ ΚΗ ἴση· ὅπερ ἀδύνατον.
20	ὁμοίως δὲ καί, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ἐφαπτό‐ μεναι, κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἐπάνω τὸ ἀδύνατον δειχ‐ θήσεται.
4 . 30	Παραβολὴ παραβολῆς οὐκ ἐφάψεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν. εἰ γὰρ δυνατόν, ἐφαπτέσθωσαν αἱ ΑΗΒ, ΑΜΒ παραβολαὶ κατὰ τὰ Α, Β, καὶ ἤχθωσαν ἐφαπτόμεναι
5	αἱ ΑΛ, ΛΒ· ἐφάψονται δὴ αὗται τῶν τομῶν ἀμφο‐
5	τέρων καὶ συμπεσοῦνται κατὰ τὸ Λ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω ἡ ΛΖ. ἐπεὶ οὖν δύο γραμμαὶ αἱ ΑΗΒ, ΑΜΒ ἐφάπτονται ἀλλή‐[Omitted graphic marker]	46 in vol. 2
10	λων κατὰ δύο τὰ Α, Β, οὐ συμβάλλουσιν ἀλλήλαις καθ’ ἕτερον· ὥστε ἡ ΛΖ ἑκατέραν τῶν τομῶν τέμ‐ νει. τεμνέτω κατὰ τὰ Η, Μ·
15	ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ἑτέ‐ ραν τομὴν ἡ ΛΗ τῇ ΗΖ ἴση, διὰ δὲ τὴν ἑτέραν ἡ ΛΜ τῇ ΜΖ ἴση· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα παραβολὴ παραβολῆς ἐφάψεται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
4 . 31	Παραβολὴ ὑπερβολῆς οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα ἐκτὸς αὐτῆς πίπτουσα. ἔστω παραβολὴ μὲν ἡ ΑΗΒ, ὑπερβολὴ δὲ ἡ ΑΜΒ, καὶ εἰ δυνατόν, ἐφαπτέσθωσαν κατὰ τὰ Α, Β, καὶ
5	ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι ἑκατέρας τῶν Α, Β τομῶν συμπίπτουσαι ἀλλήλαις κατὰ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ. ἐπεὶ οὖν αἱ ΑΗΒ, ΑΜΒ τομαὶ κατὰ τὰ Α, Β
10	ἐφάπτονται, κατ’ ἄλλο οὐ συμβάλλουσιν· ἡ ἄρα ΛΖ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο τέμνει τὰς τομάς. τεμνέτω κατὰ τὰ Η, Μ, καὶ προσεκβεβλήσθω ἡ ΛΖ· πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὸ κέντρον τῆς ὑπερβολῆς. ἔστω κέντρον τὸ Δ· ἔσται
10	δὴ διὰ μὲν τὴν ὑπερβολήν, ὡς ἡ ΖΔ πρὸς ΔΜ, ἡ	48 in vol. 2
15	ΜΔ πρὸς ΔΛ καὶ λοιπὴ ἡ ΖΜ πρὸς ΜΛ. μείζων δὲ ἡ ΖΔ τῆς ΔΜ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΖΜ τῆς ΜΛ. διὰ δὲ τὴν παραβολὴν ἴση ἡ ΖΗ τῇ ΗΛ· ὅπερ ἀδύνατον.
4 . 32	Παραβολὴ ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα ἐντὸς αὐτῆς πίπτουσα. ἔστω γὰρ ἔλλειψις ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΗΒ, παραβολὴ δὲ ἡ ΑΜΒ, καὶ εἰ δυνατόν, ἐφαπτέσθωσαν
5	κατὰ δύο τὰ Α, Β, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπ‐ τόμεναι τῶν τομῶν καὶ συμπίπτουσαι κατὰ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ τεμεῖ δὴ ἑκατέραν τῶν τομῶν κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο, ὡς εἴρηται. τεμνέτω κατὰ τὰ Η, Μ,
10	καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΛΖ ἐπὶ τὸ Δ, καὶ ἔστω τὸ Δ κέν‐ τρον τῆς ἐλλείψεως ἢ τοῦ κύκλου. ἔστιν ἄρα διὰ τὴν ἔλλειψιν καὶ τὸν κύκλον, ὡς ἡ ΛΔ πρὸς ΔΗ, ἡ ΔΗ πρὸς ΔΖ καὶ λοιπὴ ἡ ΛΗ πρὸς ΗΖ. μείζων δὲ ἡ ΛΔ τῆς ΔΗ· μείζων ἄρα καὶ ἡ ΛΗ τῆς ΗΖ. διὰ
15	δὲ τὴν παραβολὴν ἴση ἡ ΛΜ τῇ ΜΖ· ὅπερ ἀδύνατον.
4 . 33	Ὑπερβολὴ ὑπερβολῆς τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσα οὐκ ἐφάψεται κατὰ δύο σημεῖα. ὑπερβολαὶ γὰρ αἱ ΑΗΒ, ΑΜΒ τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσαι τὸ Δ, εἰ δυνατόν, ἐφαπτέσθωσαν κατὰ τὰ Α,
5	Β, ἤχθωσαν δὲ ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι αὐτῶν καὶ συμπίπτουσαι ἀλλήλαις αἱ ΑΛ, ΛΒ, καὶ ἐπεζεύχθω
5	ἡ ΔΛ καὶ ἐκβεβλήσθω. ἐπεζεύχθω δὴ καὶ ἡ ΑΒ· ἡ ἄρα ΔΖ τὴν ΑΒ δίχα τέμνει κατὰ τὸ Ζ. τεμεῖ δὴ ἡ ΔΖ τὰς τομὰς κατὰ	50 in vol. 2
10	τὰ Η, Μ. ἔσται δὴ διὰ μὲν τὴν ΑΗΒ ὑπερβολὴν[Omitted graphic marker] ἴσον τὸ ὑπὸ ΖΔΛ τῷ ἀπὸ ΔΗ, διὰ δὲ τὴν ΑΜΒ τὸ ὑπὸ ΖΔΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΜ. τὸ ἄρα ἀπὸ ΜΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΗ· ὅπερ ἀδύνατον.
4 . 34	Ἐὰν ἔλλειψις ἐλλείψεως ἢ κύκλου περιφερείας κατὰ δύο σημεῖα ἐφάπτηται τὸ αὐτὸ κέντρον ἔχουσα, ἡ τὰς ἁφὰς ἐπιζευγνύουσα διὰ τοῦ κέντρου πεσεῖται. ἐφαπτέσθωσαν γὰρ ἀλλήλων αἱ εἰρημέναι γραμμαὶ
5	κατὰ τὰ Α, Β σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ διὰ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν ἤχθωσαν καί, εἰ δυνατόν, συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ, καὶ ἡ ΑΒ δίχα τετμήσθω κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΖ· διάμετρος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΖ τῶν τομῶν.
10	ἔστω, εἰ δυνατόν, κέντρον τὸ Δ· ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ ΛΔΖ διὰ μὲν τὴν ἑτέραν τομὴν ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΗ, διὰ δὲ τὴν ἑτέραν ἴσον τῷ ἀπὸ ΜΔ· ὥστε τὸ ἀπὸ
10	ΗΔ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΜ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα αἱ ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι συμπεσοῦνται· παράλλη‐	52 in vol. 2
15	λοι ἄρα εἰσίν, καὶ διὰ τοῦτο διάμετρός ἐστιν ἡ ΑΒ. ὥστε διὰ τοῦ κέντρου πίπτει· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
4 . 35	Κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κυρτὰ ἔχουσα οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο. εἰ γὰρ δυνατόν, κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια
5	ἡ ΑΒΓ κώνου τομῇ ἢ κύκλου περιφερείᾳ τῇ ΑΔΒΕΓ συμβαλλέτω κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κυρτὰ ἔχουσα τὰ Α, Β, Γ. καὶ ἐπεὶ ἐν τῇ ΑΒΓ γραμμῇ εἴληπται τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ καὶ ἐπεζευγμέναι αἱ ΑΒ, ΒΓ, γωνίαν
10	ἄρα περιέχουσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῖς κοίλοις τῆς ΑΒΓ γραμμῆς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ αἱ ΑΒΓ τὴν αὐτὴν γωνίαν περιέχουσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τοῖς κοίλοις τῆς ΑΔΒΕΓ γραμμῆς. αἱ εἰρημέναι ἄρα γραμμαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη ἔχουσι τὰ κοῖλα ἅμα καὶ τὰ κυρτά· ὅπερ ἀδύ‐
15	νατον.
4 . 36	Ἐὰν κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια συμπίπτῃ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων κατὰ δύο σημεῖα, καὶ αἱ μεταξὺ τῶν συμπτώσεων γραμμαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα ἔχωσι, προσεκβαλλομένη ἡ γραμμὴ κατὰ τὰς συμπτώ‐
5	σεις οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Δ, ΑΕΓΖ, καὶ ἔστω κώ‐ νου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΖ συμπίπτουσα τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων κατὰ[Omitted graphic marker] δύο σημεῖα τὰ Α, Ζ, καὶ ἐχέτωσαν	54 in vol. 2
10	αἱ ΑΒΖ, ΑΓΖ τομαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ κοῖλα. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΖ γραμμὴ ἐκβαλλομένη οὐ συμπεσεῖται τῇ Δ. ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΑΖ. καὶ ἐπεὶ
15	ἀντικείμεναί εἰσιν αἱ Δ, ΑΓΖ, καὶ ἡ ΑΖ εὐθεῖα κατὰ δύο τέμνει τὴν ὑπερβολήν, οὐ συμπεσεῖται ἐκβαλλομένη τῇ Δ ἀντικειμένῃ. οὐδὲ ἄρα ἡ ΑΒΖ γραμμὴ συμπεσεῖται τῇ Δ.
4 . 37	Ἐὰν κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια μιᾷ τῶν ἀν‐ τικειμένων συμπίπτῃ, τῇ λοιπῇ αὐτῶν οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ συμβαλλέτω τῇ
5	Α κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἡ ΑΒΓ καὶ τεμ‐ νέτω τὴν Β ἀντικειμένην κατὰ τὰ Β, Γ. λέγω, ὅτι κατ’ ἄλλο σημεῖον οὐ συμπεσεῖται τῇ ΒΓ. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ. ἡ ἄρα ΒΓΔ τῇ ΒΓ τομῇ συμβάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ
10	δύο μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔχουσα τὰ κοῖλα· ὅπερ ἀδύνατον. ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ ἐὰν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ
10	τῆς ἀντικειμένης ἐφάπτηται.	56 in vol. 2
4 . 38	Κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ταῖς ἀντικειμέ‐ ναις οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα. φανερὸν δὲ τοῦτο ἐκ τοῦ τῇ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπίπτουσαν αὐτὴν τῇ λοιπῇ κατὰ πλείονα δυεῖν μὴ
5	συμπίπτειν.
4 . 39	Ἐὰν κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐφάπτηται τοῖς κοίλοις αὐτῆς, τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ τῆς Α τομῆς
5	ἐφαπτέσθω ἡ ΓΑΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΑΔ τῇ Β οὐ συμπεσεῖται. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη ἡ ΕΑΖ. ἑκατέρας δὴ τῶν γραμμῶν ἐπιψαύει κατὰ τὸ Α· ὥστε οὐ συμ‐ πεσεῖται τῇ Β. ὥστε οὐδὲ ἡ ΓΑΔ.
4 . 40	Ἐὰν κώνου τομὴ ἢ κύκλου περιφέρεια ἑκατέρας τῶν ἀντικειμένων καθ’ ἓν ἐφάπτηται σημεῖον, καθ’ ἕτερον οὐ συμπεσεῖται ταῖς ἀντικειμέναις. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ κώνου τομὴ ἢ
5	κύκλου περιφέρεια ἐφαπτέσθω ἑκατέρας τῶν Α, Β κατὰ τὰ Α, Β. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ γραμμὴ καθ’ ἕτερον οὐ συμπεσεῖται ταῖς Α, Β τομαῖς. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒΓ γραμμὴ τῆς Α τομῆς ἐφάπτεται
5	καθ’ ἓν συμπίπτουσα καὶ τῇ Β, τῆς Α ἄρα τομῆς οὐκ	58 in vol. 2
10	ἐφάψεται κατὰ τὰ κοῖλα. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ τῆς Β. ἤχθωσαν τῶν Α, Β τομῶν ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΔ, ΒΕ· αὗται δὴ ἐφάψονται τῆς ΑΒΓ γραμμῆς. εἰ γὰρ δυνατόν, τεμνέτω ἡ ἑτέρα αὐτῶν, καὶ ἔστω ἡ ΑΖ. μεταξὺ ἄρα τῆς ΑΖ ἐφαπτομένης καὶ τῆς Α το‐
15	μῆς παρεμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΑΗ· ὅπερ ἀδύνατον. ἐφάψονται ἄρα τῆς ΑΒΓ, καὶ διὰ τοῦτο φανερόν, ὅτι ἡ ΑΒΓ καθ’ ἕτερον οὐ συμβάλλει ταῖς Α, Β ἀντι‐ κειμέναις.
4 . 41	Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων κατὰ δύο σημεῖα συμπίπτῃ ἀντεστραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντι‐ κειμένων.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΔ, Ζ, καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΒΓ τῇ ΑΒΔ συμβαλ‐[Omitted graphic marker] λέτω κατὰ τὰ Α, Β σημεῖα ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρ‐ τὰ τοῖς κοίλοις, καὶ τῆς ΑΒΓ
10	ἔστω ἀντικειμένη ἡ Ε. λέγω, ὅτι οὐ συμπεσεῖται τῇ Ζ. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ καὶ ἐκ‐ βεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολὴν τὴν ΑΒΔ εὐθεῖα
15	τέμνει ἡ ΑΒΗ, ἐκβαλλομένη δὲ ἐφ’ ἑκάτερα ἐκτὸς πίπτει
15	τῆς τομῆς, οὐ συμπεσεῖται τῇ Ζ τομῇ. ὁμοίως δὴ διὰ τὴν ΑΒΓ ὑπερβολὴν οὐδὲ τῇ Ε ἀντικειμένῃ συμ‐ πίπτει. οὐδὲ ἡ Ε ἄρα τῇ Ζ συμπεσεῖται.	60 in vol. 2
4 . 42	Ἐὰν ὑπερβολὴ ἑκατέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμπίπτῃ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδετέρᾳ τῶν ἀντικειμένων συμ‐ πεσεῖται κατὰ δύο σημεῖα. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ ἡ ΑΓΒ ὑπερ‐
5	βολὴ συμπιπτέτω ἑκατέρᾳ τῶν Α, Β ἀντικειμένων. λέγω, ὅτι ἡ τῇ ΑΓΒ ἀντικειμένη οὐ συμβάλλει ταῖς Α, Β τομαῖς κατὰ δύο σημεῖα. εἰ γὰρ δυνατόν, συμβαλλέτω κατὰ τὰ Δ, Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω. διὰ μὲν δὴ τὴν
10	ΔΕ τομὴν οὐ συμπεσεῖται ἡ ΔΕ εὐθεῖα τῇ ΑΒ τομῇ, διὰ δὲ τὴν ΑΕΔ οὐ συμπεσεῖται τῇ Β· διὰ γὰρ τῶν τριῶν τόπων ἐλεύσεται· ὅπερ ἀδύνατον. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι οὐδὲ τῇ Β τομῇ κατὰ δύο σημεῖα συμπεσεῖται.
15	διὰ τὰ αὐτὰ δὴ οὐδὲ ἐφάψεται ἑκατέρας αὐτῶν. ἀγαγόντες γὰρ ἐπιψαύουσαν τὴν ΘΕ ἐφάπτεται μὲν αὕτη ἑκατέρας τῶν τομῶν· ὥστε διὰ μὲν τὴν ΔΕ οὐ συμπεσεῖται τῇ ΑΓ, διὰ δὲ τὴν ΑΕ οὐ συμβάλλει τῇ Β. ὥστε οὐδὲ ἡ ΑΓ τῇ Β συμβάλλει· ὅπερ οὐχ
20	ὑπόκειται.
4 . 43	Ἐὰν ὑπερβολὴ ἑκατέραν τῶν ἀντικειμένων τέμνῃ
4 . 43	κατὰ δύο σημεῖα ἀντεστραμμένα ἔχουσα πρὸς ἑκατέραν τὰ κυρτά, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδεμιᾷ τῶν ἀντικει‐ μένων συμπεσεῖται.	62 in vol. 2
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΓΑΒΔ ἑκατέραν τῶν Α, Β τεμνέτω κατὰ δύο ση‐ μεῖα ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτά. λέγω, ὅτι ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ ἡ ΕΖ οὐδεμιᾷ τῶν Α, Β συμ‐ πεσεῖται.
10	εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω τῇ Α κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΑ, ΔΒ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν· συμ‐ πεσοῦνται δὴ[Omitted graphic marker] ἀλλήλαις. συμ‐ πιπτέτωσαν
15	κατὰ τὸ Θ· ἔσται δὴ τὸ Θ ἐν τῇ περιεχο‐ μένῃ γωνίᾳ ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώ‐
20	των τῆς ΓΑΒΔ τομῆς. καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικει‐ μένη ἡ ΕΖ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ε ἐπὶ τὸ Θ ἐπιζευγνυ‐ μένη ἐντὸς πεσεῖται τῆς ὑπὸ τῶν ΑΘΒ περιεχομένης
25	γωνίας. πάλιν ἐπεὶ ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΓΑΕ, καὶ συμ‐ πίπτουσιν αἱ ΓΑΘ, ΘΕ, καὶ αἱ Γ, Α συμπτώσεις οὐ περιέχουσι τὴν Ε, τὸ Θ σημεῖον ἔσται μεταξὺ τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΓΑΕ τομῆς. καί ἐστιν αὐτῆς ἀντι‐ κειμένη ἡ ΒΔ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ Θ ἐντὸς
30	πεσεῖται τῆς ὑπὸ ΓΘΕ γωνίας· ὅπερ ἄτοπον· ἔπιπτε γὰρ καὶ εἰς τὴν ὑπὸ ΑΘΒ. οὐκ ἄρα ἡ ΕΖ μιᾷ τῶν
30	Α, Β συμπεσεῖται.	64 in vol. 2
4 . 44	Ἐὰν ὑπερβολὴ μίαν τῶν ἀντικειμένων κατὰ τέσ‐ σαρα σημεῖα τέμνῃ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐ συμπεσεῖ‐ ται τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓΔ, Ε, καὶ τεμνέτω
5	ὑπερβολὴ τὴν ΑΒΓΔ κατὰ τέσσαρα σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, Δ, καὶ ἔστω αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ Κ. λέγω, ὅτι ἡ Κ οὐ συμπεσεῖται τῇ Ε. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω κατὰ τὸ Κ, καὶ ἐπε‐ ζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΓΔ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν· συμπε‐
10	σοῦνται δὴ ἀλλήλαις. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Λ, καὶ ὃν μὲν ἔχει λόγον ἡ ΑΛ πρὸς ΛΒ, ἐχέτω ἡ ΑΠ πρὸς ΠΒ, ὃν δὲ ἡ ΔΛ πρὸς ΛΓ, ἡ ΔΡ πρὸς ΡΓ. ἡ ἄρα διὰ τῶν Π, Ρ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται ἑκατέρᾳ τῶν τομῶν, καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὰς συμπτώσεις
15	ἐφάψονται. ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΚΛ καὶ ἐκβεβλήσθω· τεμεῖ δὴ τὴν ὑπὸ ΒΛΓ γωνίαν καὶ τὰς τομὰς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον. τεμνέτω κατὰ τὰ Ζ, Μ· ἔσται δὴ διὰ μὲν τὰς ΑΘΖΗ, Κ ἀντικειμένας, ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΛ, ἡ ΝΖ πρὸς ΖΛ, διὰ δὲ τὰς ΑΒΓΔ, Ε,
20	ὡς ἡ ΝΚ πρὸς ΚΛ, ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ· ὅπερ ἀδύνα‐ τον. οὐκ ἄρα αἱ Ε, Κ συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
4 . 45	Ἐὰν ὑπερβολὴ τῇ μὲν τῶν ἀντικειμένων συμπίπτῃ κατὰ δύο σημεῖα ἐπὶ τὰ αὐτὰ ἔχουσα αὐτῇ τὰ κοῖλα, τῇ δὲ καθ’ ἓν σημεῖον, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδετέρᾳ
4 . 45	τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται.	66 in vol. 2
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, Γ, καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΓΒ τῇ μὲν ΑΒ συμπιπτέτω κατὰ τὰ Α, Β, τῇ δὲ Γ καθ’ ἓν τὸ Γ, καὶ ἔστω τῇ ΑΓΒ ἀντικειμένη ἡ Δ. λέγω, ὅτι ἡ Δ οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ, Γ συμπεσεῖται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν.
10	αἱ ἄρα ΑΓ, ΒΓ τῇ Δ τομῇ οὐ συμπεσοῦνται. ἀλλ’ οὐδὲ τῇ Γ τομῇ κατ’[Omitted graphic marker] ἄλλο σημεῖον οὐ συμπεσοῦνται πλὴν τὸ Γ. εἰ γὰρ συμ‐
15	βάλλουσι καὶ καθ’ ἕτερον, τῇ ΑΒ ἀντι‐ κειμένῃ οὐ συμπε‐ σοῦνται· ὑπόκεινται δὲ συμπίπτουσαι. αἱ ΑΓ, ΒΓ ἄρα εὐθεῖαι τῇ μὲν Γ τομῇ καθ’ ἓν συμβάλλουσι τὸ Γ,
20	τῇ δὲ Δ τομῇ οὐδὲ ὅλως συμβάλλουσιν. ἡ Δ ἄρα ἔσται ὑπὸ τὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΓΖ. ὥστε ἡ Δ τομὴ οὐ συμπεσεῖται ταῖς ΑΒ, Γ.
4 . 46	Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾷ τῶν ἀντικειμένων κατὰ τρία σημεῖα συμβάλλῃ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται πλὴν καθ’ ἕν. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, καὶ ὑπερ‐
5	βολὴ ἡ ΑΜΒΓ συμβαλλέτω τῇ ΑΒΓ κατὰ τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ἔστω δὲ τῇ ΑΜΓ ἀντικειμένη ἡ ΔΕΚ [τῇ δὲ ΑΒΓ ἡ ΔΕΖ]. λέγω, ὅτι ἡ ΔΕΚ τῇ ΔΕΖ οὐ
5	συμβάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν. εἰ γὰρ δυνατόν, συμβαλλέτω κατὰ τὰ Δ, Ε, καὶ	68 in vol. 2
10	ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ. ἤτοι δὴ παράλληλοί εἰσιν ἢ οὔ. ἔστωσαν πρότερον παράλληλοι, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ δίχα κατὰ τὰ Η, Θ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ· διάμετρος ἄρα ἐστὶ πασῶν τῶν τομῶν καὶ τε‐
15	ταγμένως ἐπ’ αὐτὴν κατηγμέναι αἱ ΑΒ, ΔΕ. ἤχθω[Omitted graphic marker] δὴ ἀπὸ τοῦ Γ παρὰ τὴν ΑΒ ἡ ΓΝΞΟ· ἔσται δὴ καὶ αὐτὴ τεταγμένως ἐπὶ τὴν διάμετρον κατηγμένη καὶ συμπεσεῖται ταῖς τομαῖς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο. εἰ γὰρ κατὰ τὸ αὐτό, οὐκέτι κατὰ τρία συμβάλλουσιν, ἀλλὰ
20	τέσσαρα. ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ΑΜΒ τομῇ ἴση ἡ ΓΝ τῇ ΝΞ, ἐν δὲ τῇ ΑΛΒ ἡ ΓΝ τῇ ΝΟ. καὶ ἡ ΟΝ ἄρα τῇ ΝΞ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἀδύνατον. μὴ ἔστωσαν δὴ παράλληλοι αἱ ΑΒ, ΔΕ, ἀλλ’ ἐκ‐ βαλλόμεναι συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Π, καὶ ἡ ΓΟ
25	ἤχθω παρὰ τὴν ΑΠ καὶ συμπιπτέτω τῇ ΔΠ ἐκβλη‐ θείσῃ κατὰ τὸ Ρ, καὶ τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΔΕ δίχα
25	κατὰ τὰ Η, Θ, καὶ διὰ τῶν Η, Θ διάμετροι ἤχθωσαν αἱ ΗΣΙ, ΘΛΜ, ἀπὸ δὲ τῶν Ι, Λ, Μ ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΙΥΤ, ΜΥ, ΛΤ· ἔσται δὴ ἡ μὲν ΙΤ	70 in vol. 2
30	παρὰ τὴν ΔΠ, αἱ δὲ ΛΤ, ΜΥ παρὰ τὰς ΑΠ, ΟΡ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ, τὸ ὑπὸ ΑΠΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΠΕ, ἀλλ’ ὡς τὸ ὑπὸ ΑΠΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΠΕ, τὸ ἀπὸ ΛΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ, τὸ ἀπὸ
35	ΛΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙ. διὰ τὰ αὐτὰ ἔσται, ὡς μὲν τὸ ἀπὸ ΜΥ πρὸς τὸ ἀπὸ ΥΙ, τὸ ὑπὸ ΞΡΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΡΕ, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ ΛΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΙ, τὸ ὑπὸ ΟΡΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΡΕ. ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΟΡΓ τῷ ὑπὸ ΞΡΓ· ὅπερ ἀδύνατον.
4 . 47	Ἐὰν ὑπερβολὴ τῆς μὲν ἐφάπτηται τῶν ἀντικειμέ‐ νων, τὴν δὲ κατὰ δύο σημεῖα τέμνῃ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδεμιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ, Δ, καὶ ὑπερβολή
5	τις ἡ ΑΒΔ τὴν μὲν ΑΒΓ τεμνέτω κατὰ τὰ Α, Β, τῆς δὲ Δ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἔστω τῆς ΑΒΔ τομῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ. λέγω, ὅτι ἡ ΓΕ οὐδεμιᾷ τῶν ΑΒΓ, Δ συμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Γ,
10	καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ διὰ τοῦ Δ ἐφαπτομένη ἤχθω συμπίπτουσα τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ· τὸ Ζ ἄρα σημεῖον ἐντὸς ἔσται τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒΔ τομῆς. καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικειμένη ἡ ΓΕ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ
10	τὸ Ζ ἐντὸς πεσεῖται τῆς ὑπὸ τῶν ΒΖΔ περιεχομένης	72 in vol. 2
15	γωνίας. πάλιν ἐπεὶ ὑπερβολή ἐστιν ἡ ΑΒΓ, καὶ συμ‐ πίπτουσιν αἱ ΑΒ, ΓΖ, καὶ αἱ Α, Β συμπτώσεις οὐ περιέχουσι τὴν Γ, τὸ Ζ σημεῖον μεταξὺ τῶν ἀσυμ‐ πτώτων ἐστὶ τῆς ΑΒΓ τομῆς. καί ἐστιν αὐτῆς ἀντικει‐ μένη ἡ Δ· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Ζ ἐντὸς πεσεῖται
20	τῆς ὑπὸ ΑΖΓ γωνίας· ὅπερ ἄτοπον· ἔπιπτε γὰρ καὶ εἰς τὴν ὑπὸ ΒΖΔ. οὐκ ἄρα ἡ ΓΕ μιᾷ τῶν ΑΒΓ, Δ συμπεσεῖται.
4 . 48	Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων καθ’ ἓν μὲν ἐφάπτηται, κατὰ δύο δὲ συμπίπτῃ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἀντικειμένῃ οὐ συμπεσεῖται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ, Δ, καὶ ὑπερβολή
5	τις ἡ ΑΗΓ ἐφαπτέσθω μὲν κατὰ τὸ Α, τεμνέτω δὲ κατὰ τὰ Β, Γ, καὶ τῆς ΑΗΓ ἀντικειμένη ἔστω ἡ Ε. λέγω, ὅτι ἡ Ε τῇ Δ οὐ συμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω κατὰ τὸ Δ, καὶ ἐπ‐ εζεύχθω ἡ ΒΓ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ ἤχθω
10	ἀπὸ τοῦ Α ἡ ΑΖ ἐφαπτομένη. ὁμοίως δὴ τοῖς πρό‐ τερον δειχθήσεται, ὅτι τὸ Ζ σημεῖον ἐντὸς τῆς ὑπὸ τῶν ἀσυμπτώτων περιεχομένης γωνίας ἐστί. καὶ ἡ ΑΖ ἐφάψεται τῶν τομῶν ἀμφοτέρων, καὶ ἡ ΔΖ ἐκ‐ βαλλομένη τεμεῖ τὰς τομὰς μεταξὺ τῶν Α, Β κατὰ
15	τὰ Η, Κ. καὶ ὃν δὴ ἔχει λόγον ἡ ΓΖ πρὸς ΖΒ, ἐχέτω ἡ ΓΛ πρὸς ΛΒ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΑΛ ἐκ‐ βεβλήσθω· τεμεῖ δὴ τὰς τομὰς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο. τεμνέτω κατὰ τὰ Ν, Μ· αἱ ἄρα ἀπὸ τοῦ Ζ ἐπὶ τὰ
15	Ν, Μ ἐφάψονται τῶν τομῶν, καὶ ἔσται ὁμοίως τοῖς	74 in vol. 2
20	πρότερον διὰ μὲν τὴν ἑτέραν τομήν, ὡς ἡ ΞΔ πρὸς ΔΖ, ἡ ΞΚ πρὸς ΚΖ, διὰ δὲ τὴν ἑτέραν, ὡς ἡ ΞΔ πρὸς ΔΖ, ἡ ΞΗ πρὸς ΗΖ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ ἀντικειμένη συμπεσεῖται.
4 . 49	Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐφαπτομένη καθ’ ἕτερον αὐτῇ σημεῖον συμπίπτῃ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓ, ΕΖΗ, καὶ ὑπερ‐ βολή τις ἡ ΔΑΓ ἐφαπτέσθω μὲν κατὰ τὸ Α, τεμνέτω[Omitted graphic marker] δὲ κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω τῇ ΔΑΓ ἀντικειμένη ἡ ΕΖΘ. λέγω, ὅτι οὐ συμπεσεῖται τῇ ἑτέρᾳ ἀντικειμένῃ κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν.
10	εἰ γὰρ δυνατόν, συμβαλλέτω κατὰ δύο τὰ Ε, Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ, καὶ διὰ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῶν τομῶν ἤχθω ἡ ΑΚ. ἤτοι δὴ παράλληλοί εἰσιν ἢ οὔ.
10	ἔστωσαν πρότερον παράλληλοι, καὶ ἤχθω ἡ διχο‐	76 in vol. 2
15	τομοῦσα διάμετρος τὴν ΕΖ· ἥξει ἄρα διὰ τοῦ Α καὶ ἔσται διάμετρος τῶν δύο συζυγῶν. ἤχθω διὰ τοῦ Γ παρὰ τὰς ΑΚ, ΕΖ ἡ ΓΛΔΒ· τεμεῖ ἄρα τὰς τομὰς κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον. ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ ἴση ἡ ΓΛ τῇ ΛΔ, ἐν δὲ τῇ λοιπῇ ἡ ΓΛ τῇ
20	ΛΒ. τοῦτο δὲ ἀδύνατον. μὴ ἔστωσαν δὴ παράλληλοι αἱ ΑΚ, ΕΖ, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ ἡ ΓΔ παρὰ τὴν ΑΚ ἠγμένη συμπιπτέτω τῇ ΕΖ κατὰ τὸ Ν, ἡ δὲ ΑΒ δι‐ χοτομοῦσα τὴν ΕΖ τεμνέτω τὰς τομὰς κατὰ τὰ Ξ, Ο,
25	καὶ ἐφαπτόμεναι ἤχθωσαν τῶν τομῶν ἀπὸ τῶν Ξ, Ο αἱ ΞΠ, ΟΡ. ἔσται ἄρα, ὡς τὸ ἀπὸ ΑΠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΠΞ, τὸ ἀπὸ ΑΡ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΟ, καὶ διὰ τοῦτο ὡς τὸ ὑπὸ ΔΝΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΝΖ, τὸ ὑπὸ ΒΝΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΝΖ. ἴσον ἄρα τὸ ὑπὸ ΔΝΓ τῷ ὑπὸ
30	ΒΝΓ· ὅπερ ἀδύνατον.
4 . 50	Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων καθ’ ἓν σημεῖον ἐπιψαύῃ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.
5	ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΕΔΗ, καὶ ὑπερβολὴ ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Α, καὶ ἔστω τῆς ΑΓ ἀντικειμένη ἡ ΕΔΖ. λέγω, ὅτι ἡ ΕΔΖ τῇ ΕΔΗ οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο. εἰ γὰρ δυνατόν, συμβαλλέτω κατὰ τρία τὰ Δ, Ε,
10	Θ, καὶ ἤχθω τῶν ΑΒ, ΑΓ ἐφαπτομένη ἡ ΑΚ, καὶ
10	ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΔΕ ἐκβεβλήσθω, καὶ ἔστωσαν πρότε‐ ρον παράλληλοι αἱ ΑΚ, ΔΕ· καὶ τετμήσθω ἡ ΔΕ δίχα κατὰ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ. ἔσται δὴ διά‐ μετρος ἡ ΑΛ τῶν δύο συζυγῶν καὶ τέμνει τὰς τομὰς	78 in vol. 2
15	μεταξὺ τῶν Δ, Ε κατὰ τὰ Μ, Ν [ὥστε ἡ ΔΛΕ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Λ]. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Θ παρὰ τὴν ΔΕ ἡ ΘΖΗ· ἔσται δὴ ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ τομῇ ἴση ἡ ΘΞ τῇ ΞΖ, ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἴση ἡ ΘΞ τῇ ΞΗ. ὥστε καὶ ἡ ΞΖ τῇ ΞΗ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἀδύνατον.
20	μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ΑΚ, ΔΕ παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ τὰ λοιπὰ τὰ αὐτὰ γε‐ γονέτω, καὶ ἐκ‐[Omitted graphic marker] βληθεῖσα ἡ ΑΚ συμπιπτέτω τῇ
25	ΖΘ κατὰ τὸ Ρ. ὁμοίως δὴ δεί‐ ξομεν τοῖς πρό‐ τερον, ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ
30	ΔΚΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΑΚ, ἐν μὲν τῇ ΖΔΕ τομῇ τὸ ὑπὸ ΖΡΘ πρὸς τὸ
35	ἀπὸ ΡΑ, ἐν δὲ τῇ ΗΔΕ τὸ ὑπὸ ΗΡΘ πρὸς τὸ ἀπὸ ΡΑ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΗΡΘ ἴσον τῷ ὑπὸ ΖΡΘ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα ἡ
35	ΕΔΖ τῇ ΕΔΗ κατὰ πλείονα σημεῖα συμβάλλει ἢ δύο.	80 in vol. 2
4 . 51	Ἐὰν ὑπερβολὴ ἑκατέρας τῶν ἀντικειμένων ἐφάπτη‐ ται, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ οὐδεμιᾷ τῶν ἀντικειμένων συμπεσεῖται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ ὑπερβολὴ ἡ
5	ΑΒ ἑκατέρας αὐτῶν ἐφαπτέσθω κατὰ τὰ Α, Β, ἀντι‐ κειμένη δὲ αὐτῆς ἔστω ἡ Ε. λέγω, ὅτι ἡ Ε οὐδετέρᾳ τῶν Α, Β συμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω τῇ Α κατὰ τὸ Δ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν·
10	συμπεσοῦνται δὴ ἀλλήλαις ἐντὸς τῶν ἀσυμπτώτων τῆς ΑΒ τομῆς. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΔ· ἡ ἄρα ΓΔ ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ ἔσται τῶν ΑΓ, ΓΒ. ἀλλὰ καὶ μεταξὺ τῶν ΒΓ, ΓΖ· ὅπερ ἄτοπον. οὐκ ἄρα ἡ Ε συμπεσεῖται ταῖς Α, Β.
4 . 52	Ἐὰν ἑκατέρα τῶν ἀντικειμένων ἑκατέρας τῶν ἀντι‐ κειμένων καθ’ ἓν ἐφάπτηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα ἔχουσα, οὐ συμπεσεῖται καθ’ ἕτερον σημεῖον. ἐφαπτέσθωσαν γὰρ ἀλλήλων ἀντικείμεναι κατὰ τὰ
5	Α, Δ σημεῖα. λέγω, ὅτι καθ’ ἕτερον σημεῖον οὐ συμ‐ βάλλουσιν. εἰ γὰρ δυνατόν, συμβαλλέτωσαν κατὰ τὸ Ε. ἐπεὶ οὖν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐφαπτομένη κατὰ τὸ Δ συμπέπτωκε κατὰ τὸ Ε, ἡ ἄρα ΑΒ τῇ
10	ΑΓ οὐ συμβάλλει κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ ἕν. ἤχθω‐
10	σαν ἀπὸ τῶν Α, Δ τῶν τομῶν ἐφαπτόμεναι αἱ ΑΘ, ΘΔ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΔ, καὶ διὰ τοῦ Ε παρὰ τὴν ΑΔ ἤχθω ἡ ΕΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ δευτέρα διάμετρος ἤχθω τῶν ἀντικειμένων ἡ ΘΚΛ· τεμεῖ δὴ τὴν ΑΔ	82 in vol. 2
15	δίχα κατὰ τὸ Κ. καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΕΒ, ΕΓ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Λ. ἴση ἄρα ἡ ΒΛ τῇ ΛΓ· ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα συμπεσοῦνται κατ’ ἄλλο σημεῖον.
4 . 53	Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων κατὰ δύο σημεῖα ἐφάπτηται, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΔΒ, Ε, καὶ ὑπερβολὴ
5	ἡ ΑΓ τῆς ΑΔΒ ἐφαπτέσθω κατὰ δύο σημεῖα τὰ Α, Β, καὶ ἔστω ἀντικειμένη τῆς ΑΓ ἡ Ζ. λέγω, ὅτι ἡ Ζ τῇ Ε οὐ συμπεσεῖται. εἰ γὰρ δυνατόν, συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε, καὶ ἤχθω‐ σαν ἀπὸ τῶν Α, Β ἐφαπτόμεναι τῶν τομῶν αἱ ΑΗ,
10	ΗΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ[Omitted graphic marker] ΑΒ καὶ ἡ ΕΗ καὶ ἐκβεβλήσθω· τεμεῖ δὴ κατ’ ἄλλο καὶ ἄλλο ση‐ μεῖον τὰς τομάς. ἔστω
15	δὴ ὡς ἡ ΕΗΓΔΘ. ἐπεὶ οὖν ἐφάπτονται αἱ ΑΗ, ΗΒ, καὶ ἡ ΑΒ τὰς ἁφὰς ἐπέζευξεν, ἔσται ἐν μὲν τῇ ἑτέρᾳ συζυγίᾳ, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς ΕΗ, ἡ ΘΔ πρὸς ΔΗ, ἐν δὲ τῇ ἑτέρᾳ ἡ ΘΓ πρὸς ΓΗ· ὅπερ ἀδύ‐
20	νατον. οὐκ ἄρα ἡ Ζ τῇ Ε συμβάλλει.	84 in vol. 2
4 . 54	Ἐὰν ὑπερβολὴ μιᾶς τῶν ἀντικειμένων ἐπιψαύῃ ἀντεστραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ τῇ ἑτέρᾳ τῶν ἀντικειμένων οὐ συμπεσεῖται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ Α, Β, καὶ τῆς Α τομῆς ἐφ‐
5	απτέσθω ὑπερβολή τις ἡ ΑΔ κατὰ τὸ Α, ἀντικειμένη δὲ τῆς ΑΔ ἔστω ἡ Ζ. λέγω, ὅτι ἡ Ζ τῇ Β οὐ συμ‐ πεσεῖται. ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐφαπτομένη τῶν τομῶν ἡ ΑΓ· ἡ ἄρα ΑΓ διὰ μὲν τὴν ΑΔ οὐ συμπεσεῖται τῇ Ζ,
10	διὰ δὲ τὴν Α οὐ συμπεσεῖται τῇ Β. ὥστε ἡ ΑΓ μεταξὺ πεσεῖται τῶν Β, Ζ τομῶν. καὶ φανερόν, ὅτι ἡ Β τῇ Ζ οὐ συμπεσεῖται.
4 . 55	Ἀντικείμεναι ἀντικειμένας οὐ τέμνουσι κατὰ πλείο‐ να σημεῖα ἢ τέσσαρα.[Omitted graphic marker] ἔστωσαν γὰρ ἀντικείμε‐ ναι αἱ ΑΒ, ΓΔ καὶ ἕτεραι
5	ἀντικείμεναι αἱ ΑΒΓΔ, ΕΖ, καὶ τεμνέτω πρότερον ἡ ΑΒΓΔ τομὴ ἑκατέραν τῶν ΑΒ, ΓΔ κατὰ τέσσαρα ση‐ μεῖα τὰ Α, Β, Γ, Δ ἀντε‐
10	στραμμένα τὰ κυρτὰ ἔχουσα, ὡς ἐπὶ τῆς πρώτης καταγραφῆς. ἡ ἄρα ἀντικειμένη τῇ ΑΒΓΔ, τουτέστιν ἡ ΕΖ, οὐδεμιᾷ τῶν ΑΒ, ΓΔ
10	συμπεσεῖται. ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΒΓΔ τὴν μὲν ΑΒ τεμνέτω κατὰ τὰ	86 in vol. 2
15	Α, Β, τὴν δὲ Γ καθ’ ἓν τὸ Γ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς δευτέρας καταγραφῆς· ἡ ΕΖ ἄρα τῇ Γ οὐ συμπεσεῖται. εἰ δὲ τῇ ΑΒ συμβάλλει ἡ ΕΖ, καθ’ ἓν μόνον συμβάλλει· εἰ γὰρ κατὰ δύο συμβάλλει τῇ ΑΒ, ἡ ἀντικειμένη αὐτῇ ἡ ΑΒΓ τῇ ἑτέρᾳ ἀντικειμένῃ τῇ Γ οὐ συμπε‐
20	σεῖται· ὑπόκειται δὲ καθ’ ἓν τὸ Γ συμβάλλουσα. εἰ δέ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τρίτης καταγραφῆς, ἡ ΑΒΓ τὴν μὲν ΑΒΕ τέμνει κατὰ δύο τὰ Α, Β, τῇ δὲ ΑΒΕ συμβάλλει ἡ ΕΖ,[Omitted graphic marker] τῇ μὲν Δ οὐ συμ‐
25	πεσεῖται, τῇ δὲ ΑΒΕ συμπίπτουσα οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.
30	εἰ δέ, ὡς ἔχει ἐπὶ τῆς τετάρτης καταγραφῆς, ἡ ΑΒΓΔ ἑκατέραν τέμνει καθ’ ἓν σημεῖον, ἡ ΕΖ οὐδετέρᾳ συμπεσεῖται κατὰ δύο σημεῖα. ὥστε διὰ τὰ εἰρημένα καὶ τὰ ἀντίστροφα αὐτῶν αἱ ΑΒΓΔ, ΓΖ ἀντικειμέναις ταῖς ΒΕ, ΕΖ τομαῖς οὐ συμπεσοῦνται
35	κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα. ἐὰν δὲ αἱ τομαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα ἔχωσι, καὶ ἡ ἑτέρα τὴν ἑτέραν τέμνῃ κατὰ τέσσαρα τὰ Α, Β, Γ,
35	Δ, ὡς ἐπὶ τῆς πέμπτης καταγραφῆς, ἡ ΕΖ τῇ ἑτέρᾳ οὐ συμπεσεῖται. οὐδὲ μὴν ἡ ΕΖ οὐ συμπεσεῖται τῇ	88 in vol. 2
40	ΑΒ· πάλιν γὰρ ἔσται ἡ ΑΒ ταῖς ΑΒΓΔ, ΕΖ ἀντι‐ κειμέναις συμπίπτουσα κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσ‐ σαρα [ἀλλ’ οὐδὲ ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ συμπεσεῖται]. εἰ δέ, ὡς ἔχει ἐπὶ[Omitted graphic marker] τῆς ἕκτης καταγραφῆς,
45	ἡ ΑΒΓΔ τῇ ἑτέρᾳ τομῇ συμβάλλει κατὰ τρία σημεῖα, ἡ ΕΖ τῇ ἑτέρᾳ καθ’ ἓν μόνον συμ‐ πεσεῖται.
4 . 55 (50)	καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν τὰ αὐτὰ τοῖς προτέροις ἐροῦμεν. ἐπεὶ οὖν κατὰ πάσας τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν ἐστι τὸ προτεθέν, ἀντικείμεναι ἀντικειμέναις
55	οὐ συμβάλλουσι κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ τέσσαρα.
4 . 56	Ἐὰν ἀντικείμεναι ἀντικειμένων καθ’ ἓν σημεῖον ἐπιψαύωσιν, οὐ συμπεσοῦνται καὶ κατ’ ἄλλα σημεῖα πλείονα ἢ δύο. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΒΓ καὶ ἕτεραι αἱ
5	Δ, ΕΖ, καὶ ἡ ΒΓΔ τῆς ΑΒ ἐφαπτέσθω κατὰ τὸ Β, καὶ ἐχέτωσαν ἀντεστραμμένα τὰ κυρτά, καὶ συμπιπτέτω πρῶτον ἡ ΒΓΔ τῇ ΓΔ κατὰ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ,
5	ὡς ἐπὶ τοῦ πρώτου σχήματος. ἐπεὶ οὖν ἡ ΒΓΔ κατὰ δύο τέμνει ἀντεστραμμένα	90 in vol. 2
10	ἔχουσα τὰ κυρτά, ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται. πά‐ λιν ἐπεὶ ἡ ΒΓΔ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται[Omitted graphic marker] κατὰ τὸ Β ἀντεστραμμένα ἔχουσα τὰ κυρτά, ἡ ΕΖ τῇ ΓΔ οὐ συμπεσεῖται. ἡ ἄρα ΕΖ οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ
15	τομῶν συμπεσεῖται· κατὰ δύο μόνον ἄρα τὰ Γ, Δ συμβάλλουσιν. ἀλλὰ δὴ τὴν ΓΔ ἡ ΒΓ τεμνέτω καθ’ ἓν σημεῖον τὸ Γ, ὡς ἐπὶ τοῦ δευτέρου σχήματος. ἡ ἄρα ΕΖ τῇ μὲν ΓΔ οὐ συμπεσεῖται, τῇ δὲ ΑΒ
20	συμπεσεῖται καθ’ ἓν μόνον. εἰ γὰρ κατὰ δύο συμ‐ βάλλει ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ, ἡ ΒΓ τῇ ΓΔ οὐ συμπεσεῖται· ὑπόκειται δὲ συμβάλλουσα καθ’ ἕν. εἰ δὲ ἡ ΒΓ τῇ Δ τομῇ μὴ συμπίπτῃ, ὡς ἐπὶ τοῦ τρίτου σχήματος, διὰ μὲν τὰ προειρημένα ἡ ΕΖ τῇ
25	Δ οὐ συμπεσεῖται, ἡ δὲ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται κατὰ πλείονα σημεῖα ἢ δύο.[Omitted graphic marker] ἐὰν δὲ αἱ τομαὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα ἔχωσιν, αἱ αὐταὶ ἀποδείξεις ἁρμόσουσι. κατὰ πάσας οὖν τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν
30	ἐστιν ἐκ τῶν δεδειγμένων τὸ προτεθέν.	92 in vol. 2
4 . 57	Ἐὰν ἀντικείμεναι ἀντικειμένων κατὰ δύο ἐπιψαύωσι, καθ’ ἕτερον σημεῖον οὐ συμπεσοῦνται. ἔστωσαν ἀντικείμεναι αἱ ΑΒ, ΓΔ καὶ ἕτεραι αἱ ΑΓ, ΕΖ καὶ ἐφαπτέσθωσαν πρῶτον, ὡς ἐπὶ τοῦ πρώ‐
5	του σχήματος, κατὰ τὰ Α, Γ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΓΔ ἐφάπτεται κατὰ τὰ Α, Γ σημεῖα, ἡ ΕΖ ἄρα οὐδετέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ συμπεσεῖται. ἐφαπτέσθωσαν δή, ὡς ἐπὶ τοῦ δευτέρου. ὁμοίως
10	δὴ δειχθήσεται, ὅτι ἡ ΓΔ τῇ ΕΖ οὐ συμπεσεῖται. ἐφαπτέσθω δή, ὡς ἐπὶ τοῦ τρίτου σχήματος, ἡ μὲν ΓΑ τῆς ΑΒ κατὰ τὸ Α, ἡ δὲ Δ τῆς ΕΖ κατὰ τὸ Ζ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται ἀντεστραμμένα τὰ[Omitted graphic marker] κυρτὰ ἔχουσα, ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ οὐ συμπεσεῖται. πάλιν
15	ἐπεὶ ἡ ΖΔ τῆς ΕΖ ἐφάπτεται, ἡ ΓΑ τῇ ΔΖ οὐ συμ‐ πεσεῖται. εἰ δὲ ἡ μὲν ΑΓ τῆς ΑΒ ἐφάπτεται κατὰ τὸ Α,
15	ἡ δὲ ΕΓ τῆς ΓΔ κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔχουσιν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τὰ κοῖλα, ὡς ἐπὶ τοῦ τετάρτου σχήματος, καθ’	94 in vol. 2
20	ἕτερον οὐ συμπεσοῦνται. οὐδὲ μὴ ἡ ΕΖ τῇ ΑΒ συμπεσεῖται. κατὰ πάσας οὖν τὰς ἐνδεχομένας διαστολὰς δῆλόν	94 in vol. 2
20	ἐστιν ἐκ τῶν δεδειγμένων τὸ προτεθέν.	96 in vol. 2

1

prol

1

HOR1

1

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

7

(50)

1

8

1

8

(50)

1

9

1

10

1

11

1

11

(50)

1

12

1

12

(50)

1

13

1

13

(50)

1

14

1

14

(50)

1

15

1

15

(50)

1

16

1

HOR2

1

17

1

18

1

19

1

20

1

21

1

22

1

23

1

24

1

25

1

26

1